Fletcher-2-rus (1185919), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Для учета этого обстоятельства в вычислительный алгоритм необходимо ввести определенные поправки, учитывающие смену характера уравнений и обеспечивающие достаточную диссипацию в сверхзвуковой зоне. Сравнительная экономичность метода потенциала делает особенно эффективным его применение для расчета нестационарных трехмерных течений в областях сложной формы. При расчете стационарных трансзвуковых течений методом потенциала для ускорения сходимости возможно применение весьма эффективных, например многосеточных, методов; подобные методы эффективны также при решении уравнений Эйлера.
Разработка методов ускорения расчетов, основанных на нестационарных уравнениях Эйлера, остается весьма важной областью исследований. Вбльшая достоверность расчетов, основанных на уравнениях Эйлера, делает их более предпочтительными при рассмотрении двумерных невязких трансзвуковых течений. Наиболее распространенными для расчета как сверхзвуковых, так и трансзвуковых течений являются конечно-разностные Гл. 14. Невязкие течения 234 методы и методы конечного объема. Однако с определенным успехом для расчета внешних и внутренних трансзвуковых течений применялся и метод конечных элементов (например, [Оесоп1пс)с, Н!гзсЬ, 1985; Есег, А)сау, 1985; 3агпезоп, Ва1сег, 1986]), Для течений с сильными скачками на основе метода характеристик с конечными элементами [Мог1оп, ЗшеЬу, 1987; Е!е1сЬег, Мог(оп, 1986; НпдЬез, Ма!1е1, 1985] возможно построение алгоритмов ТЧ0. Спектральные методы [Низза!п1, Хапд, !987) эффективны при выделении скачка.
8 14.5. Задачи Панельный метод ($14.1) 14.1. (а) Рассчитайте по программе РАХЕЬ (рис. 14.7) распределение давления у кругового цилиндра при М = О, используя 4, 8, 16 и 32 панели. Сравните полученные результаты с точным распределением давления. (Ь) Повторите п. (а) для эллипса с отношениями длин полуосей, равными 0.6 и 0.2. (с) Как объяснить повышение точности при увеличении числа панелей и уменьшении отношения длин полуосей? 14.2. Используйте программу РАХЕЕ для расчета течения у профиля ХАСА-00!2, расположенного под нулевым углом атаки. Координаты профиля ХАСА-0012 определяются уравнением (!3.70), (а) Получите решение с 8, 16 и 32 панелями при М = 0.4, сравните полученное решение с решением, представленным на рис. !4.4. (Ь) Для !6 панелей при М = 0.4 получите решение с большим числом панелей в области носка и хвоста и меньшим в средней части профиля.
Определите, какое распределение при заданном числе панелей является наилучшим для достижения наиболее высокой точности. Как это «оптнмальное» распределение связано с градиентами решения? (с) Повторите пункт (Ь) для профилей ХАСА-0006 и ХАСА-0018 и определите, влияет ли ббльшая кривизна носка более тонких профилей на «оптимальное» распределение элементов. Используйте решение с 32 панелями в качестве «точного» решения. 14.3.
Замените прямой метод (подпрограммы РАСТ и ЗОЕНЕ) на итерационный БОЙ ($6.3) и получите решения с 8, 16 и 32 панелями, представляющими окружность. Считайте, что итерации ЗОВ сошлись, если среднеквадратичное отклонение разностей алгебраического уравнения станет меньше 1 Х 10-'. Выведите из полученных результатов соотношение Х1ТЕЙ = йг!», где Х1ТЕŠ— число итераций, необходимых для сходнмости, а Ф вЂ” число панелей.
14.4. Определите приблизительно число операций (только умножений я делений) в программе РАХЕЬ и в используемых этой программой подпрограммах как функцию числа панелей Л'. (а) Сравните это число операций с тем же числом таких операций, но при использовании процедуры 80)? вместо прямого решения (подпрограммы РАСТ и ЗОЬНЕ) системы (14.6) для определения о,. (Ь) Сравните число операций для АГ панелей с соответствующим числом операций в программе ЬАОЕХ (п. 12.4.1), используемой для расчета течения около цилиндра. Предположите, что в расчетной области программы ЬАЙЕХ имеется й?ХУ внешних по отношению к половине цилиндра точек. 235 $14чй Задачи 14.5. Используя метод, описанный в п. !4.1.4, модифяцируйте программу РА(4Е(.
так, чтобы по ней можно было рассчитывать обтекание профилей с подъемной силой. В качестве теста модифицированной программы получите решение для профнля МАСА-00!2 прн М = 0 н прн углах атаки сг = О, 2 н 4'. Введите для определенна коэффициента подъемной силы в программу РА5(Е(. интегрирование распределения давления. Сравните полученные данные с теоретнчесннм значением Сь = 2па. Определите примерное число и распределение панелей, необходимые для получения достаточно точного решения. % =%*+ т( ) А ((Ан!ч.! ] АЧ!+~1. (14.168) Используйте данную форму искусственной вязкости для расчета распространения умеренного (р~/рз = 2.5) н сильного (рз(рз = !0) скачкон. Сравните решения с решениями, приведенными на рис. 14.18 н 14.25 в случаях: (1) Уравнение (14268) используется прн расчете всех компонентов вектора Ф (2) Уравнение (14.!68) используется прн расчете второй и третьей компонент вектора 9.
