Fletcher-2-rus (1185919), страница 55
Текст из файла (страница 55)
9 16.2. Внутренние течения В. Течение во входной области, С. Существенно вязкое течение, хс порядка О (0л (тте). хп » 0л )хе. О. Сформировавшееся течение, Непосредственно на входе в канал в течении имеют место очень большие градиенты скоростей вблизи стенок, поскольку в Многие внутренние течения, например течения в трубах, каналах, воздухозаборниках двигателей, достаточно точно описываются укороченными уравнениями Навье — Стокса. Однако, как следует из табл. 16.1, исходные КХЗ-уравнения, как правило, являются эллиптическими. Для стационарных внутренних течений полный поток массы через любое поперечное сечение постоянен.
Это свойство может быть использовано для построения неэллипгических ЙХБ-систем уравнений. Примеры приведены в п. 16.2.1 и 16.2.2. Для течений в сильно искривленных каналах в п. 16.2.3 будет описан другой подход, основанный на расщеплении поперечного поля скоростей. Расщепление скорости позволяет получить корректное вязкое решение за один маршевый проход в направлении течения.
Течение в прямых трубах и каналах в зависимости от расстояния от входа (рис. 16.7) может быть разделено на четыре типа ЯцЬ)п е1 а!., 1977). Число Рейнольдса для течений в каналах вычисляется по гидравлическому диаметру О, и средней скорости (7 . Разделение на четыре типа осуществляется следующим образом: А. Течение непосредственно на входе, хх порядка О (0л/йе).
хв порядка О(0„). 318 Гл. 16. Течения, описываемые кват-уравненнямн Навье — Стокса этой области из-за вязкости скорость набегающего потока уменьшается до нуля. Для правильного описания этой области необходимо решать полные уравнения Навье — Стокса на локально весьма мелкой сетке. В области В на стенках канала формируется пограничный слой. Поле течения может быть здесь определено на основе совместного анализа невязкого течения (гл. 14) и течения в пограничном слое (гл. 15). Такой подход 2а нааегаюыиа ~ )~- 2Ь пата» Д„= 4 айу(а+Ь) да=ри йь/р.
Рнс. !6.7. Классификация течений для прямых каналов. описан в работе [тхиЬ)п е1 а1., 1977]. Однако течение в области В может быть рассчитано и на основе КХ8-уравнений. Достаточно далеко вниз по потоку, область С (рис. 16.7), «пограничные слои» сливаются и течение во всем поперечном сечении должно рассматриваться как вязкое. То есть, влиянием вязких членов в уравнениях уже нигде нельзя пренебречь.
Для определения решения в этой области пригодны тхИБ-уравнения. Еще дальше вниз по потоку (область Р) течение перестает зависеть от направленной по потоку координаты х. При маршевом алгоритме решения укороченных уравнений Навье — Стокса направленная по потоку координата х играет роль времени. Следовательно, решение этих уравнений в области Р соответствует установившемуся решению в методе установления ($ 6.4).
Для многих внутренних течений канал (или иной проход) заканчивается в области В или С. Течения в диффузорах, рассматриваемые в п. 16.2.1, попадают под эту категорию. Для сформировавшегося течения (область Р) появление препятствия внутри канала или на стенке приводит к образованию новой области С вниз по потоку от препятствия. Далее образуется новая область Р. При течении в канале с искривленной центральной линией образуются вторичные течения и область С сохраняется. Типичная поперечная картина линий тока (т. е. построенная по вто- З!8 $ !6.2. Внутренние течения ричным компонентам скоростей о и ш) приведена на рис.
16.8. Ось канала отклоняется вправо относительно направления набегающего потока. Методы расчета течений в каналах малой кривизны, рассматриваемые в п. 16.2.2, основаны на том, что уравнения можно сделать неэллиптическими по отношению к направлению вниз по потоку. Для расчета течений в каналах большой кривизны применимы методы, описанные в п. 16.2.3. Л 1 1 (1 ПЛОСКОСТЬ Колере кета тече л иееетеищив Летек Рис. !6.8.
Типичная картина поперечного течения в искривленном канале. Как показано в п. 16.1.3, эллиптичность укороченных уравнений Навье — Стокса для дозвуковых течений обусловлена действием давления. Чтобы получить неэллиптические тчтчБ-уравнения, необходимы дополнительные ограничения или приближения. Ниже это будет продемонстрировано на ламинарном несжимаемом течении в трубе (т, е. в канале кругового сечения), Соответствующие тс)ч)8-уравнения, эквивалентные (16.4)— (16.6), но записанные в полярной системе координат, имеют вид ди до о — + — + — =О, дх дг г до до др ! гдто ! до о т и — + и — + — = — !ч — + — — — — г!. (16.53) дх дг дг тте чдге г дг гтг'' Для внутренних течений с малыми поперечными скоростями поперечное изменение давления мало и его градиентом в направлении маршевой переменной х в соответствующем уравнении импульса можно пренебречь.
Таким образом, для 320 Гл. 16. Течения, описываемые КХБ-уравненнямн Навье — Стокса осесимметричного течения давление можно расщепитгс р = р„, (х) + р' (х, г), (16.54) В уравнении для радиальной составляющей импульса (16.53) остается лишь член др'/дг, поскольку др,,/дг = О.
