Fletcher-2-rus (1185919), страница 70
Текст из файла (страница 70)
В используемых обозначениях однородные граничные условия Неймана для р будут определены в узле (1, 2) вблизи границы АВ на рис. 17.3. Дискретизированное центральными разностями относительно узла (1, 2) уравнение Пуассона может быть представлено в виде — + -' ~= -- + оч! ле! Р!, г + Рг, г Р!, ! Р!. 2 + Р!. 3 (Р!, 2 Ро, ' ) дхг + Луг /Зхз Г Ро Рл ба йо + ~ 3/2 2 п2 2 + ! 5/2 ! 3/2 ~ ( 1 7 . 1 8) Л/ Л» ду 400 Гл. !7. Несжимаемые вязкие течения Граничное условие Неймана для давления с центром в узле (1/2, 2) может быть получено из (!7.8) в виде «т! се и+! (Р!, з Ре, 2) !Ги 2 !Ги а (17.19) ьх а! Если использовать уравнение (17.19) для исключения (р!,ив — рв,а) из (17.18), получится выражение, не зависящее от Г!..
и, следовательно, не зависящее от значений и и о вне области, появляющихся в уравнении (17.9). Поскольку решение не зависит от Г!тз,м в уравнении (17.18) может быть сделана подстановка Г!м, и = и!!и,'и и, согласно (17.9), ре, е = р!, ь Таким образом, вводится однородное граничное условие Неймана для давлениЯ, Член ии!тез! известен из гРаничных Условий.
Описанный метод в основном совпадает с методом, описанным в книге 1Реуге1, Тау!ог, 1983], где отмечены также важные аналогии между методом МАС и методом проекции (17.22) — (17.24). Для многих зависящих от времени задач ограничение на шаг по времени (17.15), связанное с использованием явных формул (17.8) и (17.10), является слишком обременительным. Обобщение метода МАС, позволяющее проводить интегрирование по времени уравнений (17.2) и (!7.3) с использованием неявной приближенной факторизации членов, содержащих скорость, сделано в работе (!)еи!!!е, 1974] для очень малых чисел Рейнольдса и в работе [ОЫа е! а!., 1979] для течений с большими числами Рейнольдса. Общее описание можно найти в книге ]Реуге1, Тау!ог, 1983]. Дискретные уравнения для определения поля скоростей (17.8), (17.!О) могут быть записаны в символическом векторном виде ц"+' =Г" — Ажир ', где Г = (Г, ст)', Чи — разностный оператор градиента.
Уравнение Пуассона для давления (17.13) может быть записано в форме (!7.20) !7йр"" = „!, т Г . (17.21) Уравнения (17.20) и (17.21) являются краткой формой записи метода МАС. Существуют иные методы, подобные методу МАС. С методом МАС тесно связан метод проекции, предложенный в работах ]Сапог!и, 1968; Тешат, !969]. В принятых обозначениях в методе проекции уравнение (17.20) разделяется на два этапа: и'= Г", (17.22) па+! = и Ест!зри+!.
(17. 23) $17.1. Исходные переменные: нестанионарные течения 40! Подстановка (17.23) в уравнение (17.12), записанное в виде 11ап'+' = О, приводит к соотношению 112 рп.~-! 1 111 (17.24) г[1+ АГ (и1.„— — 1,„,) ~ и' = ц", '[ т' + Ы [ п7.„— — 7.„н) ] ц" = и', [т' + АГ (х '7, — ~~ 7ае) 1 и* = и". (17. 25) Уравнения (!7.25) являются приближенной факторизацией, аналогичной рассмотренной в $ 8.2 и 9.5 и позволяющей получить последовательность трехдиагональных систем уравнений, если Е„ 7., и т. д. — трехточечные конечно-разностные операторы.
Года отмечает, что для устойчивости решения необходимо использовать ограничение типа КФЛ на шаг по времени: А! ( :е~ Ах/] йгпах ] Другой вариант реализации метода МАС (17.20) и (17.21) предложен Хиртом и Куком [Н(г(, СооК !972]. В принятых обозначениях предварительные значения скорости определяются из уравнений (17.2) и (!7.3) в виде и* = Р" — Агрдр".
(! 7.26) 26 К. Фчетчер. т я В результате этого п"чч удовлетворяет как уравнению (17.1), так и уравнениям (17.2) и (17.3). В методе проекции из уравнения (17.22) определяется и", из (17.24) определяется р"е' и из (17.23) определяется н"е'. Изначально метод проекции был разработан на неразнесенной сетке. Однако в работе [Реуге(, Тау!ог, 1983] рекомендуется использовать его на разнесенной (МАС) сетке (рис. 17.1). Из уравнений (17.22) и (17.24) видно, что метод проекции совпадает с методом МАС во внутренних точках. Однако граничные условия реализуются несколько по- иному. В работе [Реуге1, Тау!ог, 1983] показано, что в методе проекции решение не зависит от значений и* на границе.
