Fletcher-2-rus (1185919), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Течения в пограничном слое шающихся значениях 1=(У вЂ” 1), (Т вЂ” 2), ... Тм 51+ стЕ1+, + з1(с101+1+01), Е1 — — — [ат — з1 (с1О1+, + 01)[/Т, О, = — [с1О1+, + й7) [Т, е1 — — [дг — (с101+, + д1) 11 — с1ет+ 1[ Т. На стенке Р~= Уг=О, а для увеличивающихся значений 1= =2,3, ...,.г' Р1 —— Е1Р1, + О1У1, + е1, У1 — — У1, — з1(Р1, + Рг) = 1;.
(15.50) На практике решение систем (15.46) и (15.48) повторяется до тех пор, пока величины Р~+ и Уг не станут равными 10 1О ч 1 О э о и я 10 1 10 1О ~ 10 1 а4 Рис. 15.5. Сходимость схемы 17С5 ([В!онпег, 19755); печатается с раареше- ния Мог1п-НоПапо). $18.3. Метод Лородиицына описания пограничного слоя 287 Р;, !71 соответственно. В начале итераций Рг — — Р~' и т. д., а а а а после достижения сходимости Р"+' =Рл+' и т.
д. Основное преимущество схемы !2СЯ состоит в жесткой связи между уравнениями неразрывности и импульса. Благодаря этому сходимость второго порядка по $ достигается уже при одной итерации по й. Если аналогичная схема реализуется без связи уравнений неразрывности и импульса (С!т!Ь на рис. 15.8), то для сходимости второго порядка требуется 19 итераций. Полученные результаты, представленные на рис. 15.8, соответствуют линейно убывающей скорости и,/(/ = (1 — х/Ь).
Член (дР/дт!),и пропорционален коэффициенту поверхностного трения с1. Блотнер [В!01!пег, 1975Ь] указывает, что для рассматриваемых на равномерных сетках типичных задач, связанных с ламинарными течениями, схема 1)СЬ более эффективна, чем иные схемы Кранка — Николсона, включая и схему ячеек Келлера.
$ 15.3. Метод Дородннцына описания пограничного слоя Для расчета с необходимой точностью некоторых ламинарных течений и практически всех турбулентных требуется вводить вблизи стенки неоднородную сетку. Однако использования неоднородной сетки можно избежать, если принять и (в двумерном случае) в качестве независимой переменной. В этом состоит основная идея методов Крокко (В!011пег, 1975а) и Дородницына'>. В методе Дородиицына уравнения сводятся к интегральному виду. Это позволяет использовать методы разностей с весами (гл.
5). В этом параграфе будут рассмотрены два метода. Метод Галеркина с конечными элементами (п. 15.3.1) и спектральный метод Галеркина (п. 15.3.3). Метод Дородницына будет использован здесь для описания турбулентного пограничного слоя, описываемого системой уравнений (11.73) — (11.75). Если для описания сдвиговых напряжений Рейнольдса используется вихревая алгебраическая вязкость тт, уравнения (в безразмерной форме) могут быть записаны в виде — + — = О. ди до дх ду ди ди ди, ! д Гт т 'т ди Ч и — + о — = и, — '+ — — 11~1 + — ) — 1 (15.52) дх ду е дх йе ду(1 т ) ду~ с начальными и граничными условиями (15.3), (15.4).
о Смл Лородницын А. А. 00 одном методе решения уравнений ламинарного пограничного слоя. †Журн приял механ. и техн. физ., 1960, № 3, с. 111 — 118. — Прим. ред. 17 К. Флетчер, т. 2 Гл. !б. Течения в пограничном слое 2ба В методе Дородницына вводятся следующие переменные: $=х, е)=Кейну, (15.53 и' = —, о' = Ке —, в = и,о'+ — — '.
иа' ие' ие а$ Уравнения (15.51), (!5.52) могут быть переписаны в виде ди' дее — + — =О, д$ дч (15.54) (15.55) где и, =аиа/а$. Граничные условия имеют вид и' = св = О при т! = О и и' = 1 при н = оо. где !е(и') — весовая (пробная) функция, которую требуется определить. В результате получается (штрих опущен) +и,Я~ д ((1+ — ) д ~. (15.56) Интегрирование проводится от о! =О до т) = оо, а 7е ограни- чена так, что 1е(оо) =О. Заменяя переменную интегрирования е! на и, можно получить следующее уравнение: ! ! д ~и~о~с(и ( ) ~ Ы(1 и)'дс(и+ о о 1 + и, ~ ~ — „' ~ —, [(1 + — ' ') Т1 ди, о (15.57) где 1 ди Т= — =— 0 дтпл (15.58) Уравнение (! 5.57) называется уравнением Дороднииына турбулентного пограничного слоя.
В этом уравнении Т и 9 являются зависимыми переменными, а х и и — независимыми. Взвешенная сумма (15.51) и (15.52) образуется следующим образом: ге(й) К (15.54)+( е, ))((15.55) = О, $ 15.3. Метод Дороднипына описания пограничного слоя 259 Основное преимущество описания Дородницына заключается в том, что при введении однородной по направлению и сетки ббльшая часть точек автоматически размещается вблизи стенки, где решение изменяется наиболее быстро (рис. 15.9).
