Fletcher-2-rus (1185919), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Однако при такой формулировке полученное решение может оказаться менее точным. Преимуществом является то, что нет необходимости выделять дополнительную память для хранения и и ш Начальные и граничные условия для уравнений (17.90)— (17.92) рассматривались в п. 11.5.1. Система (17.90) — (17.92) пригодна для описания как стационарных, так и нестациоиарных вязких ламинарных течений. Однако явно от времени зависит лишь уравнение переноса завихренности (17.90). Следовательно, для нестационарных задач из уравнения (17.90) следует, что функция тока должна определяться в соответствии с зависящей от времени завихренностыо на каждом шаге по времени. Для нестационарных задач уравнение (17.90) параболическое по времени, если известны и и о.
Поэтому для его решения может быть разработан эффективный маршевый алгоритм по времени на основе метода АР! или приближенной факторизации ($ 8.2). На каждом шаге по времени для определения ф решается дискретное представление уравнения (17.92). Уравнение (17.92) строго эллиптическое при известной функции ь. Для его решения возможно использовать итерационные ($ 6.3) или прямые (3 6.2) методы. Уравнение (17.92) — уравнение Пуассона и, если сетка однородная, для его решения имеются весьма эффективные прямые методы (п. 6.2.6). Для стационарных течений уравнения (17.91), (17.92) и стационарная форма (17.90) образуют систему эллиптических уравнений в частных производных. Поскольку уравнение (17.90) нелинейное, для его решения необходимо использовать итерационный алгоритм.
На каждой итерации уравнения (17.90) и (17.92) используются последовательно или как связанная система для определения ~ и ф. В работе !Оцр!а, МапоЬаг, !979) применялся последовательный алгоритм. Гж 17. Несжимаемые вязкие течения Чтобы использовать граничные условия Дирихле для стациоварной формы (17.90), необходимо применить метод нижней релаксации при определении значений завихренности на границе. Это связано с тем, что физически согласованные граничные условия можно ввести для зр и дзр/дп, но не для ~. Если для ~ записано численное граничное условие, удовлетворяющее интегральному граничному условию (11.90), нижней релаксации не требуется [Яцаг!аре11е, Уа!г-Ог!з, !981], даже если используется последовательный алгоритм. Однако, если стационарная форма (!7,90) и (17.92) решается как связанная система, достаточно двух граничных условий для зг и дзр/дн.
В работе [Сашр!оп-)сепзоп, Сгос)зе1, 1978] использовался такой подход в методе конечных элементов для исследования течения в движущейся полости. Граничных условий для ь не требуется. Другим способом определения стационарного решения является псевдонестационарный метод ($ 6.4). Для его применения (17.92) заменяется уравнением (17.93) Когда стационарное состояние достигнуто, уравнение (17.93) обращается в (17.92).
Шаг по времени Ьт, появляющийся после дискретизации (17.93), является дополнительным параметром контроля псевдонестационарных итераций. При применении метода установления возможно как последовательное, так и совместное решение уравнений (17.90) и (17.93). Типичные примеры приведены в следующем разделе. 17.3.1.
Применение конечно-разностнык методов В данном разделе рассматриваются наиболее типичные последовательные и связанные алгоритмы решения задачи о стационарном течении в движушейся полости (рис. 17.12). Крышка полости движется вправо с постоянной скоростью и = 1. Граничные условия прилипания для компонент скорости и и о эквивалентны, согласно (17.91), приведенным на рисунке граничным условиям для зр и дзр/да.
