Fletcher-2-rus (1185919), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Для каналов с существенно искривленной осью поперечные градиенты давления становятся настолько велики, что расщепление давления, использованное в п. 16.2.1 и 16.2.2, перестает быть справедливым. Расщепление поперечных компонент скорости на вихревую составляющую, связанную с завихренностью в направлении потока, и безвихревую (или потенциальную), связанную с законом сохранения массы, позволяет получить неэллиптическую систему уравнений даже при полном учете давления.
Однако следует подчеркнуть, что вязкое решение в методе расщепления скоростей (п. 16.2А) строится как коррекция к предварительному невязкому решению. Для дозвуковых течений это предварительное невязкое решение является эллиптическим. Для внешних сверхзвуковых вязких течений точное решение может быть получено за один маршевый проход, если размер шага в продольном направлении не слишком мал и дозвуковая область вблизи твердой поверхности сделана «неэллиптической». Экстраполяция давления поперек дозвукового подслоя из сверхзвуковой области позволяет получить требуемую «неэллиптичность» (и. 16.3.1). Другой путь связан с введением взвешивания Виньерона для члена др/дх в уравнении продольной х-составляющей импульса в точках сетки, лежащих в дозвуковом подслое.
Для внешних дозвуковых вязких течений внешний (т. е. вдали от изолированного тела) поток является эллиптическим. Это приводит к необходимости введения итерационных повторяющихся маршевых проходов в направлении течения для решения ЯМЬ-уравнений. Если уравнения лишь слабо эллиптичны, то, как отмечено в условии (16.176), для устойчивости отдельных маршевых проходов (п. 16.3.2) параметр эллиптичности должен удовлетворять условию пЛх/у,„) ац'. Для получения сходимости за несколько маршевых проходов в случае несжимаемых течений (а = 1) член пйх/у,„не должен быть много меньше единицы (п.
16.3.3). Весьма эффективным оказывается й 16.5. Задачи 365 применение многосеточных методов (п. 16.3.5) для ускорения итераций. Рассмотрение большей части методов в этой главе было сделано применительно к ламинариым течениям. Однако, если турбулентность моделируется путем введения дополнительной турбулентной вязкости, все методы без нарушения неэллиптичности К)ч)5-описаний могут быть обобщены на турбулентные течения.
Хотя качественный анализ (п. 16.1.2) указывает на неприменимость К)ч5-уравнений для расчета возвратных течений, имеются эмпирические доказательства (п. 16.3.3) того, что КМ5-уравнения адекватно описывают такие течения, если выбрать для их решения подходящий итерационный алгоритм. Однако, если область отрыва занимает существенную часть области расчета, может оказаться, что К)ч(5-подход с повторяющимися маршевыми итерациями не будет иметь преимуществ перед обычными методами Я 6.4) решения полных уравнений Навье — Стокса. Поскольку для решения уравнений, описывающих иевязкие внешние течения, имеются более экономичные (чем методы решения К)ч(Ь-уравнений) методы, обычно имеет смысл разделить всю область на КМЬ-область вблизи тела и внешнюю иевязкую. В КМЬ-подходах, описанных в п.
!6.3.2, эти области ие пересекаются. Однако в традиционном разделении на невязкое течение и течение в пограничном слое эти области пересекаются. Для расчета сильных вязко-невязких взаимодействий (п. 16.3.4), правильного учета небольших областей возвратного течения и быстрого изменения в продольном направлении вблизи острой задней кромки профиля поверхностного трения и давления традиционный подход может быть модифицирован. В результате получаются методы (п. 16.3.5 — 16.3.7), больше напоминающие К5)5-подход, описанный в п.
!6.3.2. Все описанные в данной главе методы численно были реализованы на основе конечно-разностной дискретизации. Другие методы дискретизации, например метод конечных элементов [Ва)сег, 1983), также используются при решении К)х)Я-уравнений, но обычно для дискретизации переменной, играющей роль времени, используется конечно-разностное представление. 9 16.5. Задачи Введение в м(Ч5-уравнения (й 16.1) 16.1. Осредненные по времени уравнения, описывающие несжимаемые турбулентные течения, имеют вид (1! 92) — (! 1.94). Лля вывода укороченных уравнений, эквивалентных уравнениям (16.4) — (16.6), проведите анализ порядков величин в стапиоиарных осредненных по времени уравнениях, описывающих турбулентное течение у входа в двумерный канал, параллельный оси х.
