Fletcher-2-rus (1185919), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Помимо высокой точности эти разности третьего порядка против потока позволяют избавиться от ограничений, связанных с сеточным числом Рейнольдса и возникающих при использовании центральных разностей (п. 9.3.1). Использовался явный маршевый алгоритм по времени для решения уравнений импульса. Эмпирическим путем найдено, что при больших числах Рейнольдса решение устойчиво при выполнении условия КФЛ. т.
е. $ )Х! Исходные переменные: нестеннонерные течения 4оь сано в форме Тп — Т" (иТ)".„,, — (иТ),"., ) Т"., — 2~",. + Т,".„, ( (17.31) Поле скоростей и определяется на однородной разнесенной сетке (как в схеме МАС, рис. 17.1). Однако Т;4ые и Т, гм связаны с полем Т соотношениями Т) пе — — 0.5(Т;+ Т( ~) — з (Т) — 2Т; )+ Т;), (17,32) Т)чие=0.5(Т;+ Т;41) — — (Т; 1 — 2Т;+ Т; „1). (17,33) Такая дискретизация д(иТ)/дх эквивалентна четырехточечной схеме против потока (9.71), (9.72); путем выбора параметра д можно увеличивать точность или изменять диссипативные и дисперсионные характеристики (п. 9.4.3).
Значение д = 0.375 соответствует схеме ()ЫСК (1еопагд, 1979), эффективной при расчете стационарных и квазистационарных течений. Схема ЯО(СК широко использовалась в алгоритмах типа 51МРЕЕ (п. 17.2.3). Однако для нестационарных задач желательно выбирать д так, чтобы уменьшить не только пространственные, но и временнйе ошибки (как в п. 9.4.3). Одномерная схема ОШСКЕЬТ, предложенная Леонардом (1еопатс), !979), напоминает модифицированную схему Лакса— Вендроффа (табл. 9.3), если и в (17.30) постоянно (С = = иЛ(/Лх), т.
е. Т)~' — Т)+ 05С(Т)е, — Т,",) + + (а —, + 0.5С ) (Т"; ~ — 2Т," + Т";Д = =С( в — а — ) /((Т," — 2Т,"+Т"; ) — (Т; "е — 2Т; 1+ Т))1. (!7.34) Дополнительный член в правой части уравнения (17.34) обеспечивает аппроксимацию порядка 0(Л(е,Лх'). В пределе при а - 0 конвективные члены аппроксимируются с точностью 0(Лхе), а производные по времени — с точностью 0(Л)е). Дэвис и Мур обобшили схему (17.34) на случай двух пространственных переменных и переменной скорости. Для решения двумерного уравнения переноса д(+-д + д — а(д е+ д е)=0 (1735) дТ д (и)) д (иТ) д'Т деТ 406 Гж 17.
Несжимаемые вязкие течения ими предложен следующий явный алгоритм: Тг' «Т1 «С чц [05(Т «+Тг-,ь«) — 0.5С1ч.пз(Т;+и« вЂ” Ть«)— з л 11-Су„цз ! "гх) (Тг-ь «2Т1 «+ Т1+! «)) + +С; из ~0.5(Т; и «+ Ть «) — 0.5С; пз(Ть« — Т; ь «)— х з л !'! — С,еиг — — Ух)(Т1- «2!1-г «+71 «)~ — С„„, ~0.5(Ть «+ Ть „,) — 0.5С,„„,(Ть « „, — Т,,)— е 1л Г1-С«,нз +С«из~0.5(Ть « ~+Т,,) — 0.5С«пз(Ть« — Ть« ~)— 2 л Т1 — С, „, + ух (Т1 — ь « — 2Т, «+ Т1 ~ и «) + + т„(Т1 «1 — 2Т; «+ Т1 «ег), где числа Куранта определяются выражениями Ьги., 1тги С, = „', С; лгв«-,пз лгв«-Пз С аи — ау С«пг= ы дг При выводе уравнения (17.36) в целях упрощения алгоритма были опущены некоторые смешанные пространственные производные порядка 0(ЛР).
Формально это приводит к понижению порядка аппроксимации (17.36) до 0(Лг). Именно поэтому, чтобы уменьшить ошибку, связанную с отбрасыванием членов порядка 0(Л!з), Дэвис и Мур [Оат!з, Мооге, 1982) использовали малые шаги по времени. Для расчета неустановившегося ламинарного течения за прямоугольным препятствием (рис. 17.5) Дэвис и Мур использовали на однородной сетке эквивалентный (17.36) алгоритм.
Применялась явная маршевая дискретизация по времени урав- й 17.1. Исходные переменные: нестапнонарные течения 407 нений импульса (17.2) и (17.3). В работе 1982 г. для решения уравнения Пуассона для определения давления Дэвис и Мур использовали метод 30К (п. 6.3.1).
