Fletcher-2-rus (1185919), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Подробности этой процедуры описаны в работе [Р!е1с)зег, ВагЬц!о, !98ба]. Введение поверхностного слоя (в=0.05бу м) приводит к образованию вниз по потоку от точки 6 (рис. 17.17) весьма 8 — К5ТЕР+1 й- К5ТЕР и = К5ТЕР-1 М вЂ” К5ТЕР-2 Рис. 17.18. Сетка вниз по потоку от кромки. неоднородной в направлении у сетки. Г1ри дискретизации методом конечных элементов в узлах Галеркина А = КАТЕР (рис. 17.18) линии сетки й = КАТЕР— 1 во внимание не принимаются. Поэтому в дискретные уравнения входят лишь узлы со значениями А = КВТЕР— 2, КАТЕР и КАТЕР +!.
Для узлов Галеркина с й = КВТЕР— 1 не учитывается линия сетки ус = КАТЕР и в дискретные уравнения входят лишь узлы й = = КАТЕР— 2, КВТЕР— 1 и КАТЕР+!. Такая процедура позволяет связать локальные решения и получить локально гладкое решение. Типичная картина течения в глубокой полости, Е6)ЕР= = 1.18, изображена на рис. 17.19. На поверхности 0Е осуществляется вдув и отсос жидкости по направлению часовой стрелки. Распределение скорости ион линейное, максимальное значение 1цон/(7 (=0.6. Вдув и отсос равны по величине и направлены в разные стороны.
Вдув и отсос приводят к появлению области вращающейся по часовой стрелке жидкости, отделенной от основной зоны небольшой областью вращающейся против часовой стрелки жидкости. Картина течения устойчива и стационарна. Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения 45б Если глубину полости уменьшить до Ест(ЕР = 0.56, образуется структура с тремя ячейками вращающейся жидкости и кар- Рис. 17.19. Картина теченив при обтекании глубокой полости, обращенной вниз по потоку, Кеа = 217, со влувом и отсосом по часовой стрелке. Рис. 17.20. Картина течения при обтекании неглубокой полости, обращенной вниз по потоку, кеа = 217, со влувом и отсосом по часовой стрелке. тина течения перестает быть стационарной [г!е1сЬег, ВатЬи1о, 1986Ь].
Характерная последовательность картин течения за один период приведена на рис. 17.20. Фактически малая глубина полости не позволяет сформироваться второй стационар- $ !7.3. Переменные аавнхренность — функция тока ло7 ной ячейке. Поскольку течение нестационарно, в описанный выше алгоритм необходимо ввести некоторые изменения, которые описаны в книге [Реуге(, Тау!ог, 1983]. Для рассмотренного алгоритма необходимо ввести итерации на каждом шаге по времени, чтобы выполнялись стационарные формы уравнений (17.93) и (17.126).
17.3.4. Расчет давления При использовании в качестве зависимых переменных завихренности и функции тока давление в уравнениях явным образом ие фигурирует. Однако, после того как поле скоростей найдено, давление может быть легко рассчитано. Ниже будут рассмотрены методы расчета давления в стационарных течениях; обобщение на нестационарный случай не представляет труда. Наиболее просто давление можно определить из уравнений импульса (17.2) и (17.3), если рассматривать их как обыкновенные дифференциальные уравнения относительно р, Такой метод достаточно эффективен вблизи областей, где давление известно, например вблизи области невозмущенного течения, и если пространственные градиенты давления невелики.
Однако ошибки в поле скоростей накапливаются и продолжительное интегрирование может привести к существенной ошибке. Кроме того, если значение давления в некоторой точке получено интегрированием вдоль разных путей, чтобы избежать неоднозначности, приходится вводить некоторую процедуру осреднения или сглаживания. В качестве модификации алгоритма 51МР1 Е (п.
!7.2.3) такой метод описан в работе [Гса!!ЬЬу, ЗсЬпеЫег, 1979]. Для определения давления на поверхности Флетчер и Сринивас [Р1е!сЬег, ЯПп!чаз, !983] использовали параллельно интегрирование уравнений импульса и экстраполяцию по нормали. Для определения давления внутри расчетной области лучше получить уравнение Пуассона из уравнений импульса.
В двумерном случае оно имеет вкд — + — = 2( — — — — — х!. дар дар г ди до до ди х (17. 135) дха дуа (, дх ду дх ду ] ' Правая часть уравнения (17.135) известна из решения для завихренности и функции тока. Уравнение (17.135) можно использовать в случае стационарного и нестационарного течений. Граничными условиями для (17.135) обычно являются условие Дирихле в области невозмущенного течения и условие Неймана иа твердой поверхности. Условие Неймана получается Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения 458 из уравнения нормальной составляющей импульса, которое может быть приведено к следующей безразмерной форме: др 1 дй ди ((е дз ' (17.136) где з измеряется вдоль тела.
При больших числах Рейнольдса для течений, параллельных плоской поверхности, уравнение (17.136) сводится к приближению пограничного слоя др/ди= =О. Решение уравнения (!7.!35) должно также удовлетворять глобальному интегральному ограничению (17.16). Из этого сле- дует ~ ~ ( —, + д,) их с!у=О = ~ д дз. (!7.!37) с дзн дзн д (иь) д (ой) Уравнение (17.139) применимо для описания стационарных и нестационарных течений.
