Fletcher-2-rus (1185919), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Для р, и и о в уравнениях (16.156) — (16.!58) вводится комп- лексное представление Фурье (см. п. 16.1.2). Это позволяет по- лучить уравнение для собственных значений о: Г') ' а„ха !' — '")(Ъ- ( -1Н- ")+ ь аа а, Г !уира ) + ~по((у+1) м(у 1)1 ~~+ аа ( рйе ) !уоои ) 1 Г Го„1 +'((" ") — "Цр Р(и +'"' к."3=' ("'5') $ !6.3. Внешние течения зву (16.161) где и'=и(1 — та(у — 1)/у), р'=р(у — 1)/у, (.„=(1, О, — !)г/2Ьу, Второй множитель связан с оператором конвективной диффузии, как и в уравнении (16.34), и позволяет получить устойчивое маршевое решение за один проход, если и больше нуля. Весовой параметр Виньерона е» появляется в первом множителе (16.159).
Основное внимание будет уделено невязкому случаю (Ке-н ее) при о =О. Первый множитель дает корни — (16.16О) ан (и' [т — а (т — 1)! — ва')пе ' Чтобы избежать появления корня о, со знаком минус при мнимой части, необходимо, чтобы выполнялось условие М ( т я 1+1ч- 1) М'. Как и следовало ожидать, это условие совпадает с условием (16.153), поскольку в невязком случае уравнение (16.151) эквивалентно условию постоянства полной энтальпии. Использование других зависимых переменных не влияет на результат анализа Фурье. Если М ) 1, условие (16.161) не приводит ни к каким ограничениям. Однако, если М ( 1, из (16.161) следует, что член (1 — ш)др/дх может быть исключен из уравнения импульса в направлении потока.
Таким образом, для дозвукового обтекания изолированного тела использование условия (16.161) в большей части расчетной области является большим приближением, чем в дозвуковом поверхностном слое в сверхзвуковом течении.. Анализ Фурье (п. 16.1.3) очевидным образом связан с анализом устойчивости Неймана дискретных уравнений ($ 4.3). В связи с этим возникает интересный вопрос: имеется ли условие устойчивости, аналогичное (16.161), на размер шага по маршевой переменной для разностного представления уравнений (16.156) — (16.158) .
Для точки течения, в которой о = О, полностью неявное дискретное представление невязкой формы уравнений (16.156)— (16.158) может быть записано в виде (,), '..' шае чн (йя+~ йе) ане~ и а +(Р")! ' ~, ' =О, (!6.!63) (;) ае ч а н+! е — ) Ьнр; — (р'и)! /ни! +(ри)!" ' „1 = О, (16.164) У ! 358 Гл. 16. Течения, описываемые КХ8-уравнениями Навье — Стокса индексы а и / соответствуют направлениям х и у.
Для проведения анализа Фурье системы (16.162) — (16.164) уравнения линеаризуются, для чего замораживаются множители прн разностных выражениях производных, для которых вводится комплексное представление Фурье по направлению у. Таким образом, а+1 .ее~ Пв Р! Р Е и р ро и р О А = ва'/у ри' О,  — = вав/у ри' О оае/у — ор'и ри О О ри Все элементы матриц А и В определяются в точках х", уь а о = = 1(тах/Ау) з)п 20.
Для устойчивости системы (16.166) необходимо, чтобы собственные числа удовлетворяли условию А ~в (т — 1) рМ~.а о (16.167) где тМ'рв о ! — в'о'/13 ноев тр м'„р А 'В (16.168) тМ'„аа, иова 2 (у — 1) М, — ввт = 1 — в(у — 1)/Ъ р = о'+ ТМ'ваь в~ = (1/в„— 1/в), ТМа/11+ (у — 1) Ма], сг т.
е. совпадает с (16.161). После введения величины т= 1 — Л для собственных чисел матрицы А — 'В получается уравнение т фта — 2овт + ов) = О. (16.169) Далее, подставляя выражение для р и введя обозначение за = = — оа = (ах з)п 26/ау)а, это уравнение можно привести к виду [1+(у — 1)Мх)(в — всг) г'=и (г — 1). (!6.170) где, как и в п. 9.2.1, О=отитау. После введения аналогичных представлений для и и о получается следующее матричное представление: А«"+ =В«", (16.
166) где «=(й, д, р)г и з 16.3, Внешние течения 369 Два случая ш < шее и ш ) шее представляют интерес, поскольку они соответствуют неэллиптическому и эллиптическому поведениям невязкой системы (16.156) — (16.158) при о=0 относительно маршевого направления х. При ет ( ш„из (16.170) следует, что -+- ап' (1 — Л) = 1еЛ, (16.171) где а= (1+(у — 1) Ме](ш„— ш). Следовательно, ~ аи' (т- аи — 1е) (а+ е') (16. 172) Поскольку Л вЂ” комплексная величина, условие (16.167) удобно рассматривать в виде ЛЛ(1.0, из которого следует + ее (16.
