Fletcher-2-rus (1185919), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Это подтверждает, что система (16.1) — (16.3) эллиптическая. Следовательно, граничные условия должны быть определены на всех границах, $2.4. Граничные условия ограничивают связанный с корнями уравнения (16,26) энспоненциальный рост решения системы (16.1) — (16.3). Если описанный выше анализ, начиная с представления (16.24) и т. д., применить к укороченным уравнениям Навье— Стокса (16.4) — (16.6), вместо (16.26) получится следующий полинам: (а'„+ а„') (с (ист, + оа„) + (1/Ке) а'„] = О. (16.27) Пренебрежение диффузией в направлении потока, т.
е. членами д'и/дх' и два/с/хв, приводит к изменению второго множителя в уравнении (16.26). Подобное же изменение имеется в модельной задаче, приводящей к уравнению (16.21). А именно, корень второго множителя в уравнении (16.27) равен и-„ в о,=1 —" — а —. к ияе ви' $16.1. Введение зо? До тех пор пока и положительно, не возникает экспоненциальио нарастающих по х мод. Таким образом, укороченная форма уравнений Навье — Стокса эффективно подавляет экспоненциально нарастающие моды в операторах конвекции и диффузии. Однако укороченная форма уравнений Навье — Стокса никак не влияет на первый множитель в уравнении (16.26), который полностью сохраняется в (16.27). Первый множитель в (16.27) имеет мнимый корень со знаком минус, который дает экспоиенциальный рост в направлении х.
Отбрасывание члена более низкого порядка 1(ио + оо,) в уравнении (16.27) не влияет на мнимые корни первого множителя. Это означает, что укороченные уравнения Навье — Стокса являются уравнениями смешанного эллиптическо-параболического типа. Эллиптическое поведение связано с первым сомножителем в (16.27), а параболическое — со вторым. Любая эллнптичность делает невозможным построение «времениподобного» маршевого алгоритма, что собственно и вызывает интерес к укороченной форме уравнений Навье — Стокса.
Если проследить, какие члены в уравнениях (16.4) — (16.6) входят в первый множитель (16.2?), становится ясно, что эллиптическое поведение обусловлено взаимодействием членов с давлением в уравнениях импульса с такими же членами в уравнении неразрывности. Если бы в уравнениях каким-либо образом удалось подавить влияние членов др/дх и др/ду, эллиптического поведения можно было бы избежать.
Анализ Фурье укороченных уравнений Навье — Стокса для сжимаемых течений (16.12) †(16.15) приводит к более сложному, чем (16.27), полиному, который нельзя интерпретировать столь же точно. Можно рассмотреть промежуточную категорию течений, справедливую для трансзвуковых значений чисел Маха, описываемую уравнениями (16.12), (16.13), (16.17), и пренебречь, как в п. 18.1.2, диссипативным членом в уравнении (16.15).
Уравнение (16.15) тогда можно заменить уравнением (11.104), которое может быть записано в безразмерной форме = (1 + 0.5 (у — 1) М~ (! — (й + о ) И. (! 6.29) Это уравнение используется для выражения р через р, и и о и исключения его из уравнений (16.13)и (16.17). Данное приближение согласуется с фактом малого изменения температуры в расчетной области при трансзвуковых числах Маха и адиабатических стенках. 20* 808 Гл.
1б Течения, описываемые К)Ч5-уравненвямв Навье — Стокса форме (16.30) В этих уравнениях пренебрегается зависимостью вязкости р от температуры, а безразмерная скорость звука определяется выражением (16.33) Мв Если недифференцируемые члены, подобные ав, ри, ро и т. д., в уравнениях (!6.30) — (16.32) заморозить, а для р, и и о ввести разложение в комплексный ряд Фурье, подобное (16.24), можно получить следующий полипом относительно о,: — 1ч(рЛ + — ~ [Л вЂ” а (о'„+ о') — 1 — (иа„+ оо )~ = О, (! 6.34) где Л=ио„+ ооа.
(16.36) Для внешних течений вдали от изолированного тела укороченные уравнения Навье — Стокса совпадают с уравнениями Эйлера, описывающими невязкие течения. В этой ситуации в уравнении (16.34) следует положить Ре = со. Уравнение при этом сводится к виду ((рв — ) ((ио„+ оо„)в — ав(о,'+ о'„)1 = О. (16.36) Первый множитель имет корень о,/о„= — х/и, а корни второго множителя равны цв ио аа(Ма — 1) ( (16.37) иа — оа иа — оа где локальное число Маха М = (и'+ ов)ца/а. Из (16.37) следует, что если течение локально дозвуковое, т.
е. М ( 1, образуются корни со знаком минус при мнимой части. Это приводит к экспоненциальному росту решения в маршевом (х) направлении, что согласуется с тем, что невязкие уравнения эллиптические при М ( 1 и гиперболические при М ) !. Через р, и и о уравнения могут быть записаны в др др ди до и — +о — +р — +р — =О, дх ду дх ду иа др / ри т ди ди (у — 1) до 1 — — + (',— ) — + ро —— ро — —— у дх ч у ) дх ду у дх Ке аа др (у — 1) ди до Гроу до ду у ду дх (,у)ду Ри — +Ри + 1ч ) даи — =О, дуа (16.31) 0 дуа (16.32) 5 16.1.
Введение В более общем вязком случае следует использовать непосредственно уравнение (16.34). Поведение первого множителя эквивалентно поведению второго сомножителя в (16.27). То есть, он не дает экспоненциально нарастающих мод при положительной скорости и. Второй множитель в квадратичный по а, и позволяет получить следующие значения корней: ах иа 1тиа„ ав ив — а' + яр Пе(ие — а') З- е и в ~(Ме — !) — (,") — ", ~ .