Таким образом, получаются три уравнения для четырех зависимых переменных. Однако можно получить дополнительное условие, если заметить, что для стационарного течения полный поток массы и постоянен. Поток массы определяется выражением (16.56) Таким образом, дт/дх = О, т. е. а дт г ди — = 2пр ~ г — дг=О. дх а дх в (16.57) Последнее выражение проще использовать в уравнениях (16.5!), (16.53) и (16.55). Можно заметить, что уравнение (16.57) получается также в результате интегрирования уравнения (16.51) по поперечному сечению трубы.
Значения и"+' и р,"+' из уравнений (16.55) и (16.57) можно получить следующим образом. Уравнение (16.55) в разностном виде по х записывается в виде и" Лиа" /Ьх =/(ив+па, се+и' г) — бра+'убх, (16.58) а11 ! где Ли"+' =и"" — и", и"+и' =0.5(и" + и""), пятне 1 бол О 5оа-~ (16.59) где р,л — давление вдоль центральной линии, а р' — поправка, учитывающая радиальное изменение. Подстановка этого выражения в уравнения (16.52) и (16.53) показывает, что др'/дх порядка 0((б/Е)а), в то время как основные члены (16.52) порядка 0(1).
Здесь б — толщина вязкого слоя (=0.50 вниз по потоку от точки слияния вязких слоев, рис. 16.2), 0 — локальный диаметр трубы, Ь вЂ” характерная длина вдоль оси трубы. Следовательно, членом др'/дх можно пренебречь и уравнение (16.52) принимает вид 321 $16.2. Внутренние течения Индексы и и 1 определяют точки сетки в направлении х и гсоответственно. При аппроксимации производных по г в уравнении (16.59) трехточечными центральными разностями в результате линеаризации (16.58) в окрестности точки х", как это сделано в п. 10.1.3, можно получить (и" — 0.5Лх — ") Ьил+' = Ахун (и", слеи' т ) — Арл+,', (16.60) где 7н — разностное представление У.
Уравнение (!6.60) трех- диагональное и может быть легко факторизовано на верхнюю 1) и нижнюю 1. треугольные формы (например, при помощи алгоритма ВАРГАС, п. 6.2.3). Уравнение (16.60) можно тогда записать в виде Из дискретного (например, по формуле трапеций) представления уравнения (16.57) можно получить явное выражение для ,т„,я+ь ел Ьр,",„+' = Ьх ~ г() 1. Ун е(г l)~гВ '!. ттг. (16.62) н /н Таким образом, уравнения (16.60) и (16.62) образуют модифицированную трехдиагональную систему, из которой для каждой точки х"+', расположенной вниз по потоку, можно определить значения ил+' и р""' ! лл Расщепление давления по формуле (16.54) и введение ограничения на поток массы (16.57) позволяют получить четыре уравнения для четырех неизвестных.
Из описанного в п. 16.1.2 анализа Фурье этой системы следует, что решение и состоит из двух компонент: одной осциллирующей и одной экспоненциально убывающей по х. Следовательно, поскольку система неэллиптическая, устойчивое решение может быть получено маршевым методом по х. Основной момент, позволивший получить неэллиптическую систему, состоит в отбрасывании члена дре/дх в уравнении х-компоненты импульса, в результате чего было получено уравнение (16.55). Если это приближение допустимо, решение для внутренних течений, описываемых укороченными уравнениями Навье— Стокса, может быть получено за один проход. Такой подход справедлив для закрученных течений, рассматриваемых в и.
16.2.1, и для течений в прямом канале (п. 16.2.2). Однако для течений в сильно искривленном канале поперечные градиенты давления существенны и для построения неэллиптической системы требуются другие методы. Этот вопрос будет рассмотрев в п. 16.2.3. 21 К. Флетчер, т.
2 322 Гл. !6. Течении, описываемые к)Ч8-уравненинми Навье — Стокса дрг ыг дг г (16.65) днг дгв еге и +о дк —.+ —.= дг гв ! д (е'гв') (е'гв') гг г дг г При выводе уравнений импульса (16.64) — (16.66) отброшены члены второго по 6/1. порядка, соответствующие диффузии в направлении потока. В уравнениях (16.64) и (16.66) отброшены также некоторые достаточно малые турбулентные члены. При выводе уравнения (16.65) для радиальной составляющей импульса отброшены конвективные и диссипативные члены второго порядка. Можно заметить, что в уравнениях (16.64) и (16.65) введено расщепление давления (16.54). Турбулентные члены в уравнениях (16.64) и (16.66) можно связать с осредненными характеристиками течения при помощи соотношения ди —,, г дэ геч и'о' = — ч„—, о'го' = ча [ — — + — г! .
(16.67) к дг дг г)' Здесь тг и ча — турбулентные вязкости, которые также можно связать с осредненными параметрами течения. Конкретные алгебраические соотношения приведены в работе [Агш!!е!б, Р!е(- с)тег, 1986). 16.2.1. Закрученное внутреннее течение Данная задача связана с экспериментальным фактом [Вепоо е! а1., 1978), заключающимся в том, что если потоку, втекаю- щему в конический диффузор, придать небольшое вращение сов(г), то для углов раствора конуса, при которых имеет место отрыв незавихренного потока (- 15'), отрыв завихренного по- тока не происходит.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