173) (16.175) Поскольку а — положительная величина, а е — вещественная, из условия (16.173) не следует никакого ограничения на е и, следовательно,— на Лх. Таким образом, в неэллиптическом слу- чае ш ( ш„нет ограничений на ах. Если бы вместо разност- иого представления (16.162) — (16.164) использовались явные аппроксимации пространственных производных, можно было бы ожидать появления условия устойчивости вида Лх( (Лх) ($9.1). Однако данное условие связано с численной схемой, а ие с характером уравнений. При ш ) ш„из (16.170) следует -1- ап'(1 — Л) = еЛ, где а ]1+ (у — 1) М~] (ш — ш„).
Следовательно, ап2 (~ апя+ е) Из условия Л < 1.0 следует, что е ) апе. Из условия Л ) — 1.0 следует, что е ) 2аы' или (Лх/Ьу)з!и О сон О ) а'ге. На конеч- ной сетке 0 ш = Луп/у,„ж з!и О, а соз О ж 1. Таким образом, ЛХ ) а 1 ушах/П ИЛИ Л ) И1+( — 1)М2]( — ш,4п'У„'", (16.!76) где у „— поперечный размер расчетной области. Из условия (16.176) следует, что если уравнения эллиптические, то суще- ствует ограничение на шаг вида Ьх ) (Лх) нн где (Лх) ш про- порционально степени эллиптичностн. Если величина (Лх) шш слишком велика, точное решение за один маршевый проход по пространственной переменной получить нельзя. 360 Гл.
!б. Течения, описываемые й!ЧЗ-уравнениями Навье — Стокса Зависимость (Лх) ы от у,„аналогична найденной в работе [1цЬагб, Не!!!нее!1, 1974[ для дозвукового подслоя в сверхзвуковом течении. Однако, как правило, у ,„ в (16.176) значительно больше у,! на рис. 16.17. В работе [КпЬ|п, 1.!п, !980[ получено ограничение вида Лх ) йу ,„ для несжимаемых течений. Рубин [КпЬ|п, 198Ц полагает, что (Лх) ы требуется для преодоления влияния вверх по потоку, присущего основным уравнениям. Из приведенного анализа, а также из работы Рубина [КпЬ|п, !984] и цитированных в ней работ следует, что при решении эллиптических уравнений маршевым методом за один проход появляется условие устойчивости вида Лх ) (Лх);„, где (Лх) пропорционально степени эллиптичности.
Доказательство данного утверждения в общем случае, однако, не проведено. Как отмечалось выше, чтобы получить точное решение задачи о внешнем дозвуковом обтекании, необходимо осуществить повторяющиеся (итерационные) маршевые проходы в направлении течения. Приближение Виньерона в такую итерационную схему можно включить следующим образом. Уравнение (16.157) заменяется уравнением ри — + ро — + от — — — — = — (1 — вт) ~ — у, (16.177) ди ди др ! д и Г др т* дк ду дк йе дут ! дк) где от выбирается в соответствии с условием (16.153). Член в правой части (16.177) вычисляется как нижнерелаксационная комбинация предыдущих итераций или берется с внешней границы вязкой области. Решение чисто невязкой задачи, как правило, может быть получено более экономным образом ($14.! и !4.3), чем решение эквивалентной вязкой задачи.
Следовательно, более эффективно проводить решение дозвуковых КХЗ-уравнений от твердой поверхности до точки, где вклад вязких членов в КЫЗ-уравнения пренебрежимо мал. Вне этой области течение считается чисто невязким и для решения можно использовать панельный метод Я 14.1) или метод полного потенциала (п. 14.3.3). На каждой итерации невязкая задача решается во всей невязкой области, а для КЬ!Б-уравнений осуществляется один маршевый проход. Если вязкая (КХЗ) область сравнительно тонкая в поперечном направлении, для аппроксимации правой части (16.177) можно использовать значение (др/дх)' с внутренней границы не- вязкой области.
Такая итерационная схема будет описана ниже. Другой способ, при котором используются локальные значения др/дх с предыдущих итераций, будет описан в п. 16.3.3. Решение дозвуковых КХЯ-уравнений более удобно проводить, если ввести в них давление р. Система (16.156) †(16.158) э 16.3. Внешние течения 361 в этом случае заменяется эквивалентными уравнениями — + — =О, д (ри) д (рв) дк ду (16.178) д. (! + р) + д (ри") ое д (1 ш) ( дх ), (16.179) д д дви др д д 1 двв — (Рис) + — (Ро'+ Р) — — —, = О, (16.180) дх ду йе ду' р=р//г 1, +!У~ ~1(1 — (ма+из)11, (!6.181) где все сгруппированные члены в (16.179) и (16.180) обезразмерены на р" ((/")2. Тогда рви= р" /р" ((/и)'=1/уМ2, откуда следует несколько отличающееся от (16.29) уравнение (16.181). Для рассматриваемой задачи вводятся следующие обозначения.
