Fletcher-2-rus (1185919), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Из уравнения неразрывности следует, что р'ф = 0. (17, 147) Остальные уравнения движения остаются без изменений, Граничными условиями для уравнения (17.147) являются условия Неймана — = — п ц. (17. 148) Таким образом, задаваемое распределение скорости на входной/выходной границе вводится через уравнение (17.148). На твердой поверхности уравнение (17.148) приводится к дф]дп= = О. Кроме того, граничные условия (17.144), (17.145) становятся применимы без дальнейшей модификации. В работе [Аге8Ьезо!а, Вцг1еу, 1977) использовалось описание в терминах завихренность — векторный потенциал — вспомогательный потенциал для исследования трехмерных течений в каналах. В работе [Юопй, це)вез, 1984] показано, что после введения вспомогательного потенциала для дискретного представления уравнений закон неразрывности не выполняется автоматически.
Поэтому они предложили заменить (17.146) выражением тг = го1тр+ тхео, (17.1 49) где шо(х,у) — определенное для прямого канала, параллельного оси г, распределение скорости на входе. При таком описании условия (17.144) применимы на твердых поверхностях и на входной границе (г = сопз1). На выходной границе (г = сонэ!) рекомендуется [%оп8, Гхе(вез, 1984] вместо (17.144) использовать граничные условия д~рх дф„ дх / дфх дф„ Х вЂ” "= —" = О, — ' = — [ — "+ — а). (17,150) дг да ' дг дх др 462 Гл.
17. Несжимаемые аязиие течения Граничные условия для завихренности определяются выражениями (17.145). Численная реализация этих граничных условий осуществляется так же, как и в двумерном случае (п. ! 7.3.2). 17.4.2. Описание через завихренность и скорость При таком описании [Разе!, 1978; депп(з е! а!., 1979] сохраняется уравнение переноса завихренности (17.140). Однако из определения завихренности ь = го! ц и уравнения неразрывности можно вывести следующие уравнения Пуассона для компонент скорости: д~„д~ !72а У д» ду дй» де» Ч~о = — — ' — —, дх д» дй дь ч'и = — — —. ду дх (17.! 51) В рассматриваемой формулировке уравнениями, описывающими движение, являются уравнения (17.140) и (17.151).
На твердой поверхности граничными условиями являются условия прилипания и= о =ю =0 и условия (17.145) для завихренности. На входных границах можно определить поле скоростей; на выходной границе для компонент скорости ставятся граничные условия Неймана (17.17), Прн дополнительных упрощениях в уравнениях переноса завихренности (как в гл. 16) можно избежать необходимости постановки граничных условий иа границе, расположенной вниз по потоку. В работе [Оепп!з е! а1., 1979] использовались модифицированные экспоненциальные разности [Оепп!з, 1985] для конвективных членов в уравнении переноса завихренности. Обычные трехточечные разности использовались для вторых производных в уравнениях (17.!40) и для всех членов в (17.151). Стационарное дискретное представ.
пение (!7.140) и дискретная форма (17.151) образуют глобальную систему уравнений с диагональным преобладанием, для решения которой использовался метод последовательной верхней релаксации. Были рассчитаны течения в движущейся полости при числах Рейнольдса до 400 на сетке 25Х 25Х 25. Возможно рассмотреть двумерную версию описания в переменных завихренность — скорость, а именно уравнение переноса завихренности (17.90), определение завихренности (!7.89) и уравнение неразрывности (17.1). В работе [Оа1сИ е1 а!., 1982] использовалось такое описание для исследования задачи о движущейся полости и для исследования более сложных не- стационарных вязких течений [Оа1сЫ, Отозс1к !985]. Скомби- $17.4.
Завихренность при описании трехмерных течений 463 нирована дискретная форма уравнений (17.1) и (17.89) в глобальное блочное матричное уравнение. Полученное уравнение ие является уравнением с диагональным преобладанием, и в работе [Сеа1сЫ е1 а1., 1982] отмечается, что итерационный алгоритм решения блочного матричного уравнения не слишком эффективен. При решении дискретного аналога (17.90) для производных дЬ/дх и д~/ду вводятся вспомогательные переменные. Это позволяет построить разностную схему, аналогичную схеме ячеек Келлера (п.
15.!.3), Дискретное уравнение для завихренности решается модифицированным методом АР!. Весь алгоритм является последовательным, т. е. уравнение переноса завихренности решается отдельно от комбинации уравнений определения завихренности и неразрывности. В работе (Вазе!, !976) для исследования переходных явлений в двумерном пограничном слое решено уравнение (17.90) совместно с уравнениями (17.151) при ь, = ~„ = О. В работе !Ог1апб(, 1987] использовалась похожая схема, в которую входило также разностное представление уравнения неразрывности. В этой работе построена блочная схема типа АР1, в которой все уравнения связаны на каждом полушаге по времени.
