Fletcher-2-rus (1185919), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Один из путей — потребовать, чтобы выполнялось условие у „ ~ йй+, где й †эмпирическ константа. 15.6. Определите главные члены в ошибке аппроксимации ди/ду и д'и/ду' по формулам (15.17). Для дзи/ду' определите ограничение на г„, уменьшаю- юнее ошибку аппроксимации до второго порядка. Какое ограничение иа г„ позволяет получить второй порядок по формуле ди (и/+! — и/ !) ду (1+ гв) Ау Рассмотрите возможность разложения в ряд Тейлора в точке, отличной от ус Каким образом можно повлиять на ошибку аппроксимации конвектнвных членов и может ли быть получен более высокий порядок аппроксимации всего уравнения на неоднородной сетке? Из результатов (а) определите примерную зависимость скорости сходимости от Ах. Из результатов (Ь) определите примерную зависимость скорости сходимости от Ау.
15.3. Модифицируйте программу ЬАМВ(. для расчета течения в пограничном слое у пластины. Это соответствует () = О. Следующая замена данных в строках 8 — 15 соответствует автомодельному (Блазиус) решению, которое используется в качестве начальных данных и «точного» решения: ВАТА УВ /0.0000, 0,0931, 0.1876, 0.2806, 0.3720, 0.4606, 0.5453, 0.6244, 0.6967, 0.761 1, 0.8167, 0.8633, 0.9011, 0.9306, 0.9529, 0.9691, 0.9880, 0.9%9, 0.9988, 0.9997, 0.9999, 1.0000/ ВАТА УВ /0.0000, 0.0094, 0.0375, 0.0840, 0.1479, 0.2276, О.ЗЮО, 0.4234, 0.5318, 0.6410, 0.7466, 0.8443, 0.9310, 1.0047, 1.0648, 1.1116, 1.1716, 1.2001, 1.2115, 1.2153, 1.2165, 1.2167/ РАТА УЯ /00, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0, 2.4, 26, 2.8, 3.0, 3.4, 3.8, 4.2, 4.6, 5.0, 5.4/ Гл.
15. Течения в пограничном слое 288 15.7. Примените схему ячеек Келлера, описанную в п. 15.1.3, к задаче пограничного слоя около клина (п. 15.!.2). Сложные течения в пограничном слое (5 15.2) 15.8. Для обтекания пластины дискретизация Кранка — Николсона уравнений (15.14), (15.15) дает 0.5 + 0.5 / + 0.5 ! + Ау ' Ау ' Ах +05 =О, Ах (15.100) л+! л1 0.5 (й+ ил+ ) + 0.25ол + л+! л+!! /ип 2ип+ ил +0.25оль' ! =0,5 ! / ! + Ау = Аут ( п» пь! + ль!) + 0.5 / . (!5.101) пуз Нелинейные члены в точке х"ь' линеаризуются относительно х", т.е. л-1- ! пт / Лп-! Л'! 0.5( и+ил"!1 ~ ' Лх / Ах вл+!( л+! ил+1) и/ ол (иль! ил+1) ! ел+! (ип ил ) 15.9.
Используйте (15.49), (!5.50) в уравнениях, полученных в отдачее 15.8 с добавлением и,!/и,/!/х из (15.!5). Получите решение для обтекания клина (5 = 0.5) и сравните его с решением, полученным по программе ЬАМВ1.. Метод Дородницына описания пограничного слон ($15 3) 15.10. Получите по программе ОООО() ре!пение, соответствующее рис. 15.18, но при ЙАТСН=0.01, РМАХ=О.О! в трех случаях: (1) !УМАХ=6, (2) УМАХ=1! и (3) А/МАХ=21. Сравните полученные значения с! и 6* с экспериментальными данными (Со)ез, Н!гз1, 1968) (вариант 3300). 15.11.
Получите по программе ))ОКОП решение, соответствующее рис. 15.18, в трех случаях: (1) ЙАТСН=0.01, (2) ЙАТСН= 0.02, (3) ЙАТСН = 0.05. Выберите РХСН достаточно малой величиной, чтобы можно было наблюдать механизм изменения шага (Ах). Определите влияние параметра КАТСН на точность и экономичность численного решения. 15.12.
