Fletcher-2-rus (1185919), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Следовательно, источник [и в уравнении (16.99) может быть выражен явно. Расчетной границей при решении (16.99) является ряд точек, лежащих за стенкой. На этой границе для р' ставятся граничные условия Неймана др' дра т — = Рд или — = гд, ду (16. 101) ~д — — 1д+ —,! [ ) Тс(А — ~ д сЬ[ (16.102) ЕА где Рда и Рд определяются выражениями (16.!00). Для выполнения теоремы Грина значение 1« в (16.99) заменяется выражением $16.2. Внутренние течения 335 Для численного решения уравнения (16.99), как и для решения уравнения (16.96), можно использовать прямые и итерационные методы. Весь алгоритм расчета можно представить следующим образом.
Решение уравнений (16.80) — (16.83) получается за один 0.5 0.4 03 В 0.2 0.1 0 0 О , 1.0 2.0 0.5 0.4 0.3 мъ 0.2 ОЛ 0 0 0 гц ЬО 2.0 Рнс. 16.13. Распределение осевой скорости н канале с удлинением УУ/!т' =2.0 ((Вг!!еу, 1914]; печатается с разрешения Асаг!еш!с Ргезз). проход вниз по потоку. В каждой плоскости к"+' значения ие+г, о"+', иге+', р',*+' и р' "+' определяются следующим образом: 1) решение уравнений (16.88), (16.89) и (16.92) позволяет определить и"+' р"+' оя н гпя; 2) решение уравнений (16.96), (16.94) и (16.98) позволяет определить о"+' и ю"+'! 8) решение уравнения (16.99) позволяет определить рь "+'. 366 Гл.
16. Течения, описываемые й!Ч5-уравиеииями Навье — Стокса -0.5 -О. 5 Общая погрешность всего алгоритма 0(Лх, Луе, Ляг). Несмотря на то что некоторые шаги алгоритма требуют проведения итераций, он в целом является весьма аффективным. По сравнению с задачей о закрученном течении (п. 16.2.!) наличие двух поперечных координат 0 2.0 приводит к более сложному )-+--ч-! Ипш)ув """ (игйп)йв способу определения о, ш и по- 0.5 правки давления р' при помощи уравнения Пуассона. В задаче о закрученном потоке радиальная скорость и поперечная поправка давления получались за один мар-' шевый проход в радиальном направлении.
В работе (ВП!еу, 1974) получено решение для ламинарного течения в канале с от;вг ношением сторон 1: 1 и 2: 1. Типичные результаты для канала с отношением сторон 2: 1 представлены на рис. 16.13 и 16.14. Число Рейнольдса йе, вычисленное по средней скорости на оси У и гидравлическому диаметру (рис. 16.7), равно 1333. Решения получены на сетке 21 и, 21 в поперечной плоскости. Для прохода вниз по потоку обычъ/1!у но требовалось 75 шагов. Как видно из рис. 16.13, рассчи- Рис. 16.14. Профили втоРичных сио танные значения осевой соростей в канале с удлинением 2: 1 ((пг!!еу, 19741; печатается с рааре- ставлЯющей скорости в Разшеиия Асадегп!с Ргеаа).
личных поперечных сечениях хорошо согласуются с экспериментальными данными из работы [Ьрагготгг е1. а!., !967). Можно заметить (рис. 16.14), что вторичные компоненты скорости довольно малы. Большие значения поперечных скоростей получаются при неодинаковом нагреве стенок канала и учете плавучести в уравнении вертикальной поперечной составляющей импульса. Этот случай также рассмотрен в работе (ВП!еу, 1974). Описанный выше алгоритм в несколько измененном виде использовался для расчета ламинарного течения в прямом по- $16.2.
Внутренние течения 337 лярном канале [ОЫа е! а1., 1977] и в искривленном прямоугольном канале [ОЫа, Зо)гйеу, 1977]. Обобщение на искривленный полярный канал описано в работе [ОЫа е1 а!., 1979]. Задача о расчете течения в канале за один маршевый проход рассматривалась в работах [Ра1апЕаг, Яра!й!пд, 1972; КпЫп е! а1., 1977; Кгезкочз)гу, ЬЬатго!)г, 1978; Апоегзоп, 1980; Соо1се, Р~чоуег, 1983] и ряде других. В работе [ОЫа е! а1., 198!] показано, что если внутреннее устройство канала приводит к отрыву потока, то укороченные уравнения Навье — Стокса дают правильное решение.
Однако при этом один маршевый проход заменяется повторяющимися маршевыми итерациями, в которых сохраняется и используется на следующей итерации все поле давления. Такой итерационный подход к решению КХБ-уравнений весьма близок к методу, описываемому в п. 16.3.3. Р ! о = 1l + пе + п,р, гп = йг + гве + гве, или в векторной форме ч=т! +че+че, (16. 103) (! 6.
104) 22 к Флетчер, т. е 76.2.3. Течение в искривленном канале прямоугольного сечения Для расчета течения в прямоугольном канале со слабо искривленной осью применим метод, описанный в п. 16.2.2. При малой кривизне поперечные составляющие скорости и и ш малы по сравнению с продольной составляющей и. Это соответствует малым изменениям поправки давления р'' в формуле (16.84), особенно в направлении течения, что позволяет пренебречь членом др" е/дх в уравнении составляющей импульса, направленной по потоку. При большой кривизне оси канала поперечные составляющие скорости и и ге могут стать одного порядка с компонентой и, направленной по потоку.