На первом полушаге связываются уравнения (17.90), (17.151Ь) и (17. 152) На втором полушаге повремени связываютсяуравнения (17.90), (17.15!а) и (17.153) Уравнения (17.152) и (17 153) получаются в результате дифференцирования уравнения неразрывности (17.1). Можно также отметить, что производные от уравнения неразрывности используются и при выводе уравнений (17.151). Может оказаться, что использование продиффереицированных уравнений неразрывности дР/дх =дР/ду= 0, где Р— дилатация (11.!3), не гарантирует выполнение закона неразрывности, если Р не полагается равным нулю по крайней мере в одной точке. Орланди делает это путем явного введения условия (17.1) на границе. Он отмечает, что это гарантирует точное сохранение массы в дискретных уравнениях.
Орланди указывает также, что на практике это приводит к более эффективной схеме, поскольку для нахождения поля скоростей, удовлетворяющего уравнению неразрывности, требуется меньшее число итераций. Он использовал такую схему для расчета течения в движушейся полости и за уступом. Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения 464 Можно заключить, что описание, основанное на завихренности, в трехмерном случае менее эффективно описания в исходных переменных, если только движение вихря, в особенности нестационарное, не представляет особого интереса.
Кроме того, можно отметить, что практически все моделирования турбулентности проводились в исходных переменных. в !7.5. Заключение Исторически описание в переменных завихренность — функция тока было весьма популярно при расчете двумерных несжимаемых вязких течений. Хотя такое описание является экономичным, постановка эффективных граничных условий для завихренности на твердой поверхности является его слабым местом. Кроме того, экономичность описания на основе завихренности не распространяется на трехмерный случай. Поэтому расчеты несжимаемых вязких течений чаше проводятся в исходных переменных.
Основные трудности связаны с уравнением неразрывности. Неявным образом это осуществляется в методе МАС (п. 17.1.2), алгоритме ЫМРЕЕ (п, 17.2.3) и штрафном методе конечных элементов (п. 17.2.4). Более явно выполнение уравнения неразрывности осуществляется в методе искусственной сжимаемости (п. 17.2.1), вспомогательного потенциала (п. 17.2.2) и в традиционном методе конечных элементов (п. 17.2.4). Давление обычно определяется из решения уравнения Пуассона. Это уравнение может появляться в непрерывной форме, как при формулировке через завихренность и функцию тока (3 17.3), или в дискретной форме, как в методе МАС (и. 17.1.2) и методе проекций (п. 17.1.4). Оно может появляться и в замаскированной форме, как в методе вспомогательного потенциала (п. 17.2.2) и алгоритме ЫМРЕЕ (и.
17.2.3). Если для конвективных членов и градиентов давления используются трехточечные центральные разности, имеет смысл использовать разнесенные сетки (п. 17.1.1), в первую очередь чтобы избежать осцилляций в давлении. Однако использование разнесенных сеток в обобщенных координатах весьма обременительно. Чтобы получить точное решение без сильного сгущения сетки для течений с большими градиентами скорости, часто имеет смысл использовать разностные формулы высокого порядка точности для аппроксимации конвективных членов (п.
17.1.5). Однако вся схема при этом может стать менее работоспособной, особенно если такую аппроксимацию использовать в явном маршевом алгоритме. 465 $17.6. Задачи Для различных способов расчета несжимаемых вязких течений могут быть использованы различные способы дискретизации. Так в спектральном методе (п. 17.!.6) применяется метод проекций.
В групповом методе конечных элементов (п.17.3.3) используется метод установления, очень похожий на используемый в конечно-разностных методах (п. 17.3.1). В методе конечного объема (п. 17.2.3) применяется алгоритм $1МРЕЕ, очень похожий на метод вспомогательной потенциальной функции (п. 17.2.2). В данной книге не приводится описание метода вихрей, который в простейшей форме моделирует несжимаемые вязкие течения при помощи точечных вихрей, удовлетворяющих уравнению Лапласа (1!.51). Такие методы описаны в работах Леонарда [1еопагг), 1980, !9851 и использовались для качественного описания сложных нестационарных отрывных течений (например, (Оз)!1!па е( а1., 1986] ).
$ 17.Ь. Задачи Исходные переменные: нестационарные течения (4 17.1) 17.1. Проиитегрируйте уравнение (17.! ) на квадрате 0 < х < 1, 0 < у < < 1 и покажите, что выполняется условие (17.4). Разделите область яз четыре ячейки Ах = Ад = 0.5 и покажите, что выполняются и дискретные аналоги, если и и о определяются на сторонах ячеек (рис. !7,1) и для аппроксимации производных, как в (!7.5), используютсв двухточечные разности. 17.2. Покажите, что дискретное уравнение Пуассона для давления (17.13), (17.14) может быть получено из уравнения (17.!2).
17.3. Проведите на основе уравнений (17.18) и (!7.19) анализ, из кото. рого следует, что метод МАС позволяет определить однородные граничные условия на границе. 17.4. Положив и равной константе, покажите, что схема дискретизации (17.31) — (17.33) эквивалентна (9.7!), (9.72).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
