Fletcher-2-rus (1185919), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Исхпнные переменные: стапионарные течения 427 где с( = Е Лу/((1 + Е) а," ), Е = Л!а,". е,/Лх Лу. (17,76) Можно получить аналогичные выражения, связывающие о' е и (бр, — бр,,). Подстановка н".''=н*. +н'. „в (17.67) и использование выражений (17.75) и т. д. позволяет построить следующий явный алгоритм для определения бр! е1 а» бр = ~ а» бр„+ Ь», (17.77) где Ь» = — (и' и — и", ) Лу — (о,'. е — о',) Лх.
Уравнение (17.77) есть замаскированная дискретная форма уравнения Пуассона, которое в символическом виде можно записать как Ч'„бр= — „',Ч, и*, (17.78) что эквивалентно (17.59). Можно отметить, что (17.75) эквивалентно уравнению и — — — !74 бр. бт (17.79) Из сравнения уравнений (17.79) и (17.62) следует, что бр— эффективный потенциал скорости, а поправка ц' безвихревая. Полностью алгоритм 81МР).Е можно представить следующим образом: 1) н* находится из (17.72) и (17.73), 2) бр находится из (17.77), 3) и' определяется из (17.75) и эквивалентной формы для о', 4) р"+' определяется из соотношения р"ч' = р" + се»бр, где а — релаксационный параметр.
В алгоритме 81МР(.Е два релаксационных параметра: а» и Е(— = бт). Решение стационарного уравнения для импульса соответствует значению Е = оп. В этом случае для устойчивости сходимости рекомендуется значение а» =0.075. Эмпирически обнаружено, что более высокая скорость сходимости получается при Е = 1 и а = 0.8 [Ра1ап1саг, 1980]. В работе [Ка)(ЬЬу, ЯсЬпе!бег, 1979] проведено систематическое исследование алгоритмов типа 5!МР(.Е и сделан вывод, что наиболее эффективному алгоритму соответствуют значения Е 4и а» = 1/(1 + Е) (17.80) В работе [Чап Рооппаа!1, Ка!1ЬЬу, 1984] выражение (17.80) названо согласованным $1МР).Е-алгоритмом или сокращенно 81МР).ЕС. Однако здесь дана и другая интерпретация алго- 428 Гл 11. Несжимаемые вязкие течения ритма 51МРЕЕС.
Остается неясным вопрос, увеличивает ли число итераций необходимое для сходимости приближение, имеющееся при переходе от (17.74) к (!7.75). Несомненно, что такое приближение повышает экономичность каждой отдельной итерации. Более точное приближение уравнения (!7.74) получается в результате вычитания ~, а'„'„и'„от обеих частей уравнения и отбрасывания члена ~ аи (и„' — и' ) в правой части. Вместо (17.75) тогда получится уравнение (17.81) где с(!, а = Е ЛГД(! + Е) Пч и — Е ~ ааа). Если поправка и' медленно меняется по пространству, отбрасывание члена ~ ая (и'„в — и' ) приводит к небольшой ошибке. Вместе с тем (17.81), будучи явным выражением, сохраняет экономичность алгоритма.
При выводе уравнения Пуассона для бр в этом случае используется уравнение (17.81), а не (!7.75); точно так же и при расчете и' л. Однако, если в алгоритме 5!МРЕЕ используется уравнение (17.81) при определении р"+' на четвертом шаге алгоритма, нет необходимости вводить релаксационный параметр св„т. е. ал = 1. Аналогичная модифи. кация алгоритма 51МРЕЕ рассмотрена в работе [Соппе!1, 5!очи, 1986). Применение алгоритма 51МРЕЕ в оригинальной формулировке к широкому кругу задач позволило сделать вывод о том, что введение бр эффективно подстраивает поле скоростей, но не позволяет получить быструю сходимость для давления.
Для исправления этого недостатка Патанкар [Ра1ап(саг, 1980) предложил алгоритм 51МРЕЕК, который осуществляется следующим образом: 1. Поле скоростей и определяется из решения уравнений (17.72) и (17.73), в которых члены с давлением исключены из правой части. 2. Уравнение (17.77) становится уравнением Пуассона для определения р"+', а не бр после замены и* на и в членах Ь. 3. Значение р"чл (найденное на шаге 2) подставляется вместо р" в (17.72) и (17.73).
Полученные уравнения решаются методом 5!МРЕЕ, в результате чего получаются значения ц*. 4. Уравнение (17.77) решается для определения бр. В результате определяется иачл = н* + и'. Уточнение значения р"чл, полученного на шаге 2, не производится. 4 17оь Исходные переменные: стационарные течения 429 Очевидно, что в методе ЫМРЕЕК приходится дважды решать уравнение Пуассона и уравнение импульса на каждой итерации.
Хотя число операций на каждой итерации больше, чем в методе 81МРЕЕ, для сходимости достаточно нескольких итераций. Таким образом, алгоритм ЫМРЕЕК оказывается примерно на 50 о(о более эффективным. Можно отметить, что шаги 1 и 2 в 81МРЕЕК соответствуют методу проекций (17.22) и (17.24). В работе 1Чап Роогптаа!1, Ка!!ЬЬу, 1984! проведено сравнение применения методов ЫМРЕЕ, ЫМРЕЕС и ЫМРЕЕК к рас" 400 200 150 300 в 200 100 в !00 50 чету циркуляционного течения и течения за уступом. При решении уравнение (17.77) повторялось т раз до тех пор, пока не выполнялось условие !!г,!~' ~ тдг„!!о, где !!гп~! — среднеквадратичный остаток уравнения (17.77), т.