Предположите, что напряжения Рейнольдса порядка 0(5!5). 25 К Флетчер, т х 386 Гл. 16. Течения, описываемые )1!тБ-уравнениями Навье — Стокса 16.2. В ортогональной системе координат несжимаемые уравнения Навье — Стокса имеют вид д д — (йги) + — (й,о) = О, дх ду и ди о ди г 1 др 1 — — + — — + иоКи — огКг, + — — — — Чти =О, й! дх йг ду й, дх Ке и до о до 1 др 1 — — + — — — и'К,г+ иоК„+ — — — — Ро =О, й! дх Лг ду йг ду )те где 1 дй~ Кы= —— йй, др' дй Кю Л~йг дх ' Предполагая, что й» йг, Кгг и Кг, порядка 0(1) н и ~ о, проведите анализ сравнения порядков величин и выведите следующую укороченную форму уравнений: — (Ьги) + — (й,о) = О, д д дх др ди 1 др 1 д (й! ди) — + иоК,г + — — — — — т! — — ! =О, ду й! дх йе ду(йг ду) о до 1 др -(- — — — игКгг+ ив К„+ — — = О.
йз ду и, др и ди о — — -1-— йг дх ' йг и до й| дх 16.3. Опишите и обсудите зависимость Г от х, задаваемую уравнением (16.20), в случаях 1) и,о ям 1,е,б малы; 2) иги1, о мало, е,б малы; 3) и мало, о ю 1, е, б малы; 4) и мало, о яи 1, е мало, б велико; 5) и мало, о = 1, е ги 1, б = О. 16.4. В несжимаемом ламинарном течении около пластины, параллельной потоку, др/дх гм 0 вдали от передней кромки. Проведите анализ Фурье уравнений 1) (!6.1) — (16.3) с др/дх, отброшенной в (16.2); 2) (16.4) — (166) с др/дх, отброшенной в (!6.5). Обсудите характер поведения решения в связи с зллиптичностью или неэллиптичностью уравнений. 16.5.
Иногда для устойчивости расчетов в правую часть (16.30) добавляется член едгр/дуг. Здесь е — положительная малая эмпирически подбираемая константа. Примените анализ Фурье к модифицированной таким образом системе (16.30) †(16.32). Определите, будет ли поведение решения в этом случае отличаться от поведения, определяемого выражениями (!6.37) и (!6.48). 16.6. Получите решение по программе ТНКЕО при МЕ=2 в случаях 1) Ьх=0.20, Ьу=0.20; 2) Ьх=0.05, Ьу=0.20; 3) Ьх=0.05, Ьу=0.10; 4) Ьх = 0,01, Ьу = 0,20 % 16.5. Задачи 387 Сравните точность полученных решений у пентральной линии с точностью, полученной по программе ЙЕР-ГЕМ и АР!ГЕМ (табл.
16.3). Сравните вы- числительную эффективность (6 4.5) путеч приблизительного подсчета числа операторов н (илн) прямого измерения времени СР!1, Внутренние течения (й 6.2) 16.7. Введите расщепление давления (16,54) и покажите, что др'/дх в уравнении (1652) порядка 0((б/Цз). Предварительно имеет смысл рассмотреть порядок др'/ду в уравнении (16.53). 16.8. После введения расщепления давлении (16.54) и отбрасывания др'/дх в (16.52) используйте анализ Фурье (п. 16.1.2) для доказательства того, что устойчивое решение системы (16.51) — (16.53) может быть получено за один маршевый проход вниз по потоку.