Граничные условия Неймана и Дирихле для Н получаются из уравнений импульса. В областях, где течение локально невязкое, значение Н постоянно. Следовательно, для течений около изолированных тел решение дискретного аналога уравнения (17.139) можно проводить с удаленной границей, расположенной гораздо ближе к телу, чем при решении уравнения (17.135). Уравнение (!7.139) использовалось для определения глобального распределения давления в задаче об обтекании направленной по потоку полости (Е!е!сЬет, ВагЬц!о, 1986а, Ь]. (17.139) Для внутренних течений, где условия Неймана ставятся на всех границах, важно обеспечить выполнение (!7.137). Поскольку уравнение (!7.135) есть уравнение Пуассона, любой из методов решения строго эллиптических задач пригоден для решения дискретного аналога уравнения (17.135).
Если дискретизация проводится на однородной сетке, можно использовать прямые методы решения уравнения Пуассона (п. 6.2.6). Для решения на однородных и неоднородных сетках пригодны итерационные методы, описанные в $ 6.3. Для внешних течений, подобных течению за уступом, имеет смысл вместо давления использовать переменную Бернулли Н (11.49). В безразмерном виде Н = си+ из+ св (17.138) где коэффициент давления ср —— (р — р )/О.бр(7~ .
Из уравнений импульса вместо (17.135) можно получить уравнение Пуассона для Н: $17.4. Заиихренность при описании трехмерных течений 459 Для двумерных стационарных течений уравнения (17.135) нли (17.139) достаточно решить лишь один раз, после того как найдено поле скоростей. Если при рассмотрении нестационарного течения требуется знать давление, уравнения (17.135) или (17.139) необходимо решать на каждом шаге по времени. В этом случае чаще используются исходные переменные, а не завихренность — функция тока. 9 17.4. Завихреииость при описании трехмерных течений В двумерном случае описание течений в переменных завихренность — функция тока часто оказывается эффективней описания в исходных переменных. В первую очередь это связано с тем, что использование функции тока позволяет избежать явного решения уравнения неразрывности (7.1).
В случае трех пространственных переменных описание течений через завихренность приводит к большему (обычно шесть) числу зависимых переменных, чем описание в исходных переменных (обычно четыре). В связи с этим описание трехмерных течений на основе завихренности используется нечасто. В данном параграфе рассматриваются два подхода. В обоих подходах используется трехмерное уравнение переноса завихренности и давление явно не присутствует.
Способы описания отличаются выбором дополнительных уравнений, позволяющих получить поле скоростей. 17.4.1. Описание через завихренность и векторный потенциал При обобщении на трехмерный случай описания течений в переменных завихренность — функция тока Ц 17.3) требуется заменить функцию тока трехкомпонентным векторным потенциалом, а также необходимо рассматривать все трн компоненты скорости. Трехмерное уравнение переноса завнхренности, заменяющее (17.90), имеет вид — + 17 . (ц~) — (~ Ч) и — — 17'~ = О. (17.140) Структура уравнения (17.140) аналогична (17.90), за исключением того, что здесь появляется новый член (Ь Ч)ц, который можно трактовать как растяжение завихренности. В декартовых координатах к-компонента уравнения (17.140) равна дт + дх ( ьх)+ д ( чх)+ дг ( чх) чх дх чад ь» дг "+ х+ х) — 0 (17141) 1 т д'~х д'~х д'~х х ке х дхх ду' дг' т' Гл.
17. Несжимаемые вязкие течения 460 Три компоненты завихренности связаны с компонентами скорости соотношением ь =го! и. Однако, чтобы получить поле скоростей из поля завихренности, необходимо ввести векторный потенциал тр, такой, что (17. 142) и=го!ф, т. е. д4з дза,, и =— ду дя дзги дзг» дл ду И, и=— дг дл Очевидно, что векторный потенциал тр является трехмерным обобщением скалярной функции тока в двумерном случае (тр = зр», тр» = тК = О) . Трехмерным эквивалентом уравнения (17.92) является уравнение (17, 143) и для завихренности: 1) на поверхности 2) на поверхности дсе де соп51: ь = О, дм ди сопз!' ~л д ' йя = О, (17.
145) дв ди 3) на поверхности а=сонэ(: ь„= — — —, ья — — —, ьа=0. Таким образом, трехмерное вязкое несжимаемое течение описывается уравнениями (17.140), (17.142) и (17.143). Поскольку в каждом уравнении имеются три компоненты, расчет трехмерных течений через завихренность и векторный потенциал менее экономичен, чем расчет в исходных переменных ($ !7.1 и 17.2). Однако, поскольку уравнения (17.140) являются уравнениями переноса, а (17.143) — уравнением Пуассона, для их решения можно использовать те же численные методы, что и в двумерном случае. Для внутренних течений, как и в задаче о движущейся полости, в работе !Ак!г, Не!!шпз, 1967] приведены граничные условия для векторного потенциала: 1) на поверхности х =сопи(: — = т(зу= тр,=0, дйа дзиу 2) на поверхности у=сопи(: — =зр„=зр,=0, (17.144) ду к 3) на поверхности я=сонэ!: д =тР =тйд=0 д'га 4 17.4 Завихренность при оннсании трехмерных течений 461 Описание через завихренность и векторный потенциал использовалось в работах [Аг!г, Не!1шпз, 1967; Ма!!!пзоп, бе ЧаЫ Ран!з, 1977) для решения задачи о естественной конвекции в ящике.
Для задач с входными и выходными границами граничные условия (17.144), (17.145) должны быть изменены. Это возможно [Н)газа)11, Не!!шпз, 1968), но результат получается весьма громоздким. Вместо этого предлагается [Н!газаЫ, Не!- !шпз, 1970] заменить (17.142) уравнением и = го1 ф + 17ф, (17.146) где ф — вспомогательный потенциал (ср. с п. 17.2.2), введенный для более простого описания граничных условий на входной и выходной границах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
