Fletcher-2-rus (1185919), страница 48
Текст из файла (страница 48)
12),так что з будет направлено примерно по потоку, ь — поперек течения, а т! — по нормали к поверхности. Уравнения (15.84) — (15.86) могут быть записаны в консервативном векторном виде дп др дб — + — + — =9, дх др дг (15.89) При прохождении по г в направлении увеличения й в (15.88) неизвестен лишь член шл+'. Следовательно, он включается ьа' в трехдиагональную систему, формируемую на узлах 1' вдоль. линий сетки (й, и+1). Если ш больше нуля, ограничений иа Лх нет. Если и становится отрицательной, то для устойчивости схх должно удовлетворять условию ]шах/наг] ( 1.
Схемы Кранка — Николсона и зигзаг Краузе можно считать полунеявными, поскольку они явные в направлении, перпендикулярном потоку. Ограничения КФЛ на Ьх можно избежать,. если использовать полностью неявную схему (п. 15.4.3), т. е. неявную по у и з. 282 Гл. 1б.
Течения в пограничном слое Рнс. 15.24. Обобщенные координаты, связанные с поверхностью. где р = ио' — т„'„ иа+ — ' Р итн з+ Ре Р тв„дн та» = — = у —, х в» р ду ' у» р В координатах Д,т1,~) уравнение (!5.89) ди дР дй — + — + — =О, дв дп дь — У— ду принимает вид (15.90) где Ц» ),»» р=у-' и1" — Пата„ ге К' — т1„т'„, иУ'+ $„— ' Е=Х ' (15.91) и))т' + ~„ Р' Р вя7'+~, Р' Р О=У 'В выражениях для Л и т. д. контравариантные компоненты скорости У», 'к'» и ЯР» направлены соответственно в сторону увеличения ~, т! и ~ и связаны с физическими компонентами .и, о и ш соотношениями ц~=$и+~ш р»=т~о 97'=~и+~те (15.92) У ' = ун (хахг — хгх ). 283 4 15.4. Течение в трехмерном пограничном слое Параметры преобразования, подобные хм могут быть определены непосредственно через координаты сетки (п.
12.2.1). Члены типа $„определяются из соотношений 5х 1учзь 12 уучхс Чн 1/уч (15.93) ь, = — 1Учаа, ь, = 1Унха Рассматриваемые обобщенные координаты аналогичны рассмотренным в гл. 12, за исключением того что линии т! предполагаются перпендикулярными поверхности (х,а).
Это упрощает вид уравнений (15.91) — (15.93). 15.4.3. Неявная маршевая схема расщепления Эффективный маршевый алгоритм может быть построен, если записать уравнение (15.90) в виде (1+ МЕ)"" — Ж"1 — у НЕ)" — (Е)" '1 = = Я [~ КНЗ"+'+ (1 — 5) КНЗ"~, (15.94) где дР дб КНБ = — — — —. дч дй' Это существенно трехслойная схема, рассмотренная в п.
8.2.3 и 9.5.1. При т = О, 5 = 0.5 получается схема Краина — Николсона; при у = 0.5, р = 1 — схема ЗЬР! (трехслойная чисто неявная схема). Для задач, в которых требуется лишь один проход в направлении $, что соответствует рассматриваемой ситуации, необходимость хранения дополнительных данных в значительной степени компенсируется большей работоспособностью схемы 3!.Г!. Для эффективного применения алгоритма (15.94) направление $ должно примерно совпадать с направлением потока.
Для применения любой схемы на неявном слое и+1 необходимо построить линейную систему уравнений. Здесь это делается путем отбрасывания ряда членов в разложении в ряд Тейлора к окрестности слоя п. Таким образом, (Е)"+ =(Е)" + АЛа "+, где ь, О $, А=== 2ви+$тв 0 $и дч в„ш 0 в„и+ 2з,ш (г)""' = (г)" + в лц"", Гл. 18. Течения в пограничном слое 284 где ел а д — чт1 У д|1 в=== дй дч т1ни 0 т1 ш )г с д У " дч (б)"" = (В)" + С Лп"", где о С === 2т,и+Г,ш 0 Ь,и до дч ~„тв 0 ~„и+ 2~,ш 41= — У (и, о, гн), Лп =4) — 4) . В результате подстановки этих выражений в (15.94) получается следующая линейная относительно Лт)"+' система уравнений: + )А+ л~~ дв + дС ~~ -а+1 = — ж[ д" +® +у~(В)" — (В)" '1. (15.95) Если для аппроксимации производных д/дт1 и д/д~ использовать центральные разности, данная схема может быть факторизована с точностью 0(~Цт).
Решение получается в два этапа. На первом этапе На первом этапе (15.96) представляет собой трехдиагональную систему уравнений, связанную с каждой линией сетки ~. Для решения можно использовать алгоритм Томаса (п. 6.2.2). На втором этапе неявно входят лишь члены, связанные с направлением Ч. Поскольку производные д/дч в В аппроксимируются трехточечными центральными разностями для 7. „В', система (15.97) является трехдиагональной и может быть легко решена. В работе [Рчсуег, 1981] предложено более устойчивое конечно-разностное представление дЪ"/дт1.
В работе [ВсЫ11, 51епег, 1980[ приведены результаты расчетов по схемам, подобным [А+Л~~ „~'„~7сС~Лй'= — [ „+1„~(7.„Р+)Ф+ ~ [(В)" — (В)" (15.96) .и иа втором [А+л~~ 11+,1 ~1чВ]лс) =Ало (1597) $15.5. Заключение 285 (15.96), (15.97). Аналогичная схема рассматривается в п. 16.3.1. Практические расчеты трехмерных пограничных слоев сопровождаются большим числом ад'пос (предварительных) процедур, зависящих от рассматриваемой задачи.