16.9. Покажите, что уравнение (16.60) может быть получено из дискретного представления уравнения (16.55). 16.10. Примените анализ Фурье (п. 16.1.2) к системе уравнений (16.80)— (16.83) при постоянном значении р'"' и покажите, что в направлении х можно ожидать экспоненпиальный рост решения. Введите вязкое расщепление давления (!6.84), опустите член др'/дх в (16.81) и покажите, что для этой системы устойчивое решение может быть получено за один маршевый проход вниз по течению.
16.11. Покажите, что замена !» в (16.96) на /л из (16.98) удовлетворяет условию (16.97). 16.12. Используйте анализ Фурье (п, 16.1.2) для вывода уравнения (16.120) из системы (16.113), (16.114), (16.116), (16.118) и (16.119). Получите эквивалентный (16.120) полином, если (16.116) не вводится в (16.113). Как это повлияет на устойчивость решении за один маршевый проход? 16.13.
Чтобы убедиться, что ш = 0 на стенке с постоянным значением у, получите выражение для Р», ь », эквивалентное (16.130). Внешние течения (6 16.3) 16.14. Рассмотрите приближение поделок в декартовых координатах при условии постоянства полной энтальпии (16.181). Уравнения имеют вид ирх+ ору+ риз+ роа — — О, ди ди др ! д'и ри — + ро — + — — — —,=О, дх ду дх )(е ду' де до 1 д»о Ри — + ро — — — — = 0 плюс уравнение (16.181). дх ду Ее дуз Примените анализ Фурье для вывода характеристического полинома р ((рй+ — ) ~(а — и ) и — (у+ 1) иоа и — уо и + ! !ч — ) и ~ = О, )се) ! х ха в !рре) в3 где Л = ип, + оп». Покажите, что при положительном и первый множитель не приводит к экспоненпиально нарастающему решению.
Покажите, что если пренебречь последним членом во втором множителе, то можно получить устойчивое в направлении х решение. 25» 388 Гл. 16. Течения, описываемые )т!)3-уравнениями Навье — Стокса 16.15. Лля дозвукового невяэкого течения весовой метод Виньерона, при- мененный к др/ду, позволяет вместо системы (!6.156) — (!6.158) получить др др ди до и — +о — +р — +р — =О, дх ду дх ду а' др ри ди ди (у — !) до — — + — — +ро —— ро — =О, у дх у дх ду у дх а' др до до (у — 1) г ди до ~ ы — — + ри — + ро — — ез [ ри — + ро — ) =О. у ду дх ду у [, ду ду / Используйте анализ Фурье для вывода следующего характеристического полинома: (ио„+ оо„) (от (и — а ) + о„о„ио [(у + !) — (у — 1) ы] + + о„(о [у — (у — 1) ы] — а ы)) =О.
Покажите, что если о яв О, то никакой выбор ы не позволит избежать экспо- ненциального роста решения по х при и ( а. 16.16. Укороченные несжимаемые уравнения Навье — Стокса могут быть решены методом, подобным итерации по времени, если записать их в виде ди до — + — =О, дх ду ди ди др дзр 1 дти и — + о — + — +а — — — — =О, дх дх дх дх д( )(е ду' до до др ! дто и — +о — + — — — — 3 — — О, дх дх ду (те дуз где член адар/дхд( введен для устойчивости подобных по времени итераций давления.
Примените анализ Фурье и покажите, что итерации, подобные итерациям по времени, будут устойчивы, если а больше нуля. 16.17. Покажите, что уравнение (16.!84) может быть пол>чена из уравне- ний (16.178), (!6,180) и (!6.181). 16.18. Проведите разложение в ряд Тейлора уравнений (16.!91) в окрест- ности узла (1, й — 1/2), (16.192) — в окрестности узла (], А) и (16.193)— в окрестности узла (1, й — 1/2). Покажите, что порядок аппроксимации всех трех уравнений 0(Ах, Луз). 16.19. Выведите уравнение (16.197) нз несжимаемого > равнения нераз- рывности я определения толщины вытеснения (11.67). Какое уравнение будет эквивалентно данному в случае сжимаемых течений? 16.20. Выведите уравнение (!6223) из уравнений (16.220) и (16.221) и получите явные выражения для 6„' о, 1=1, 2, 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