Вследствие этого возникают сушественные поперечные изменения давления. Расщепление давления, введенное в п. 16.2.2, в этом случае не приводит систему уравнений к неэллиптическому типу и не может обеспечить возможность определения решения за один маршевый проход. Другой способ получения неэллиптических уравнений, пригодный для течений большой кривизны, предложен в работе [ВН1еу, МсРопа10, 1984]. В этом методе для заданной геометрии канала в качестве первого приближения используется не- вязкое решение И, )и, Ю' и р', которое далее модифицируется путем решения К!ч)Я-уравнений, что позволяет учесть вязкие эффекты.
Поперечные компоненты скорости расщепляются следующим об азам: 333 Гн. 16. Течении, описываемые )((ЧБ-уравнениями Навье — Стокса (! 6.105) где каждый член ч состоит из двух компонент (и, ш). Потен- циальная поправка скорости уф= — (пф, вф) создается градиен- том продольной составляющей скорости ди/дх. Ее введение,. как и в (16.95), необходимо для выполнения уравнения нераз- рывности (16.80). Вихревая поправка у = (и„, пгф) создается направленной по потоку компонентой завихрейности ь), кото- рая в декартовых координатах равна двуг дигф д)гз доф ззХ + ду ду ди да Если невязкое решение потенциальное, то дКг/ду — д)г'/дх = О.
Неэллиптические уравнения могут быть получены в связи с тем, что потенциальная поправка скорости уф мала по сравне- нию с невязкой Чг и вихревой у . Это, как будет показано ниже, следует из сравнения порядков различных членов в уравнениях. Ниже описывается подход для расчета несжимаемых вязких течений в ортогональных координатах; обобщение на сжимае- мые вязкие течения в ортогональных координатах описано в работе [ВН!еу, Мс()опа!б, 1984). Ортогональные координаты обозначаются через ($, т), Ь); и, и, ш — локальные составляю- щие скорости вдоль этих координат. Метрические параметры »т, Ьг, »з определяются соотношениями (12.20), т.е, йя г+„г+ г, ),г г+„г+ г йа г+„г+ г(16106) и вычисляются, как описано в $12.2, один раз после построе- ния сетки.
Эквивалентная декартова система координат полу- чается, если положить х1 = у„= хс = 1, а все остальные па- раметры приняты равными нулю. При этом»г =Из —— »з — — !. Поперечное поле скоростей уф и т связано с потенциалом ч) и поперечной функцией тока з(з соотношениями ! дф 1 дф Рф = — —, )гз дч ' гпф = — —, Из дь' д(» ) ! д(» ) пф — —— Ы И,».
дй ф »,», дп Для сравнения порядков величин различных членов предпола- гается, что направленная по потоку координата $ совпадает с линиями тока невязкого течения, поэтому Р = )Р" = О. Под- становка выражений (16.107) в уравнении (16.103) дает и= — — +— 1 дф 1 д (»!гР) 1 дф ! д (»~гР) пт = — — — — ' . (16.108) Иг дп Иг»з дь ' »з дй Иг»г дп При сравнении порядков величин, как и в п. 16.1.1, предпола- гается, что вязкие эффекты ограничены слоем безразмерной толщины б, малой по сравнению с безразмерным продольным $ !6.2. Внутренние течения 339 размером порядка 0(1).
Для обезразмеривания используется характерная длина 1. в осевом направлении. На входе в камал (рис. 16.7) 6 — толщина пограничного слоя; в областях и,о,ой! -О(!) ит,гор,ийр - 016) 0(нг) и, оф,о,р 0(о] игф 0(В~] Рис. !б.!5. Летали поперечной геометрии. вязкого и сформировавшегося течений величина 6 равна половине гидравлического диаметра Ра. Метрические параметры й!, Ья, Ьа в уравнениях (16.108) порядка 0(1).
Вблизи стенки, соответствующей постоянному значению т! (рис. 16.15), и, и, Зе, тй 0(1), о 0(б), ~ — 0 (б). (16.109) Вблизи стенки, соответствующей постоянному значению ь, и, о, д, д 0(1), ш 0(6), д 0(б ]. (16.110) Из сопоставления оценок (16,109), (!6.110) с выражениями (16.107) следует, что !й имеет порядок 0(бт), а тр — порядок 0(6). Тогда в соответствии с оценкой (16.109) -О(6), ш О(6),, О(!).
В соответствии с (16.110) ге~, ше-О(о), ое-0(6'), ое-О(1). Поскольку сильные градиенты возникают у стенок, на которых Ь или т! постоянны, то че 0(6), и, тге- 0(1). (!6.11!) Зап Гл. )б. Течения, описываемые й)ЧЗ-уравнениями Навье — Стокса Следовательно, поперечная потенциальная поправка скорости и мала по сравнению с компонентой скорости и, направленной по потоку. В то же время поперечная вихревая скорость и,з того же порядка, что и скорость в напоавлении потока. Уравнения, эквивалентные (16.80) — (16.83), могут быть записаны в следующем виде: (16.112) (16.113) у п=0, М=(ц у)и+ар — — Г=О, ! Ке где и = (и, и, ш), М вЂ” вектор трех уравнений импульса, Г— сила, обусловленная вязкими напряжениями. После подстановки соотношений (16.104) и (16.107) в (16.112) получается уравнение Пуассона для ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
