Fletcher-2-rus (1185919), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Таким образом, остается учесть влияние вязких членов на распределение 416 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения скоростей. Это осуществляется при помошн соответствуюшей вариационной формулировки и схемы Кранка — Николсона (неявной). Использование вариационного подхода позволяет избежать применения специальных процедур, обеспечивающих непрерывность производных от скорости на внутренних границах. Другой способ получения непрерывных производных скоростей обеспечивается методом глобального баланса потока ]Масагаеп, 81гее11, 1986]. Для простых геометрий, подобных обращенной назад ступеньке, спектральная формулировка в каждой подобласти может быть осуществлена в физических координатах.
Однако в случае областей более сложной формы или если необходимо точно разрешить сильные внутренние градиенты, необходимо использовать подобласти неправильной формы. В работе [Когсхак, Ра1ега, 1986] приводится подобная модификация, основанная на однопараметрическом конструировании (п. 5.3.3). В работе )Масагае8, 81гее11, 1986] при помощи перехода к обобщенным криволинейным кооординатам в каждой подобласти получен такой же окончательный результат.
В заключение можно отметить, что спектральные методы все еще менее развиты, чем конечно-разностные. Основное их преимущество состоит в том, что высокая пространственная точность может быть получена при сравнительно небольшом числе членов в приближенном решении или, что эквивалентно, при небольшом числе точек коллокации 1Нцзза!п1, Еапд, 1987]. При рассмотрении зависяших от времени вязких течений, в которых для достижения необходимой точности требуются малые шаги по времени, спектральные методы уже конкурентноспособны с конечно-разностными методами, особенно в регулярных областях.
В случае нерегулярных областей и если зависимость от времени не является ограничивающим фактором для точности, в спектральных методах обычно используется интегрирование по времени или проводятся итерации до тех пор, пока не получится стационарное решение. В этом случае они оказываются значительно менее экономичным, чем локальные методы, такие, как конечно-разностные или метод конечных элементов.
В настоящее время вычислительная эффективность спектральных методов расчета несжимаемых вязких течений в целом не столь высока, как конечно-разностных методов или метода конечных элементов в случае сложных геометрий расчетной области. Однако возможно, что эта ситуация изменится с появлением компьютеров с параллельными процессорами ]Ог1ейа, Чо181, 1985; Когсха)с, Ра1ега, 1986; Масагаей, Ягее11, 1986]. 4 17.2. Исходные переменные: стационарные течения 411 й 17.2. Исходные переменные: стационарные течения Любой из методов, описанных в 3 17.1, применим для расчета стационарных течений путем интегрирования повременидо тех пор, пока решение не перестанет меняться. Кроме того, если нестационарное решение не представляет интереса, возможно применение методов установления ($6.4), которые могут повысить эффективность таких алгоритмов определения стационарных решений.
Метод установления используется в методе искусственной сжимаемости (п. 17.2.1) и при практическом применении вспомогательной потенциальной функции (п. 17.2.2). Хотя метод ЫМР(.Е (п. 17.2.3) первоначально предназначался для непосредственного решения стационарных уравнений Навье — Стокса, оказалось, что его реализация более эффективна в псевдонестационарной форме.
Методы конечных элементов (п. 17.2.4) применимы для расчета стационарных и нестационарных течений. Однако для расчета стационарных течений эти методы обычно применяются непосредственно к стационарным уравнениям Навье — Стокса. 17.2.1. Искусственная сжимаемосто В этом методе решение стационарных уравнений Навье— Стокса ищется на основе метода установления ($6.4) применительно к нестационарным уравнениям импульса (17.2) и (17.3), а уравнение неразрывности (17.1) заменяется уравнением (17.46) В пределе при 1- оо уравнение (17.46) совпадает с (!7.1). Физический смысл имеет стационарное решение уравнений (17.46), (17.2) и (17.3), а нестационарные решения физического смысла не имеют.
Уравнение (17.46) напоминает сжимаемое уравнение неразрывности (11.10). С этим связано название метода, введенное Чорином [СЬог!и, 1967]. Параметр а можно интерпретировать как скорость звука и положить р = а'р. Однако на практике р в явном виде не появляется и а и тхг играют роль релаксационных параметров. Ограничения на 7хт обычно определяются устойчивостью вычислительного алгоритма. Однако, согласно уравнениям (17.52)— (17.54), имеются ограничения и на а. Поскольку в методе установления осуществляется интегрирование по времени уравнений (17.46), (17.2) и (17.3), граничные условия для этой задачи такие же, как в $ 17.1. 27 К.