Это особенно важно при рассмотрении турбулентных пограничных !.О О. 0.2 0 гг 0.5 0.8 !.0 и/иа. (а) 1.О 1( $ 0.5 (Ь) н(ма Рис. 15,9, Распределение скорости в ламинарном (а) и турбулентном (Ь) пограничных слоях. слоев. Однородная по и сетка автоматически улавливает рост пограничного слоя вниз по потоку. Дополнительное преимущество состоит в том, что в (15.57) отсутствует нормальная составляющая скорости, т.
е. необходимо решать лишь одно уравнение. Значение о при необходимости может быть определено позже. Поскольку на стенкевеличина Т прямо пропорциональна сдвиговому напряжению (на стенке), метод Дородницына позволяет с большой точностью определить сдвиговое напряжение (11.66). 1те 260 Гл. !В. Течения в пограничном слое 15.3.1.
Метод конечных элементов в подходе Дородницына В данном разделе метод описания пограничного слоя Дородницына будет использован в сочетании с методом конечных элементов ($5.3). Для В и (1+ чт/ч) Т в (15.57) вводятся следующие приближенные (пробные) решения: м В = ~ У/ (и)1(1 — и) 6/$), /=! м (1+ тт/ч) Т = )' (1 — и) У/(и) (1+ тт([ч)/т/ К). (!5 60) ! =! Множитель (1 — и) в (15.59) и (15.60) обеспечивает правильное поведение В и Т на внешней границе пограничного слоя. Члены М/(и) — одномерные иитерполяционные функции, обычно линейные или квадратичные ($ 5.3).
Из (15.60) следует, что приближенное решение введено для группы членов. Это частный пример группового метода конечных элементов [Р1е(с)/ег, 1983[, описанного в $10.3. В рассматриваемом случае тт — сложная функция и и г/ (см. уравнения (11.77) — (11.79)). Так как тт включено в группу, значения требуется определять лишь в узловых точках. Это обстоятельство приводит к значительному увеличению экономичности применения метода Дородницына в сочетании с методом конечных элементов. Весовая функция /е(и) в (15.57) имеет вид /е (и) = (1 — и) Уа (и). (15.61) Это обеспечивает выполнение условия )а(и)=0 при и=!, в результате чего и явно не присутствует в уравнении (15.57).
Подстановка (!5.59) — (15.61) в (15.57) приводит к модифицированному методу Галеркина [Р!е1сЬег, !984[. В результате определения различных интегралов получается следующая система обыкновенных дифференциальных уравнений: м м м !/в/ иее Т чт'! ~ССМ вЂ” = — ' ~! Ера/6/+и, ~! ААа/[1+ — ) тн (15.62) / ! / ! !-! Коэффициенты СС„и т. д. определяются лишь один раз из уравнений ! ! ССа/ — — ~ М Маи с(и, Еры = ~ У/ [ (1 — и) — е — Ма) (1 + и) Ни.
г/л/ //х/а ААы = ~ ( — „ / (1 — и) — У/) [ — „а (1 — и) — М ~ ~//и. о $ !5.3. Метод дородницына описания пограничного слоя 26! Хотя 0; и т, в (15,62) присутствуют раздельно, в узловых точках 8; =!/т!а Поскольку матрица СС трехдиагональная для линейных элементов и пятидиагональная для квадратичных, эффективная неявная схема может быть построена следующим образом: ССагЛО";" =Л$[рКНЯ"+ +(1 — р) КНО"1, (15.64) )=! где КН5= — '~ ~Х ЕРагОг+и,~ААаг(1 ! г) т. (15.65) г=! !=! ! (15.66) где а+! СССа! — — ССаг — О Я ~( — '~) ЕРа; — на+'ААаг0г1, =ь -:)"-йН; и -!- ! а Р =ы(1г( — '~) -!-(1 — г)( — '~) )г Яг В .!- / ! -!- [! ."" -!-а — г!:! г АА.,(! -!- —,') .", ~. ! ! Уравнение (15.66) эффективно решается методом Томаса (п.
6.2.2). Для сохранения максимальной экономичности итерации на каждом слое ~" не проводятся. Для ламинарных течений (тг = О) скорость сходимости (15.66) 0(биа, Лх) [Р!е1сЬег, Р!ее1, 1984а). Однако основная практическая ценность метода заключается в том, что достаточно точные решения получаются на сравнительно грубых сетках. ЛОг+'=8";+' — 8! и для устойчивости р ) 0.6 (определено эмпирическй). Член КН5"+! разлагается в окрестности КН5а в ряд Тейлора, что эквивалентно разложению Ньютона — Рафсона (15.45), если усечение производится с ошибкой 0(!Ца).
Таким образом, (15.65) преобразуется к следующей системе уравнений для определения ЛОг+ .. 2, СССа! ЛО'~'+ ' = Ра, ! 0004 о.ооз о.оог О.ОО! 1.0 2.0 З.О 4.0 5.0 ж!!. Рис. !5.!О. Сравнение поверхностного трения прн нулевом градиенте дав- ления. 0.010 .Ы О. 005 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 ж/!. Рнс. !5.1!. Сравнение толщины вытеснения и потери импульса при нулевом градиенте давления. $ !3.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