Модифицируйте программу 00)тОР так, чтобы по ней можно было получить распределение скорости поперек пограничного слоя. Наиболее Покажите, что после подстановки этих выражений в уравнения (15.100) и (15.101) последние могут быть приведены к виду (15.46), (15.48), позволяющему получить связанные решения. 289 э 15.6. Задачи удобно это делается через члены у+ и и+ (п. 18.1.1), где у+ = итр йе, и+ = иlит и о 300 11 0.60 0.4125.0021.00 0.16ВЕ-01 2.167Е+06 0.001Е-ОО ОА01Е-00 0.100Е-ОО 0.2ООЕ-ОО 0.147Е-ОО 5.000Е+00 0.020Е-ОО втковьквт ьив тзьыыииз В.р.ь. ЛзаК-Оз ЛЩЕ407 .726К-ОЗ ЛэаК-ОЗ 12 з.щазэ 3.19434 3.275эь 3.354от зльььь зл1442 3.46747 з.зэзщ з.зыбь 3 13512 злзьат зльоз ° 1.66462 1.4ООЬЬ 1.19526 1.О2369 .Втжь .ЬЩОО .36750 .36443 .36441 .36767 .ЗВ060 .43723 а.озаьо лат .зьт лзт лзт 1.237 1.647 2.247 2.447 1.000 1.000 1.006 1.003 1.006 1.003 1.006 1.006 О.ооо о.ооо о.ооо О.ооо о.ооо о.ооо о.оао о.ооо 3.57650 З.ВОВ22 3.60776 3.57723 2.53211 2.32607 2.09397 1.67966 .54114 .45ЫВ .40517 .3В367 .51143 .61245 .90673 1.55564 3.447 В.оат 4лат ьлат 1.006 1.006 1.009 1.006 о.ооо о.ооо о.ооо о.ооо Рис.
15.25. Начальные данные для расчета по программе ПОКО(1 течения в турбулентном слое у пластины. Течения в трехмерных пограничных слоях (6 15.4) 15.15. Используя (15.85) и (15.86), получите выражения для коэффициентов ап Ь„ 07 и Ы; в уравнении а Р! т!' а+ Ь Р",. +а + с Р~(~4~~ з — — 7(р где г" = — и или м, (15 102) которое представляет трехдиагональные системы уравнений, связанные с линией сетки (К и) на рис. 15.23. Получите коэффициенты аг, ..., и',: (1) для схемы Кранка — Николсона, (2) для схемы зигзаг Краузе. 15.16.
Примените схему зигзаг Краузе для расчета ламинарного пограничного слоя на пластине, на которой расположен круговой цилиндр радиуса а с центром в точке х = х, и х = О. Распределение невязкой скорости у цилиндра достаточно точно определяется по теории потенциала ($ 11.3) 19 К. Флетчер. т, 2 15.13. Рассмотрите в общих чертах изменения, которые необходимо сделать для введения в программу ООКОО одномерных квадратичных элементов (п. 5.3.2). Точное определение (!5.63) возможно, но весьиа громоздко. Легко осуществить численное определение на основе квадратур Гаусса [2!еп(г!ем!сз, 1977).
Опыт расчетов [Р!е10(гег, Е!ее1, 1984а, (7) показывает, что применение квадратичных элементов более эффективно, чем применение линейных при рассмотрении ламинарных пограничных слоев, и менее эффективно при рассмотрении турбулентных. 15.!4. Начальные данные для расчета турбулентного течения у пластины приведены на рис !5.25. Эти значения соответствузот данным Внгхардта и Тилльмаиа, приведенным в работе [С01еа, Н!га(, 1968).
Примените программу ОО)1ОО для этого случая и сравните полученные значения коэффициента трения с7 и толщины вытеснения б* с даниымн Коулза и Херста (вариант !400). Гл. !5. Течения в пограничном слое 290 в виде где га (х — хз)з+ хт. Обратного градиента давления, связанного с цилиндром, достаточно для отрыва иограннчного слоя перед цилиндром.
