Fletcher-2-rus (1185919), страница 69
Текст из файла (страница 69)
17.1.2). При дискретизации уравнений (1?.1) — (17.3) используются следующие конечно-разностныевыражения: Н .= ди и 1цц+' ц" 1+~.е) ) О(А1) д1 тч не е Дт — +О А~) 1+~1е ее не ~!е>1т е не1 р (д ("1еатке "1+иве+ "1 ~1ке) + О(А е дха .)1+~1В Е Ьхе [ д ц ~ ц. — 2ц. ц. — теис е+ т+~1е е+~) +0(Л е) др !1+ 1,, д„ р [ — ~.
= (р1 ' дь ) + О(бх') В приведенных выражениях присутствуют не определенные на рис. 17.1 члены типа им не. Их аппроксимация осуществляется следующим образом: и!+и е = 0.5 (ите ~те е + игча1в е). Гл. !7. Несжимаемые вязкие течения 394 Аналогично (иц),+ца, йч па аппроксимируется выражением (ив)уеца й+цз = ((ы)ч-цз, й + и)+ца йч-1)/2) ((о)+ь йч из + оь йч цй)/2>. 17.1.2. Метод МАС где Ри и ~ А(( йч-3/2, й )еш,й+~! — ца,й + l+цз й )ч ца й 1. Йе ьхй 2 2 + (и) цз й ~ 2и)еца й+ и! ца й ) (и)ч. и) Йе Ьув Ьх ((ив))с цй й+це — (ии))ч.це й цз) ~ ау (17.9) Аналогично в дискретном виде представляется уравнение (17.3): и"+'ч па = О,". й+,, — — (р,".+и+, — р",+,1, (!7.10) где Одним из наиболее ранних и получивших широкое распространение методов решения уравнений (17.1) — (17.3) является предложенный в работе [Наг!отц, %е!с(т, 19бб] метод маркеров и ячеек (МАС).
В этом методе используется разнесенная сетка (п. 17.1.1) и на каждом шаге по времени решается уравнение Пуассона для определения давления. Хотя в первом варианте метода МАС имеются определенные слабые стороны, использование разнесенной сетки и уравнения Пуассона сохранилось и в более поздних методах, основанных на методе МАС. Первоначально метод предназначался для решения иестационарных задач со свободными границами. Для определения положения свободной поверхности как функции времени в течение вводятся маркеры (частицы без массы). Маркеры переносятся полем скоростей, но не играют никакой роли при определении скорости или давления. Здесь в дальнейшем они рассматриваться не будут.
Возможность качественно правильного моделирования методом МАС сложных течений со свободной поверхностью иллюстрируется на рнс. 17.2, где представлены результаты расчета падения капли в неподвижную жидкость. В методе МАС используются дискретные формулы (17.7) н для решения уравнения (17.2) может быть получен следующий явный алгоритм: и-';~ и ас и+~ ий~ .,ц,,=г„цв й — —,~Р„, „— Р.,1, (17.3) $17.1. Исходные переменные: нестапионарные течения 395 „я 2, ( (с!ч!, азу 2одачця+с(-!, ачцД чз(, а ~ ця пг, ад ма+ Аз~( (~,. за — 2с,.
а цз+ ог а )(е Ьуз !г(но)!ч ца ач ця (нс)1-~Ы, ач цд Ьх (од а+~ с1, а) ~ Ау (17.1!) Рис. !7.2. Задача о падающей капле ([Наг!сыч, ЗЬаппоп, !967]; печатается с разрешения Агпепсап Аааос(а!!оп 1ог !(ге Адчапсещеп! о! Зс!епсе). Гл. !7 Несжииаеиые вязкие течения 396 В уравнениях (17.8) и (17.10) давление р входит неявно; однако р"+' определяется до решения (17.8) и (17.10) следующим образом. Уравнение неразрывности (17.1) записывается в разностном виде и+1 и+1 ит/ ит/ — — 0 (17 12) ст/, 2— где 171, — дилатация в ячейке (/, й). Подстановка и",+,', „и т.
д. из уравнений (17.8) и (!7.10) позволяет представить (17.12) в виде разностного уравнения Пуассона для давления, т. е. — + (р...— 2р/,+р..1 „) (Р...— 2р,,+р/2Е1) ~"+1 Ляз пуз ! Р" — Р 6 — бн — / + ' '"+'" /' '/зт ]. (!7.!3) дл ау — Г Если для выражения различных членов в правой части (17.13) использовать формулы (17.9) и (17.11), результат может быть представлен в виде — (1/!!е) (1.„„+ Ь„я) 1)/ 2)", (17. 14) где т лу (ИО)/ 2 = ((РО)/ЕЦ2, ФЕ//2 — (ИО)/-1/2, 21.1/2 (РО)/+1/2, 2 — 1/2 + + (ОО)/ — 1/2, 2 — 1/2)/ ых ыу.
Величину !// 2//Л/в (17.14) можно интерпретировать как дискретизацию — д0/д/(/ 2 при О,".7 =О. Таким образом, сходящееся решение для давления, полученное из (17.13), приводит к выполнению дискретного уравнения неразрывности в момент времени и+ 1. Уравнение (17.13) решается на каждом шаге по времени либо итерационными методами (3 6.3), либо прямыми методами решения уравнения Пуассона (п.
