Fletcher-2-rus (1185919), страница 63
Текст из файла (страница 63)
й-! !+!, й 1, й /, й-! Ьу Р/+!/2. й-!/21 /+!/2, й — !/2 ~ /ч-!» !/2 ! й цг~ ал + +2 л»' ~~и /о — о ) — + '!л.!- ! + о1+Цг, » — !/2(о/+!/г, » — о1+Цг, »-!)1 2 л+! — (о/2!/2, » — ! — 2о/+цг»+ о/ецг йе!) . (16.!86) Наконец, плотность следует из уравнения (16.181). После завершения (и+ 1)-го марша находится новое невязкое решение.
Для решения обычно используется метод потенциала скорости Я 14.1 и 14.3). Внешнее невязкое течение определяется значением нормальной составляющей скорости о", х на внешней границе вязкого слоя. Из невязкого решения находится значение и"+,' х на внешней границе вязкого слоя, необходимое для отыскания следующего решения внутри вязкого слоя. Взаимодействие между вязкой и невязкой областями должно осуществляться вне вязкой области. Точное положение 364 Гл. !6. Течения, описываемые К1Ч5-уравнениями Навье — Стокса границы несущественно. Поскольку невязкое решение получается более экономично, чем решение КХЬ-уравнений, границу взаимодействия желательно располагать как можно ближе к телу.
В работе (Сйеп, ВгаЖ)тати, 1984) использован алгоритм подобного типа, но в связанных с телом декартовых координатах для расчета (турбулентного) трансзвукового течения у двумерного аэродинамического профиля, расположенного под небольшим углом атаки. В работе [Раз)т, 61п)та, 1985) использован похожий алгоритм для расчета турбулентных дозвуковых слоев смешения. В упомянутых применениях, однако, использовалось значение от =О. Таким образом, продольный градиент давления в уравнении продольной составляющей импульса определялся полностью из невязкого решения.
В обоих случаях точное сходящееся решение получилось в результате сравнительно небольшого числа ((10) маршевых проходов вниз по течению. 16.3.3. Несжимаемые течения Для внешних сверхзвуковых течений (п. 16.3.1) решение К)ч)Ь-уравнений может быть получено в результате одного маршевого прохода, если вблизи твердой стенки используется приближение подслоя. Во внешних дозвуковых течениях (п. 16.3.2) имеет место влияние вверх по потоку через внешнюю область невязкого течения, что может быть учтено путем проведения повторных маршевых итераций. Из ограничения Виньерона на продольный градиент давления в уравнении направленной по потоку компоненты импульса (16.161) можно сделать вывод, что при уменьшении числа Маха набегающего потока М для достижения сходимости понадобится большее число итераций.
В сущности, по мере того как уменьшается сжимаемость, связанная с движением (т. е. уменьшается М ), должно возрастать влияние вверх по потоку. Следовательно, в алгоритме расчета несжимаемых течений различные части расчетной области должны быть связаны сильнее.
Эта связь через взаимодействие с внешней невязкой (эллиптической) областью и путем использования направленных вперед конечных разностей для аппроксимации др/дх в уравнении направленной по потоку компоненты импульса приводит к влиянию вверх по потоку. Если происходит отрыв вязкого слоя, возвратное течение через конвективные члены также приводит к влиянию вверх по потоку. Если в расчетной области имеется большая отрывная зона, Й)ч(5-приближение с одним или несколькими маршевыми проходами становится неприменимым.
К)ч)Я-уравнения, например (16.4) — (16.6), могут все еще оставаться хорошим приближением, но подход, основанный на повторяющихся маршах в на- $16.3. Внешние течения правлении потока, становится, как правило, ие более экономным, чем метод установления ($ 6.4). В последнем случае сильная глобальная связь проявляется через необходимость решения уравнения Пуассона для определения давления ($ 17.1 и !7.2).
В данном разделе будет рассмотрен метод Рубина и Редди (йпЬ)п, йеййу, 19831. В этом методе для давления появляется разиостное уравнение Пуассона, но оно оказывается непосредственно связанным с компонентами скорости, что позволяет использовать преимущества КМЗ-подхода с повторяющимися маршами по потоку. Алгоритм эффективно работает, даже если в течении возникают небольшие области возвратного течения. В методе Рубина и Редди К!ч!8-уравнения рассматриваются во всей области расчета.
Однако расщепление области на внутреннюю вязкую (КХЯ)-область и внешнюю невязкую, как в п. 16.3.2, не представляет труда. Несжимаемые ЙХВ-уравнения, описывающие двумерное ламинарное течение в конформных координатах (п. 12.!.3), имеют вид д (Ьи)+ — (Ь~) =О, (16.187) — (Ли')+ — (Ь ип)+ив — — о — + Ь вЂ” = д г дЬ т дЬ др д$ дч дч дй д1 яе д 1Ь' д (Ьи))' — (Ьио) + — (Ьое) + иц — — ие — + Ь вЂ” = О.