Конкретная реализация этих процедур при расчете пограничных слоев у стреловидных крыльев описана в работе 1МсЕеап, Ванда!1, 1979). й 15.5. Заключение Уравнения, описывающие течения в пограничных слоях, являются уравнениями преимущественно параболического типа. Поэтому для расчета развития течения вниз по потоку возможно построение неявных маршевых алгоритмов. Маршевые алгоритмы могут иметь первый или второй порядок точности в направлении маршевой переменной и по крайней мере второй в перпендикулярном пограничному слою направлении. Методы, позволяющие получить более высокий (как правило, четвертый) порядок точности поперек пограничного слоя, описаны в работе [Реуге1, Тау1ог, 1983].
Применение итераций на каждом слое вниз по потоку оказывается менее эффективным, чем применение безытерационных методов с меньшим шагом по маршевой переменной. В пограничных слоях имеют место большие градиенты скорости в направлении, перпендикулярном маршевому. Поэтому имеет смысл использовать неоднородные сетки с геометрически возрастающим от наименьшего значения у стенки шагом (п. 15.1.2). Кроме того, в программах используются преобразования зависимых и независимых переменных, позволяющие уменьшить градиенты рассматриваемых функций и добиться тем самым в преобразованной области более точного дискретного представления. Подобные замены переменных Я 15.2) полезны также при расчетах сжимаемых и осесимметричных течений.
В преобразовании Дородницына ($ 15.3) зависимая переменная и преврашается в независимую. Это позволяет получить решение с хорошей точностью при сравнительно небольшом числе расчетных точек поперек слоя. Если направление времениподобной маршевой переменной в трехмерном пограничном слое примерно совпадает с направлением течения, то для расчетов могут эффективно использоваться схемы расщепления (э 8.2).
Совпадения направлений легко добиться путем использования обобщенных координат (п. 15.4.2). На практике результаты расчетов течений в пограничных слоях используются для определения толщины вытеснения, которая применяется для коррекции распределения давления, Гл. 15.
Течения в пограничном слое 286 рассчитываемого по невязким алгоритмам (п. 14.1.4), и как компонента в алгоритмах вязко-невязкого взаимодействия (п. 16.3.4). Подобные методы позволяют даже получить небольшие отрывные зоны [Саг1ег, 1981]. Ббльшая часть описанных в данной главе методов основана на конечно-разностной дискретизации. Исключение составляет метод Дородницына, который легко позволяет использовать конечно-элементную и спектральную интерполяции. Однако существует программа 5ТА)х(5, упомянутая в $15.3, основанная на дискретизации по методу конечного объема [Ра1апкаг, Бра!б(пд, 1970]. Кроме того, метод конечных элементов применялся для.
расчета дву- и трехмерных пограничных слоев в исходных переменных [Ва(сег, 1983]. 9 16.6. Задачи Простые течения в пограничном слое (6 15.1) 15.1. Двухслойный неявный алгоритм для решения (15.2) может быть записан в виде / "+' — и"1 их х ! и/г ! „х [ЛЛ „е+! ! (! ах Л[и и ]"+/+ (1 — Л) [и и ]" + т [Л/.яви~/ь~ + (1 — Л) /. ай/], (1598).
где их! — — Ли"+'+(1 — Л) ие!. о! =Ло!+'+ (! — Л) о!, (и — и! !) (и! ! — 2«! + и/+!) Покажите, что на каждом шаге итерации й уравнения (!5.98) могут быть представлены в виде трехдиагоиальной системы а.«+ + Ь иа+ + с и + =е/., ! !-/ // ! !+! !' ( ! 5.99) где а — Л (у + Ь), Ь! — — ив+ 2ЛЬ, с. = Л (т — Ь), т=о.бо —, Ь=ч —, и! — — Ли/+(! — Л!и ах ах е ! ау ' аут' /' И. «/и/ — 0.5 (1 — Л) о ! — 1 (те/+ ! — и/ !) + ахЛ [«еиее] + т хауг + ах (1 — Л) [иеиее]" + (! — Л) ч ( а з ) 1«! / — 2ит + и!ею]. На каждой итерации значение о +' получается из (!5.8). В начале итерации а+! l и = иа; в конце и" +' = иа+/. / !' / / 15.2.
Модифицируйте программу 1йМВ1 (рис. !5.8), включив в нее вышеприведенную схему, совпадаюшую со схемой Крепка — Николсона при 287 $ 15.6. Задачи Л = 0.5 и неявной схемой при Л = бражениому на рнс. 15.5, но при (а) зМАХ =41 1) /)Х=0.10, 2) /)Х = 0.20, 3) /)Х = 0.40, (Ь) /)Х=0.2, Ь)МАХ=100 1.0. Получите решения, аналогичные изо- ЫМАХ =20, Ь(МАХ = 1О, ЫМАХ = 5, 1) /МАХ = 21, 2) ЗМАХ 11, 3) ЯМАХ 6. Коэффициент поверхностного трения можно сравнить с «точным» значением сы, = 0664(йе л)-Мз.
15.4. Модифицируйте программу 1АМВЕ, вводя в нее механизм изменения шага направленной по потоку переменной Ах в соответствии с изменением решения, как это сделано в программе ВОВОВ. При ЗМАХ=21 сравните необходимое число шагов вниз по потоку для определения решения со сравнимой точностью, с тем же числом в алгоритме с фиксированным шагом при 1 < х < 3 и Ах = ОПО, 0.20. 15.5. В программе (.АМВОН у „выбирается достаточно большим, заведомо большим толщины пограничного слоя в точке х «и Разработайте и реализуйте процедуру, адаптивно увеличивающую у „в соответствии с увеличением толщины пограничного слоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