е. аа брав+ Ьп — аа бр! и !!г (~=[~' ~„г-'~п~, Оптимальное значение у лежит в диапазоне от 0.05 до 0.25. Сравнение вычислительных затрат (время СР(1 в секундах), необходимое для достижения сходимости, приведено на рис. 17.!О, Очевидно, что методы и ЫМРЕЕС, и 81МРЕЕК эффективнее ЫМРЕЕ. Несколько предпочтительней метод 51МРЕЕС. Однако оптимальный выбор Е и в меньшей степени у, зависит от задачи. Алгоритмы типа ЫМРЕЕ на различных сетках применялись также в обобщенных координатах (связанных с телом) (гл.
12). В работе [Ка!!ЬЬу е! а!., 1986) использовался алгоритм ЫМРЕЕС в ортогональных обобщенных координатах. Оказа- О 0 0.5 ! 2 5 1О 20 0.5 1 2 5 10 20 Е Е (а! (Ъ) Рис. 17.10. Сравнение методов 51МРЕЕ, 8!МРЬЕС, 81МРЕЕЙ ((Роогшаа1, йаЦЬЬу, 1984); печатается с разрешения Неш!врьеге РцЫ(аЫпп Со.). 430 Гл. Л.
Несжимаемые вязкие течения лось, что постановка задачи и дискретизация на уровне напря. жений, как в (11.26), позволяют построить более эффективный алгоритм. Соотношения, соответствующие ламииарным или турбулентным напряжениям, вводились в соответствующие дискретные представления. Однако, если на этом этапе вводить разности против потока первого порядка, общая точность решения часто уменьшается.
В разностные формулы более высокого порядка входит большее число точек сетки, и алгоритм становится менее эффективным. В работе [5Ьуу е1 а1., 1985] метод $1МР1Е использовался на разнесенной сетке в неортогональных обобщенных координатах. Проведено сравнение использования разностной схемы ЯШСК (п. 17.1.5) и трехточечной схемы второго порядка с разностями против потока (д= 1.5 в (9.53)) для аппроксимации конвективных членов. В качестве тестовой рассматривалась задача о двумерном турбулентном течении в почкообразном канале на сетках 31Х 26 и 56зс', 36. Хотя данная задача и не имеет точного решения, можно сделать вывод о том, что схема второго порядка с разностями против потока в целом более предпочтительна.
Эта схема оказалась более работоспособной и не приводила к очевидной потере точности решения. Схема Я1ЛСК (4=0.375 в (9.53)) расходилась на сильно деформированных сетках, а там, где она сходилась, требовалось большее число итераций. Неработоспособность схемы ЯШСК отмечалась также в работах [Ро1!агб, Ьш, 1982; Ра!е!, Маг!са1оз, 1986], где алгоритм 51МР1Е использовался на декартовой сетке. Из соотношения (9.53) видно, что уменьшение д соответствует приближению к трехточечной центрально-разностной формуле (д = О). Поэтому меньшая по сравнению с трехточечной с разностями против потока схемой (д = 1.5) работоспособность схемы ОШСК (и = 0.375) неудивительна, Филлипс и Шмидт [РЫ!11рз, ЯсЫп!с(1, 1985] использовали алгоритм 51МР1Е в сочетании со схемой ЯШСК для аппрокси. мации конвективных членов на разнесенной сетке.
Для ускорения сходимости к стационарному состоянию использовался многосеточный подход (п. 6.3.5). Филлипс и Шмидт рассматривали задачу о движущейся полости при )се = 400 и задачу о естественной конвекции в вертикальной полости [де ЧаЫ Оач!и, Яопез, 1983] при 1(е=10. Использовалась многосеточная процедура с различным измельчением сетки в различных подобластях. Обычно наиболее мелкие сетки (й = 1/32) вводились вблизи стенок, а менее мелкие (й = 1/16) — во внутренних областях. Самая грубая сетка (й = 1/4) в многосеточной процедуре использовалась во всей области. Гл. 17.
Несжимаемые вязкие течения 432 Ае! = К', 8®й+Вр=В", (17.86а) (17.86Ь) где с) — вектор, содержащий все неизвестные узловые значения обеих компонент скорости, а К и К' — известные из граничных условий Дирихле векторы. Уравнение (17.86) является глобальной нелинейной системой. Решение обычно получается нтерационно методом Ньютона ($ 6.1). На каждой итерации приходится решать разреженную линейную систему уравнений. Обычно это делается методом исключения Гаусса для разреженных систем (9 6.2), в основе которого лежит фронтальный метод [Ноос), 1976[.
Основная проблема такого применения метода конечных элементов связана с выбором аппроксимирующих и весовых функций ф", ф' и фа в (17.82) — (17.85). Можно было бы ожидать, что для и, и и р в (17.82) достаточно интерполяции одинакового порядка.
Однако это может привести к сингулярности, связанной с применением дискретного уравнения неразрывности (!7.83) в слишком большом числе узлов. Это было обнаружено эмпирически Худом и Тейлором [Ноог), Тау!ог, 1974[. Даже если уравнение (17.86) с математической точки зрения ведет себя хорошо, в получающемся решении в поле давления имеются сильные осцилляции; поле скоростей обычно получается гладким. Можно напомнить, что такая же ситуация возникает при центрально-разностной аппроксимации производных от давления в уравнениях импульса, если компоненты скорости и давления определяются в одних и тех же точках сетки (п.
!7.1.1). Это послужило основной причиной введения разнесенных сеток. Тейлор и Худ преодолели проблему осцилляции давления путем введения смешанной интерполяции, биквадратичной для компонент скорости и и о и билинейной для давления р. Это позволило получить гладкое решение и широко использовалось в дальнейшем. Однако такой подход малоэффективен в том смысле, что глобальная точность второго порядка определяется билинейной интерполяцией давления, в то время как экономичность метода определяется биквадратичной интерполяцией ком.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