(16,38) При больших значениях Ке значение [ ) па определяется членом (Ме — 1), который приводит к сильному экспоненциальному росту при дозвуковом течении. Для течений с и ( а второй член в правой части (16.38) приводит к слабому эллиптическому поведению, как и любой член в ( ) пв при любой скорости. Таким образом, вязкие члены приводят к слабому экспоненциальному росту в направлении х, скорость которого уменьшается с увеличением йе.
Данный результат, однако, может быть иным для эквивалентной турбулентной формы ЙИЗ-уравнений. Легко видеть, что и в невязком, н вязком случаях дозвуковой поток приводит к сильному экспоненциальному росту в направлении х. Однако если можно было бы подавить член др/дх в уравнении (16.13), в невязком случае не образовывалась бы экспоненциально нарастающая по х мода при положительных значениях скорости и. Для сжимаемых течений без ограничения на локальное число Маха укороченные уравнения Навье — Стокса имеют вид (16.12) — (16.16). Давление может быть выражено через температуру и плотность из уравнения состояния 1+ ум'р=рт, (16.39) Для р, и, а и Т вводится комплексное разложение Фурье, подобное (16.24).
При подстановке его в основные уравнения вместо (16.34) получается следующий полипом: аехг ав +1 — ( — ) Ла'(а„'+а')+р' — "( — "ц ) Л'а„а =О. (!6.40) При выводе уравнения (16.40) отдельные члены, содержашие 1/Кев, были отброшены; зависимость вязкости р от температуры также не учитывалась. Последний член в правой части 310 Гл.
16. Течения, описываемые й1Ч5-уравнениями Навье — Стокса содержит производную ди/ду, связанную с диссипативным членом в уравнении (16.16). Можно видеть, что при больших значениях тсе поведение решения определяется произведением первых трех множителей в уравнении (16.40). Первые два множителя приводят к такому же поведению, что и второй множитель в (!6.27), и не дают экспоненциального роста по х при положительной скорости и.
Третий множитель, однако, такой же, как второй сомножнтель в уравнении (16.36), и приводит к тем же результатам, т. е, для Таблица 16.1. Доминирующее поведение решения укороченных уравнений Навье — Стокса Свсрхзвуиовые течения, м>1 Несжимаемые течения, м-о дозвуновые течени», о<м<~ Эллиптическое поведение, обусловленное взаимодействием давления с уравнением неразрыв- ности Гиперболическое поведение, обусловленное не- вязкими членами Сильное эллиптическое поведеаие, обусловленное давлением Слабое эллиптическое поведение, связанное с взаимодействием давления с вязкими чле- нами Слабое эллиптическое поведение, связанное с взаимодействием давления с вязкими чле- нами дозвуковых течений образуются экспоненциально нарастаюшие в направлении х моды.
Включение в рассмотрение других членов уравнения (16.40) не приводит к существенному изменению этих выводов. Как и для трансзвуковых течений, описываемых уравнениями (16.30) — (16.32), если членом др/дх в уравнении (16.13) можно пренебречь, цель получить устойчивое решение за один маршевый проход будет достигнута. Очевидно, что произвольное отбрасывание члена др/дх приведет к нефизическим решениям полученной системы уравнений. Результаты анализа различных категорий укороченных уравнений Навье — Стокса суммированы в табл. 16.1. Основной вывод заключается в следующем: пренебрежение диссипацией в направлении потока эффективно подавляет экспоненциальное нарастание решений в направлении течения, связанное с взаимодействием процессов конвекции и диффузии. Однако при этом не удается преодолеть существенно эллиптическое поведение решения, связанное с давлением для дозвуковых течений.
Если существует дополнительный механизм для «нейтрализации» члена др/дх в уравнении х-компоненты импульса, решение за один маршевый проход в направлении течения может 5 16.1. Введение 3!! быть получено при любых числах Маха. Многие из приемов, описанных в 9 16.2 и 16.3, в той или иной степени осушествляют контроль влияния члена др1дх. 1б.1.4. ТНГеЕР: задача ввода тепла где а„= 10/(Рг Геев), ау = 1.6/Рг. Граничные условия для уравнения (16.41) имеют вид (рис.
9.12) Т(0, у)=0 при х=О, — =0 при х=х,„, (16.42) Т(х, ~!)=! при у=~1. За исключением области, расположенной в непосредственной близости ко входу в канал, х= О, продольная температурная диффузия значительно меньше поперечной; следовательно, член а д'Т|дхе в уравнении (!6.41) может быть отброшен, В результате «укорочениое» уравнение принимает вид д деТ д — (иТ) = а — — — (иТ). дх в дуе ду (16.43) Поскольку уравнение (16.43) параболическое по х, никаких граничных условий при х = х,„ставить нельзя.
Остальные граничные условия определяются соотношениями (16.42). Данная задача должна быть решена в области 0 ( х ( 2.00, — 1.0 < у ( 1.0 маршем в положительном направлении х, начиная от известного решения при х =О. Таким образом, х играет роль времени, а распределение температуры Т(0, у) определяет «начальиые» условия.
В у-направлении используется групповой метод конечных элементов ($ 10.3) с линейной интерполяцией. Для производных по х в уравнении (16.43) используется дискретизация Кранка — Николсона. Полученные алгебраические уравнения могут В п. 9.5.2 рассматривалась задач о втекании «холодной» жидкости в «горячий» двумерный канал. Для определения стационарного распределения температуры при заданном распределении скорости использовался метод установления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