Это по существу эквивалентно исключению анка из уравнения (17.18) после подстановки в него (17.19). Года [Сода, 1979] использовал метод проекции для расчета вязкого течения в двумерной и трехмерной движущихся полостях. Чтобы избежать явного ограничения на шаг по времени (17.15), уравнение (17.22) заменено уравнениями 402 Гл. 17. Несжимаемые аяакие течения Поправка к давлению бр = р"+' — р" определяется из уравнения ( 17. 27) Эта поправка обеспечивает выполнение уравнения неразрывности при подстановке в него ц"+', т. е. и"+' = и' — — 74 б,п. .З1 (17.28) (17.29) Наконец, новое значение давления равно Рч+! рй + бр Постановка граничных условий осуществляется, как в методе МАС (п.
17.1.3). Хирт и Кук использовали такой подход для исследования вязких несжимаемых (ламинарных) течений у трехмерных структур. В работах (5а)сагпо1о, Ма1цо, 1980; Ка1о, Мпга1сапп, 1986) использовался метод Хирта и Кука для исследования нестационарных турбулентных трехмерных течений, возникающих в задачах вентиляции помещений. Применялась (й — е)-модель турбулентности (п. 11.5.2).
Сравнение экспериментальных н расчетных данных для этой задачи приведено на рис. 17.4. Данные результаты получены на сетке 20(х) к', 24(у) Х 15(г). Это самая грубая сетка, на которой удалось удовлетворительно получить основное циркуляционное и вторичное течения. Течение вызывается нагнетанием воздуха через крышу, Вдуваемая струя ударяется об пол и вызывает циркуляционное в плоскости симметрии течение у стен (рис. 17.4(а) и (с()). Хорошо моделируется картина вытекания воздуха у пола и крыши (рис. 17.4(с), (е)); хорошо видны возвратные течения, вызванные нагнетаемой струей. В приведенном выше описании семейства методов МАС предполагалось, что границы расчетной области совпадали с декартовыми координатными плоскостями.
Для расчетных границ произвольной формы можно ввести связанные с границами криволинейные координаты (гл. 12), преобразовать уравнения к криволинейным координатам и применить метод МАС в регулярной расчетной области. В работе (Ра1е1, Вг1йдз, 1983] применен метод МАС в первоначальном явном варианте для расчета в криволинейных координатах задачи о естественной конвекции в нестационарном двумерном ламинарном течении.
Использовалась разнесенная сетка, на которой коитравариантные компоненты скорости (12.65) определялись на границах ячеек, а давление — в их $17.!. Исходные переменные: нестационарные течения 403 центрах. Поскольку в эквивалентном (17.13) уравнении появляются производные от давления Ро и рто для вычисления этих производных по значениям в соседних точках использовались две перекрывающиеся сетки. Это приводит, однако, к тому, что Иллмсч(мрвммеи плоскости (а1 и1 Гариеончеленеи праекни чипе 1 Молелнроеенив (е) (Уе И').лласкааче Эксперимент (е) (О»М).плоское~ Поперечное сечение чипе 1 ° и л и овос) Эксперимент (Ы (оеи(. Молелироовние (ы (о м) Кя (Рв измласкссв Ч".)» н чр р л мл(р тля т нилл о л °,- — в вмн »лаяло о( ' ' ', '; О Молепираеение (Ы (о в и) .плоскость Эксперимент (о] (ив Р 1 "омск (И (о+ ч)1-пласкасче Рис.
17ип Моделирование вентиляции комнаты Яка1о, Мига(сат(, 19861( пе. чатается с разрешения Яарап зос. о1 Совр. Г!оЫ 1)упаш(са). система уравнений Пуассона, эквивалентная (17.!3), в два раза больше, чем в случае применения метода в декартовых коорди- натах. 77.1.5. Разности высокого порядка против потока В первоначальном методе МАС используются центральные конечно-разностные формулы (17.7). Для течений, в которых основную роль играет конвекция, использование центральных 404 Гл. 17.
Неезкииаечые вязкие теяеиив — < 1.0 и — < 1.0. и Л1 ив) Гзх ду Многомерные разностные формулы третьего порядка точности против потока являются обобщением одномерной квадратичной интерполяции против потока Леонарда [1еопагб, !989]. Одномерная схема третьего порядка с разностями против потока может быть продемонстрирована на уравнении переноса (9.56), записанном в консервативном виде дТ д (иТ) даТ вЂ” + — — а — =О, д) дх дха (17. 30) где и известно и изменяется внутри области. Консервативное разностное представление уравнения (17.30) может быть запи- разностей приводит к появлению в решении сильных нефизических осцилляций (п.
9.3.1). Делались попытки стабилизировать решение путем дискретизации конвективных членов двухточечными разностями против потока (п. 9.3.1) или суммами с весами центрально-разностных выражений и разностей против потока. Однако, как правило, при этом получается неточное решение, особенно если локальное направление вектора скорости совпадает с направлением сетки и велики локальные градиенты скорости. Более точное решение получается, если для аппроксимации конвектнвных членов использовать разности высокого порядка точности против потока, подобные четырехточечным формулам, рассмотренным в п.
9.3.2 и 9.4.3. Дэвис и Мур [Оач!з, Мооге, 1982] использовали исходные переменные для решения нестационарных уравнений Навье— Стокса методом, аналогичным методу МАС. Применялась разнесенная сетка; уравнение Пуассона для давления решалось на каждом временнбм шаге прямым методом (п. 6.2.6) [Зтиаг1г!гацЬег, 1974]. Отличительной чертой метода Дэвиса и Мура является использование многомерных разностей третьего порядка точности против потока для аппроксимации конвективных членов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