На сетке, изображенной на рис. 16.21, строится маршевый я 1 я )+1 Рис. 16.2!. Сетка для двумерных дозвуковых й(ЧБ-уравнений. (по х) алгоритм, в результате чего получается решение на слое х/+ь Полный маршевый проход составляет (и+ 1)-ю итерацию. На каждом слое х/+/ решение в поперечном направлении (и, о, р, р)/+ь» получается последовательно. Обозначения, приведенные на рис. 16.21, не совпадают с обозначениями, использованными в п.
16.2.3 и 16.3.1, где индекс а обозначал положение вниз по потоку. Уравнение (16.!79) используется для определения й/+2,'. В разностной форме ово имеет вид ((риа) + в — (риз)/ 2) ((рив!/+,/ а+/ — (рив)/+/ 2 /) ( /е//2, 2 — 1 и/+//2, в+ /е//2, е+/) 1(е Ьуа — ш~р/ „— р., 2)/Лх — (1 — ш) 0.5(р'й, — р' и)/Лх. (!6.182) Зах Гл. 16. Течения, описываемые йХЬ-уравнениями Навье — Стокса В уравнении (16.182) все члены, для которых не указаны индексы, берутся со слоя х1+ь Верхний индекс ! означает невязкое значение; так, значение р! " определяется из предыдушего не! вязкого итерационного приближения на внешней границе вязкой области.
Величина релаксационного параметра Виньерона определяется из условия (16.181). Члены в (16.182), вычисляемые на слое х,+!ли линеаризуются относительно хь например, по формуле (рио) „, .= (рио) + 0.5 ( — (рио)) Аи где би»+!, » — — и;+!, » — иь ь Линеаризация проводится для тога, чтобы получить из (16.182) линейную систему уравнений относительно Ли;+!, ь Поэтому при построении линейной формы пренебрегается зависимостью рио от р и о. В результате (16.182) можно свести к трехдиагональной системе уравнений где А» = — 0.25 — (ро)., » — ! — 0.5 —, Ьх и+! Ьх ду ' ' не ау' ' В»=2(ро)1+»+( ",), Ьх ах С» = 0.25 — (ро)1, »+! — 0.5 ду Ие Ьуа ' О» = — ~(рио)1,+»+! — (рио)";,"»' !] 0.5 —" + ду + ( ) (иве! 2ин+! + ив+! ) !в(рве! рнь! ) 05(1 св)(рс,и ~Я,е) На поверхности тела и!+1, ! — — О, поэтому Ьи1+!, ! = О.
На внеш- ней границе вязкой области (й = К) бин1++!! = Ли1! л!, т. е. Лии1++!!, получается из невязкого решения. Для решения системы (16.183) можно воспользоваться алгоритмом Томаса (п. 6.2.2), В РЕЗУЛЬтатЕ ЧЕГО ПОЛУЧаЮтСЯ ЗНаЧЕНИЯ ин1+!! » ПОПЕРЕК ВЯЗКОГО СЛОЯ ПРИ Х = Х1Е!. На второй стадии перехода к х»+! в результате одномерного прохода от поверхности тела к вязкой границе вычисляются зна- чения о"+,' . Для этого, как это сделано в работе [РаФ, 61п)!а, 1985), уравнения (16.178), (16.180) и (16.181) комбинируются в одно уравнение вида (16.
184) $16.3. Внешние течения где Е=р(1 — Му), Р=рМ„Ма, а = — (р ф (1+ (у — 1) М'.1 + (у — П рМ.М„+ а а М = —, и Уравнение (16.184) с точностью до 0(Л»а, /йуг) заменяется разностным, откуда получается л+! Г л+! ЬУ л2! о/+! й ~ Р/+!/2, » — !/2 а (о/+!, й — ! о/, й-! оь й) + Ь» л+! +!!: + 2ЛУ0/+!/2, » !/г+ Е/!»цг„'й — цг(о/+!, » — !+ + о/, »-! — о/ й)"+'~!(Е/+цг, 1 — цг ах Р/2цг й цг) . (16.185) л+! л+! л+! При вычислении Е/и цг,й !дч Р/ецг,»-цг и О/ч цг, й цг значения о, р, р и а аппрокснмируются по значениям в точках, расположенных вверх по потоку. Величина и"++,' » уже известна из решения системы (16.183). Значение о"++,' к на внешней границе вязкой области является граничным условием для расчета в невязкой области. Давление р"++,' й , получается из интегрирования (16.180) от внешней вязко-невязкой границы к стенке следующим образом: гл+! л+! 1 л+! л+! /+!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