Флетчер, т. 2 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения 4!8 В оригинальной формулировке Чорни (Сапог!и, 1967) использовал схему «чехарда» (п. 9.1.3) для производных по времени и разности Дюфорта — Франкела (п. 7.1.2) по пространству. Компоненты скорости и давления определялись в одних и тех же точках. В работе 1Реуге(, Тау)ог, 1983) рекомендуется использовать разнесенные сетки (п. 17.1.1). Кроме того, также показано, что если использовать явные разности, как в п.
17.1.2, псевдонестационарный метод искусственной сжимаемости можно рассматривать как итерационную процедуру решения разностного уравнения Пуассона для давления (17.13) при 1= со. Ниже будет описан неявный псевдонестационарный алгоритм решения уравнений (17.46), (17.2) и (17.3), основанный на процедуре приближенной факторизации (п.
8.2.2). Уравнения (17.46), (17.2) и (17.3) могут быть записаны в векторном виде — + — + — — — 0узй =О, дч ди дС 1 дт дх де йе (17.47) где 4!мм и, Р— из+ р, 6 — ио, 0 0 1 0 Как в (14.98), вводятся якобианы А — = дР/дс), В = де»/дй. В данном случае А — 1 2и О, В= 0 о и Однако в отличие от (14.97) имеются следующие связи: Р=Ап — и0е! и б=Вп — о0п. При дискретизации уравнения (17.47) значения р, и и о определяются в одних и тех же точках сетки.
Для аппроксимации производных по времени используется формула трапеций (схема Кранка — Николсона) — + 0.5~,„(Р" + Р"+') + 0.57.и(чх" + чх"+')— — — (й, + А )(4!" + Вие') =О, (17.49) 0.80 где Ле!"+' = е!"" — пи и Ь„, 1,„, и т. д. — трехточечные центральноразностные операторы. Например, Е„п" =(й", „— 2п" в + + а,",ь,)/Ь '. й 17.2. Исхоаные переменные: станнонарные теченнв 419 Как и в п. 8.2.2, из (17.49) получается линейная относительно Л41л4! система уравнений. Члены Рл4!, чхлч.! и 41л+! разлагаются в ряд Тейлора в окрестности временного слоя и. В результате получается рлч! рл ] Ал д ле! ~ле! ~л 1 Вл Л лч! Члч- «1л + дг1ле Следовательно, (17.49) можно записать в виде (1+ 0 5 Л1 ~УхА" + Ьу — р, (Ьхх + Е уу))~ Лйл+' = КН8 (17 50) где КНЗ = Л1 [()х/йе) (Е,„+ Е.уу) 9" — ńà — 1.учх].
Левая часть подвергается приближенной факторизации (см. п. 8.2.2) и решается в два этапа с добавлением искусственной диссипации; !] 1 + 0 5 Лг (Ь А" — — й„) -1- а; ЛхЧ.„~~ Дп* = = ыН8 — ае ](17хДх) + (ЧуДу) ] ч", (17 51) ] 1+ 05 Л1 (ЕуВ" — — Л ) -(- в! ДУЮ ~ Лс)лч! — Д 1* где (~хДх) 9" = я! .,а 4я," ! а + 69" а — 49л,! „ + 9л , Очевидно, что каждый шаг алгоритма приводит к блочно-трех- диагональным системам уравнений, для решения которых имеются эффективные численные методы (п. 6.2.5). Поскольку трапецеидальная разностная формула по времени нейтрально устойчива, в правую часть (17.51а) введен явный сглаживающий член четвертого порядка, подавляющий нелинейную неустойчивость. Неявный сглаживающий член второго порядка, введенный в левую часть (17.51), уравновешивает явное сглаживание во время нестационарного периода, препятствует снижению скорости сходимости к стационарному состоянию.
Параметры е, и е! выбираются так, чтобы искусственная диссипация была пренебрежимо мала по сравнению с физической, которая в данном случае определяется величиной 1/Ке. Использование искусственной диссипации обсуждается ниже в $18.5. Для сложных геометрий имеет смысл использовать обобщенные координаты (гл. 12).
Соответствующий алгоритм, аналогичный описываемому в 9 18.4, использовался в работе (5(ейег, Кп((ег, 1977] для исследования вихревых следов и в работе 1Ктиа(с е1 а1., 1986а] для расчета течений в трубопроводах двигателей. 27л ф 17.2. Исходные переменные: стационарные течении 421 маемой жидкостью. Картина течения при числе Рейнольдса (рассчитанном по диаметру цилиндра), равном 1000, приведена на рис. 17.8. Траектории частиц, изображенные на рис. 17.8, получены на сетке, содержащей примерно !00000 узлов. Для а Рис. 17.8. Траектории частиц при обтекании цилиндра на плоскости, це = = !000 ([Ктча!с е1 а!., 1986Ц печатается с разрешения !ЧАКА).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