Позднее [Ран!з е1 а1„1984[ для решения уравнения (17.!3) на каждом шаге по времени применялся прямой метод реше- Рис. 17.5. Сетка для течения у препятствия, 51 Х 62. ния, основанный на методе Шварцтраубера [Вхуаг(х(гапЬег, 1974[. Это значительно повысило вычислительную эффективность алгоритма и позволило значительно точнее, чем при использовании экономически разумного числа итераций ЯРК„ обеспечить выполнение на каждом шаге по времени уравнения неразрывности. Типичное решение, соответствующее промежуточной стадии формирования дорожки вихрей, представлено на рис.
17.6. В работе [Та)сешо10 е1 а!., !986] использовался алгоритм Дэвиса н Мура [Ран!и, Мооге, 1982[ для детального исследования структуры течения в движущейся полости при числе Рейнольдса тсе=!04. Позднее [Та1сегпо1о е1 а1., 1986[ в алгоритме были произведены существенные изменения. Во-первых, уравнения были записаны в обобщенных криволинейных координатах (гл.
12). Во-вторых, интегрирование уравнений импульса проводилось методом дробных шагов, в котором конвективные члены аппроксимировались явным, а вязкие в неявным образом. Вместо разнесенной сетки использовалась сетка, на которой давление и компоненты скорости определены в одних и тех же узлах. Модифицированный алгоритм использовался для расчета нестационарного течения у сниусоидальной выпуклости в канале при Ке = 104. Гл.
17. Несжимаемые вязкие течения Интересно отметить, что, хотя течение и нестационарное, использовался алгоритм Я()1СК (фактически (17.32) и (17.33) при г) =0.375), а не 11(ЛСКЕЬТ, эквивалентный (17.34). Предполагается, что относительная простота и экономичность алгоритма (;1П)СК оказывается предпочтительней. В работе [Та(тегпо1о, Ха(тапшга, 1986[ применен тот же алгоритм для решения задачи о трехмерной движушейся полости.
Ранее на основе Рис. 17.6. Картина вихрей при ке = 1000; направление набегающего потока составляет 15' с горизонтальной плоскостью ([ГЗат1з, Моог, !9821; печатается с разрешения Сашьг18ее 11п1тегзиу Ргезз). модифицированной разностной аппроксимации ЯШСК, включенной в алгоритм типа 51МР1.Е (п. 17.2.3), эта задача рассматривалась в работе [Ггейаз е! а!.. 1985[.
17,1,6, Спектральные методы Спектральный метод ($5.6) определяет значения неизвестных величин более точно, чем любой из локальных методов (например, конечно-разностные методы или метод конечных элементов [Р!е1сЬет, 1984)). Для задач с достаточно гладким решением и мягкими (например, периодическими) граничными условиями спектральный метод очень эффективен с вычислительной точки зрения ($ 4.5). Однако для течений с более сложными граничными условиями высокая точность определения узловых неизвестных может быть и не достигнута. Более того, могут возникать некоторые трудности при определении устойчивого решения [ОоН1!еЬ, Огзгад, 1977[. Важная роль граничных условий при построении спектральных методов привела к более широкому использованию псевдо- спектральных подходов, основанных на полиномах Чебышева $17.!.
Исходные переиенные: нестаннонарные течение 40й их+! т.=! иие! и! = ! ! — ! и е! !=! (17.37) где компоненты 6"<!! и т. д. соответствуют ст!!! и т. д. в (5.161). Для производных от о и р можно определить эквивалентные (17.37) выражения. Производные по времени аппроксимируются конечно-разностными выражениями, и для определения решения в новый момент времени используется метод проекции (17.22) — (17.24).
Первая компонента Гн в (17.22) имеет вид н и г 1 гдеи дан х дие дио 3 г" ! = и + Лг 1ь — 1х — + — ) — — — — ), (17.38) ~ йе х дхе дух) дк ду где для пространственных производных используются выражения типа (!?,3?). Аналогичная СРВМ дискретизация используется для эквивалентных членов в уравнении (17.37) при определении Рт".
После определения ц" из (17.22) значение р"+' находится из уравнения (17.24). Граничные условия при этом используются следующим образом. При помощи представления (17.37) уравнение (17.24) может быть записано в следующей дискрет- (п. 5.6.3). Поскольку в современных псевдоспектральных методах решение в узловых точках определяется непосредственным образом, выполнение граничных условий можетбытьтакжеосуществлено более явно. Псевдоспектральный матричный подход Чебышева (СРЗМ) кратко описан в п. 5.6.3, В основе метода лежит предположение о том, что поведение функции во всей области достаточно точно описывается рядом Чебышева. Это позволяет получить явные дискретные формулы для производных высокого порядка, например (5.162) и (5.165).
Здесь на основе работы [Кп е! а1., 198?а, Ь) будет описано применение метода СРБМ для расчета нестационарных несжимаемых вязких течений. Рассматриваются безразмерные уравнения (!7.1) — (17.3). Одномерное приближенноерешение Чебышева, подобное (5.150), нспользуется для определения следующего дискретного представления пространственных производных: Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения 410 ной форме: арх х~ ар ари»- ! г=я (-! «=2 рг=! (17.39) где г —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