(16.189) д д я дЬ е дЬ дР д$ дч д$ дч дч Согласно Рубину и Редди, в уравнении (16.189) не оставлено вязких членов. )чХЗ-уравнения, описывающие турбулентные течения, будут иметь аналогичный вид, если напряжения Рейнольдса выражаются через турбулентную вязкость (п. 11.4.2). Уравнения (16.187) — (16.189) являются уравнениями неразрывности и 5- и т(-компонент импульса соответственно. Компоненты скорости вдоль направлений $ и и обозначены через и и и.
Ортогональная метрика определяется уравнением (12.20). Для конформных координат Ь = Ь = Ь = (хт + ут)пе — (хе + ут)пт (16 190) Система координат ($, т1) строится так (гл. 13), что одна из координатных линий $, т. е. т)е, совпадает с поверхностью тела, а другие координатные линии $ примерно совпадают с локальным направлением течения.
Координатные линии ч ортогональны линиям $ и, следовательно, ортогональны поверхности тела и примерно локальному направлению течения. Использование системы координат Я, т!) позволяет приблизить маршевое З66 Гл. 16. Течеиив, описываемые КМ3-уравиеииями Навье — Стокса направление к локальному направлению течения, что увеличивает точность ЯХЬ-приближения. Рубин и Редди [КцЬ!и, цеИу, 1983] отмечают, что для несжимаемых течений пренебрежение поперечными вязкими членами в уравнении т1-компоненты импульса соответствует пренебрежению вязкими членами в направлении потока в уравнении ~-компоненты импульса. Однако включение или отбрасывание поперечных вязких членов в уравнении т1-компоненты импульса не влияет на характер всей системы уравнений (и.
16.1.2). Поскольку система (16.187) — (16.189) решается маршевым методом в положительном направлении $, все производные по $ от и и о в областях безотрывного течения аппроксимируются разностями назад. Для аппроксимации члена др/д$ используется модифицированная аппроксимация разностями вперед, позволяющими учесть влияние вверх по потоку, связанное с эллиптическим поведением давления. В этом случае необходимо хранить все поле давления р, поскольку оно используется для следующего (итерационного) маршевого прохода вниз по течению. В противоположность этому поле скоростей запоминать не надо, по крайней мере в области безотрывного течения. При каждом маршевом проходе оно рассчитывается заново.
В областях отрыва для аппроксимации конвективных членов используются разности против потока. Поскольку все $-марши осуществляются лишь в положительном направлении $, поле скоростей с предыдущей итерации необходимо запоминать лишь в области возвратного течения. Для простоты разностиое представление уравнений (16.!87)— (16.189) будет проведено для неконсервативной формы в декартовой системе координат. Направление оси х — маршевое' направление.
В результате получается Ыи~,а ив+а„ока=О, (16.191) а — ! а л — в В е Р(ЬЬ а Рка е иь аЬ иь а+ оь арвид а+ ' д ' — — — (.ааиь и, (16.192) пь ь — ц21» оь а — ца + оь и — майа п~, а + 7 » рь а = О, (16.193) где Л„и Еиа — трехточечные центрально-разностные операторы (табл. 9.3), а Е, и ń— направленные операторы, т. е. .7. ив ив = ', ~ и, Еаавь ь= — ь ' . (!6.194) (и~ а — и~ ~ а) (о а — о а ~) Все члены вычисляются на и-й итерации, за исключением члена р"+,' а, для которого используются значения с предыдушей итерации. Как видно из рис. 16.22, дискретные представления урав- 6 16.3. Внешние теченнн 367 нений неразрывности и у-компоненты импульса центрированы соответственно в точках с и у, индексы которых совпадают н равны (1,/т — 1/2), в то время как уравнение х-компоненты импульса центрировано в точке х с индексами (1,)т). Порядок аппроксимации схемы равен 0(бх, Лук).
Рубин н Реддн (1(пЬ1п, ° и а бу ° ир Охи еи р еи ® © ° и,р ео ° ар еи ° 1+1 Рне. 16.22. Сетка хан уравнений (16.191) — (16.!93). Кеббу, 1983) предложили похожую схему второго порядка точности по х и у. Данный алгоритм использовался для расчета несжимаемого ламинарного и турбулентного течений около конечной плоской пластины и изолированного симметричного аэродинамического профиля. Граничные условия (рис.
1б.23) и = о = О при т) = т)а (поверхность тела); о = О, ди/дт) =О на линии симметрии (т) = =т)о) На внешней границе (т) =тп„„) р=Р, и= У и не требуется граничных условий для о. На входной границе ($ = ва) и = Уо(у), до/д$ = О, где Ув(у) — заданное распределение скорости. Для конечной плоской пластины это распределение совпадает с профилем скорости в пограничном слое, для которого Уа — — У в невязкой области. На выходной границе (9 = = $ „) определяется давление или ставится условие др/д$ = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