Далее будет описан алгоритм решения уравнений (17.90) и (17.93), основанный на методе установления [Ма!!!пзоп, с(е тгаЫ Гзач(з, 1973]. В этом методе для аппроксимации производных на однородной сетке используются центральные трехточечные разностные формулы. В обозначениях гл. 8 — — 1,„(и4)7 а+ 0(Лх ), —, — 1,„а~; е+ 0(ЛУ ) н т. д., $17.3. Переменные аавихренность — функция тока 4зу где (иЬ)1 ь, — (ий) хМ~/,е= ьп а — ~ 2ьп е+ ьп в+1 ввьь а = Ьуа В работе [Ма11(пзоп, с(е Ъ'аЫ Ран(з, 1973) использовалось полу- дискретное представление уравнения (17.90): — — = (А'+ А") ьь м 1 аГЬ в (17.95) (17.94р где А"~1 а — — (1/Ке) Ь„хеьг е — Х.„(ить)1 а, Авьг и — — (1(йе) Е.ввь( ь — Е,я(оь)1 е, в — релаксационный параметр, который может изменяться по пространству.
Для всех точек сетки можно записать векторное уравнение — 1А'+ А") т.. (17.96) Элементы матриц А' и Ан определяются уравнениями (!7.94). Уравнение (17.96) и эквивалентное полудискретное векторное А ' 17 и-ЩО ф=о, йф/Ой=1 ф О ьфуаж-о Рис. 17.12. Двумерная движущаяся полость, уравнение, полученное из (17.93), интегрируются по времени методом Самарского и Андреева 15ап1агзкй, Апс(геев, 1963] 1! — 0.5в Л(Ах) Ль' = в Л( (Ах + А") ь", (17.977 )à — 0.5вЛГАв~ Л~"+' =Л~', ~"" =~" +Л~"+'.
Очевидно, что (17.97) эквивалентно (8.23) и (8.24) при 8 = 0.5 и и и о в А' и Аа, определяемых на временнбм слое и. По существу это приближенная факторизация с аппроксимацией Кранка — Николсона по времени. Из рассмотрения модифицирован- Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения ного метода Ньютона (3 6.4 и п.
10.4.3) следует, что при 8 = 1 скорость сходимости к стационарному состоянию будет выше. В работе [Ма1Впзоп, де т(аЫ !апач!з, 1973] применялась схема Самарского и Андреева последовательно к (17.93) и (17.90). Они обнаружили, что максимальная скорость сходимости соответствует аз( = 0.8Лха — 0.8Луе и Лт = 50вЛЬ В работе [11е тгаЫ Оат)з, Ма!11пзоп, 1976] данный алгоритм использовался для сравнения трехточечных центральных разностей с двухточечными разностями против потока в (17.90) для больших чисел Рейнольдса. Очевидно, что схемы против потока высокого порядка (и.
9.3.2 и 17.1.5) могут быть включены в данный метод с некоторой модификацией неявного алгоритма. В задаче о движущейся полости при решении уравнения (17.93) используются граничные условия Дирихле для зр. При решении (17.90) определяются граничные условия для ь. Способ определения этих условий будет описан в п. 17.3.2. В работе [КпЫп, КЬоз!а, !981] решались уравнения (!7.90) и (17.92) как связанная система при помощи модифицированного чисто неявного алгоритма (п.
6.3.3). Чтобы получить систему с диагональным преобладанием связанных уравнений при больших Ке, для дискретизации д(и~)/дх использовалось следующее выражение: + 0 5 Лх (! — 2)а„) 1,„„(иь),". (17.98) где [(и1)1„~ а — (ий), а] .(.„(и~); а = ах р, =О, если иь а > О, и р = 1, если иь» (О. Эта схема, пред. ложенная в работе [КЬоз1а, йцЫп, 1974], является схемойсразностями против потока на неявном слое (и+ 1). Однако в стационарных условиях она превращается в трехточечную центрально-разностную схему.