6.2.6). После того как р"+' получено из решения (17.13), подстановка этого значения в уравнения (17.8) и (17.!0) позволяет определить ци/ "11/2 2 и Он+1 /,й+1/2' Поскольку выражения (17.8) и (17.10) являются явными формулами для определения и"+' и О"+', имеется ограничение $ !7.1. Исходные переменные: нестацнонарные течения 397 на максимальный шаг по времени, связанное с устойчивостью решения [Геуге1, Тау!ог, !983): 0.25 (! и ! + ! о !)е АГ Ке ( 1 н А1/(Ке Ахт) ~ (О 25. (! 7.15) Здесь предполагается, что Ах = Ау. Для решения уравнения (17.13) необходимо поставить граничные условия для р (условня Дирихле) или для производных от р (условня Неймана) на всех границах.
Для течения за уступом (рис. 17.14) на АЕ и АВ следует задать граничные условия Дирихле, а на границах ЕЕ, ЕР и РС вЂ” условия Неймана. Обычно для постановки граничных условий Неймана используется дискретное представление уравнений импульса.
Для границ, подобных ГЕ, где первоначальное направление потока параллельно поверхности, приближение пограничного слоя др/дп = 0 может быть использовано в качестве соответствующего условия для р, если велико число Рейнольдса Ке. Для внутренних течений граничные условия Неймана для давления часто задаются на всех границах.
В этом случае необходимо выполнение глобального граничного условия (как в п. 16.2.2), т. е. ~ ~ (~, + ~,)дхс(у=) л сЬ, (17.16) где интеграл по с вычисляется вдоль границы расчетной области. Левая часть уравнения (17.16) в дискретном виде вычисляется через правую часть (17.13). Если дискретное представление уравнения (17.!6) в сочетании с методом МАС записывается для внутренней ячейки (например, ячейки 1, л на рис.
17.1), уравнение выполняется точно, если др/дп в правой части (17.16) вычисляется через уравнение импульса. Если (17.16) применяется ко всей расчетной области, необходимо глобальное выполнение закона сохранения массы, т. е. выполнение условия (17.14), а производная др/дп на границе должна определяться из уравнений импульса или, там где это возможно, следует полагать др/дп = О.
Способ определения др/дп на границе из уравнений импульса должен быть совместим с внутренней дискретизацией. Невыполнение условия (17.16) приводит к очень медленной сходимости решения уравнения (17.13) или может привести к его расходимости. Даже при выполнении (17.16) введение граничных условий Неймана для давления приводит к замедлению сходимости итераций, если на всех границах заданы граничные условия типа Дирихле.
398 Гл. !7. Несжимаемые вязкие течения 17.1.3. Постановка граничнсчх условий Сетка строится таким образом, что граница проходит через точки, в которых определяется скорость, а не давление. Например, на рис. 17.3 изображена часть расчетной области, для которой граница ВС вЂ тверд стенка, а А — входная граница. гй "з/а,о рйо из/ о Ра о Фпа/а о Рис. 17.3. Типичное положение границы при использовании разнесенной сетки. Очевидно.
что оь пз = пз, зм = ... = О, поскольку ВС— твердая стенка. Для вычисления выражения (17тй) в узле- (3/2, 1) необходимо значение изгз,о. Оно может быть получено через значение на стенке: иза, из=0 =0.5(изп, ~+ азах о) или изрь о= — изсь ь На границе АВ значения и и о задаются.
Компонента и используется непосредственно, а величина риз,» — для определения о,, Так, при вычислении (17.11) в узле (1, 3/2) значение по згз определяется по формуле оо, з~з = 2пиа за — иь зпь Если А — выходная граница, на которой и больше нуля, обычно используются следующие граничные условия; (17.17) $17.1. Исходные переменные: нестационарные течения З99 При вычислении (17.9) на АВ в узле (1/2,2) из (17.17) следует, что излог= и-!/г,ь Аналогично при вычислении (17.!1) в узле (0,3/2) из (17.17) следует, что о!,за= оо,зао При решении уравнения Пуассона для давления (17.13) требуются его значения за пределами области расчета. При записи (17.13) относительно узла (2, 1) требуются значения рг,о и иг, !до Значение рг,о получается из уравнения (17.3), записанного на стенке, т.
е. др/ду = (дгв/дуг)/Ке, поскольку о на стенке не зависит от времени. В дискретной форме это выражение имеет вид Рг, ! Рг,о 1 Ог, за»пг, !и+Ог,— цг Ьу це Ьуз Для выполнения уравнения (17.1) на стенке должно иметь место равенство: дп/ду = О. Тогда ног, з/2 О =О 2, — !/2 2.
3/2Ю 2. О 2. ! йе Ху Р, =Р, В работах [Наг!о!и, %е!сЬ, 1965; 3/!есе111, !971] рассмотрена постановка граничных условий на свободной поверхности. 17.1.4. Развитие метода МАС В методе МАС при определении давления обеспечивается выполнение уравнения неразрывности. В упрощенном методе маркеров и ячеек (РОМАС), разработанном в работе [Агпз/[еп, Наг!он/, 1970], для более непосредственного выполнения уравнения неразрывности вводится второе уравнение Пуассона относительно вспомогательного потенциала скорости.
Аналогичный подход рассматривается в п. 17.2.2. В первоначальном методе МАС при постановке на границе области условия Неймана для р необходимо определить давление за пределами области расчета, используя уравнения (17.2) или (17.3). В работе [Еаз1оп, 1972] показано, что вместо этого можно использовать однородные граничные условия Неймана, что является более экономным и легче реализуется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