Взяв начальные данные достаточно далеко вверх по потоку (в точке х=г ,.), соответствующие обтеканию плоской пластины, получите маршевым методом решение до точки г = О, близкой к точке отрыва. Это решение можно сравнить с решением (СеЬес), 1975], полученным для атой задачи по схеме ячеек Келлера. Глава 16 Течения, описываемые укороченными уравнениями Навье †Сток В этой главе будут рассмотрены уравнения, занимающие промежуточное положение между полными уравнениями Навье — Стокса и уравнениями пограничного слоя.
Такие уравнения называются укороченнгнми уравнениями Навье — Стокса (КНЬ вЂ” от английского йебпсед Иач(ег — 8(окез). Для течений с вязкими слоями большой толщины или с большой кривизной линий тока приближение пограничного слоя дает неточные решения в первую очередь из-за того, что в этом приближении не учитывается изменение давления в поперечном направлении.
Однако с точки зрения вычислений уравнения пограничного слоя обладают весьма привлекательным свойством. Будучи неэллиптическими в направлении течения, эти уравнения позволяют построить для их решения однопроходовый маршевый (и, следовательно, экономичный) алгоритм. К1»Ь-уравнения строятся так, что они сохраняют экономичность уравнений пограничного слоя и в то же время позволяют адекватно моделировать процессы, описываемые полными уравнениями Навье— Стокса, численное решение которых требует больших усилий.
В предыдущих рассуждениях подразумевалось, что класс КЫЬ-уравнений определен менее строго, чем полные уравнения Навье — Стокса (гл. 17 и 18) или уравнения пограничного слоя (гл. 15). Не удивительно поэтому, что в литературе встречаются иные, отличные от описываемых ниже, промежуточные уравнения, сохраняющие некоторые свойства ЙГЧЬ-уравнений. Так, в работе [1.огпах, Ме1а, !984] вводятся составные уравнения, включающие в себя невязкое и вязкое приближения полных уравнений Навье — Стокса. Составные уравнения включают в себя приближения тонкого слоя, гладкого слоя и конические уравнения Навье — Стокса, связанные с определенными физическими свойствами течений.
Это позволяет использовать их в определенных случаях. В работе [Рач(з, 1(пЫп, 1980] приводятся уравнения Навье — Стокса вязкого течения, во многом совпадающие с составными. Рубин [РпЬ)п, 1981] предложил «параболизоваиные» уравнения Навье — Стокса. В названии подчеркивается вычисли- 19* 292 Гл.
16. Течения, описываемые К1ЧБ-ураанениями Нанૠ— Стокса тельное преимущество данных уравнений, возможность построения маршевого алгоритма решения для параболических уравнений. Тот же подход развивается в работах [Кцдгпап, КцЬ1п, 1968; 1(п, РпЬ)п, 1973; 1пЬагс(, Не!1(хне!1, 1974; 1(п, йцЬ(п, 1981!. Позднее [КпЬ(п, 1985[ эти уравнения были названы укороченными уравнениями Навье — Стокса; именно они и будут рассмотрены в данной главе.
Приведенное выше название чаще всего вводится в связи с внешними течениями. Внутренние течения, описываемые промежуточными уравнениями, называются «параболическими» [Ра1апкаг, Вра!б(пд, 1972[, «частнчно параболическими» [Рга1ар, Зра1йпд, 1976[, «полуэллнптическнмп» [ОЬ|а е1 а!., 1981[ и «частично эллиптическими» [КЬ(е, 1985[ течениями. Однако, как и для внешних течений, используются названия параболизованные [Апдегзоп, 1980[ и укороченные [Кгезкочз(су, ЗЬапзго(Ь, 1978[ уравнения Навье — Стокса. В этой главе название укороченные уравнения Навье — Стокса будет использоваться для промежуточных уравнений, описывающих и внутренние, и внешние течения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