14.8. Моднфнцнруйте программу ЗНОСК для расчета течений в ударной трубе до момента, пока не произойдет отражение от ее концов. В начальный момент времени в трубе содержится газ высокого давления, отделенный диафрагмой от газа низкого давления. В момент ! = 0 диафрагма разрывается н образуется ударная волна, быстро распространяющаяся в область низкого давления. За ударной волной образуется контактный разрыв, начальное положение которого совпадает с положением диафрагмы. Прн переходе через контактный разрыв давление и скорость непрерывны, а плотность претерпевает разрыв. За контактным разрывом образуется распространяющаяся в область высокого давления волна разрежения.
Плотность, давление н скорость внутри волны разрежения изменяются непрерывно от значений покоящегося газа высокого давления. Передннй фронт волны разрежения движется в область высокого давления. Физические процессы, происходящне в ударной трубе, описаны Лнпманом и Рошко (Ыершапп, Воз(з(го, !957]. Данная задача использовалась в работе (Зод, 1978] для сравнения различных численных схем.
Течение в ударной трубе, которое с хорошей точностью можно считать одномерным, описывается безразмернымн уравнениями (14.43), (14.44). Полу. чите решение прн следующих начальных условиях: р~ = 8.0, Р! = — ' — — 10 прн х < 0.305, Рз (14.169) рз = 1.0, рз 1.0 прн х ~ )0.305, и! — — О, I и О, Сверхзвуковые невяэкнв тече«на ($14.2) 14.6. Решите по программе ЗНОСК по схеме Мак-Кормака задачу о движущейся ударной волне с отношением давлений 2.5. Сравните получен«ые результаты прн КХ = 10! с расчетами по схеме Лакса — Вендроффа (рнс. 14.18). 14.7. Согласно одной нз схем с искусственной вязкостью [Еар!бпз, 1967], уравнение (14.54) заменяется уравнением Гл. 14.
Невязкие течения 236 где рз/рз — отношение давлений (РВАТ в программе 3НОСК). Из уравнений (14.169) также следуют граничные условия при х = 0 и 1.О. Решите задачу при ИХ = 101, (ЧТ = 170 и ))Т = 0.100 по схеме Лакса — Вендроффа с искусственной вязкостью. Общий характер решения можно сравнить с численным решением Сода [Яод, 1978). Точное решение этой задачи можно найти у Липмана и Рошко [(.!ершапп, Коз)з)го, 1957ь Наибольшую сложность представляют расчет контактного разрыва и ударной волны. 14.9. Получите решение задачи о распространении умеренной (рз/рз=2,5, рис. 14.18) и сильной (р~/рз = 10, рис.
14.25) ударных волн по схеме РСТ при следующих значениях диффузионных и антидиффтзионных параметров в (14.93): (1) пз — — 0.125, т)~ = О. цз = О, (2) т!о=О 500, пи=О цз=О (3) т)о = 1/3 т)ю = 1/3, т)з = — !/6, (4) з)о = 1/6, тн = !/3, т!з = — 1/3. Сравните профили ударных волн, полученные в различных вариантах. 14.10. Примени!е схему РСТ к решению задачи 14.8 об ударной трубе. Сравните полученные решения с решением, найденным по схеме Лакса— Вендроффа с искусственной вязкостью (задача 14.8).
Особое внимание уделите профилям ударной волны и контактного разрыва. Трансзвуковые иевязкие течения (6 14.3) 14.11. Течение у тонкого крыла, задаваемого уравнением у = т(х' — 1)', †! < к < 1, в области, изображенной на рис. 14.34, описывается трансзвуковым уравнением малых возмущений (14.130). Граничные условия приведены на рнс.
14.34. Получите численное решение при т = 0.1, М = 0.8 н 0.9 ф 0 6 С 3=! Фхя0 3 и-а 2 уВ=Г =йкш[ Рис. 14.34. Модельная задача для уравнения потенциала. на сетие 41(5)Х)У( 21(ИУ). Для конечно-разностной дискретизации используйте формулу (14.135). Для расчета используйте итерационный алгоритм 30К. 14.12. Решите задачу, представленную на рис. 14.34, используя дискретное представление уравнения полного потенциала (14.129), (14.138), (14.139). 3 14.5. Задачи 237 Для введения диссипативного механизма в сверхзвуковой области использУйте (14.143). ГРаничное Условие Фт = 1 на АВ можно тРактовать как вдУв газа с заданным профилем скорости. йля решения дискретных уравнений используйте метод приблиэкенной факторизации, подобный (!4.156), (14.!57), но с использованием метода установления (14.137).
Получите решение на сетке 41((чХ)Х 2!(5(У) при т = 0.1 и М = 0.8 и 0.9, Сравните полученные решения с решениямн задачи 14.!1. 14.13. При помощи центральных разностей проведите дискретизацию уравнения Лапласа дзгз/дхз+ дзф/дуз = 0 в прямоугольной области 0 < х ( ~ 1, 0 с р с! с граничными условиями Ф(0, у) = соз(05пу), ф(1, у) = = ехр(п72)соз(0.5ну), гз(х, 0) = ехр(0.5пх), гз(л, !) = О. Получите решение дискретных уравнений (1) по схеме приближенной факторизации (!4.156), (14.157), (2) по схеме приближенной факторизации в сочетании с миогосеточным подходом (14.156), (14.157), (14.162) и сравните эффективность методов, принимая во внимание число итераций, необходимое для получения сходящегося решения и примерное число операций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