Используя (17.98) и эквивалентное выражение для д(оь)/ду, но в предположении, что и, о ) О, уравнения (17.90) и (17.92) можно представить в дискретном виде не! вл = — 'а — 0.5 ЛхЕ„„(иЬ)" а — 0.5АУ Ели (оь)",. а, (17.99) (17,100) $17.3. Переменные завихренность — функция тока 441 Уравнения (17.99) и (17.100) образуют систему уравнений с (2Р', 2)-матрицей с диагональным преобладанием. Уравнения связаны через значения ~ и ф на слое (и + 1) в точках (! — 1, й), (!', Й), (/+ 1, Й), (1, й — 1) и (1, й+ 1). Компоненты скорости в (17.99) берутся с явного (п) временнбго слоя. Уравнения (17.99) ВихРь ог а.о о.а Ю Ю г.а о.о Ю Ю ом а,с Ю Ю со Ю ОО Х Рис.
17.13. Картина линий тока в движущейся полости при . Йе = 1О 000 (!ьзп1а е! а1„1982); печатается с разрешения Асаг1еш1с Ргезз). и (17.!00), записанные во всех точках, образуют систему уравнений с разреженной (2)с',2) блочной матрицей. Такая система может быть легко решена по чисто неявной схеме (п.
6.3.3). Детали можно найти в работе [гсцЬ!п, КЬоз!а, !98!). Из-за сильной связи ~ и ф на неявном временнбм слое для устойчивости не требуется введения нижней релаксации после определения граничных условий для завихренности. В работе [гзЬ(а е1 а1., 1982) метод Рубина и Хослы использовался в сочетании с многосеточным методом (п. 6.3.5) для решения задачи о движушейся полости (рис. !7.!2) для чисел 442 Га 17. Неезкимаемме вязкие течения Рейнольдса до 10000 на однородной сетке 257 к, 257.
Характерный результат приведен на рис. 17.13. Для течения характерно образование основного вихря, заполняюшего ббльшую часть полости, и ряда угловых вихрей, вращающихся в противоположном направлении. Гиа с соавторами отмечают, что многосеточный подход позволил получить алгоритм примерно в четыре раза более эффективный по сравнению с обычным способом реализации чисто неявной процедуры на самой мелкой сетке. 17,8,2, Постановка араничньт условий В данном разделе будет рассмотрена постановка граничных условий в переменных ~, тр. Основное внимание будет уделено построению граничных условий для завихренности на твердой стенке.
Однако важной задачей является и правильная постановка граничных условий на входной и выходной поверхностях. Эти граничные условия будут рассмотрены на примере задачи об обтекании уступа. Как показано на рис. 17.12, граничные условия прилипания па стенке эквивалентны условиям (17.101) Первое граничное условие используется при решении уравнения Пуассона для функции тока (17.92), второе — при построении граничного условия для завихренности. Это будет продемонстрировано для крышки (АР на рис.
17.12). Разложение в ряд Тейлора функции тока относительно точки (1, й) на АР дает 'гни-~=фья — ЛУГд 1 + 2 Гд з1 +.... (17.102) Из дискретного представления уравнения (17.92) и первогоуравнения (17.101) следует ~пи=1Я, Фу,и=0, У1 =у( (17103) Следовательно, разложение (17.102) можно представить в виде ьпе= а з (зйпи — !+йули!)+0(Ьу) (17 104) 2 Эта формула первого порядка впервые была предложена в работе [ТЬотп, 1933) и широко использовалась впоследствии.
Аналогичные выражения могут быть легко получены для других поверхностей. Поскольку во внутренних точках используется дискретизация второго порядка точности, желательно граничные условия опре- 4 17.3. Переменные завихренность — функция тока 443 делить также со вторым порядком точности (3 7.3). Это может быть сделано следующим образом. Уравнение (17.103) со вторым порядком точности можно записать в виде '"!'+ф "'+ О(Лу) (!7.105) Луз Кроме того, [дф/ду] !, а с третьим порядком точности может быть представлено как ф1 ф7,ь — з ф!.ь — !+ ф! ь+ "! ь+! [ О(Л з) а! ду~!а аду + у . — — +о л (17.106) Узловое значение трь вы лежит за пределами расчетной области и может быть исключено из (!7.105) и (17.106).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
