Fletcher-2-rus (1185919), страница 78
Текст из файла (страница 78)
В результате получим 0.5 зу, (8ф! ь ! ф! ь з)+ 7+ О(ЛУз) (17 107~ оу' В книге Роуча [аспас)те, 1972] данная формула приписывается Дженсену [Зепзеп, 1959] и используется в работах [Реагзоп, 1965; ОЫа е! а!., 1982]. Гупта и Манохар [Оцр!а, Мапо!таг, 1979] провели сравнительные тестовые расчеты и показали, что уравнение (17.!07) позволяет получить более точное, чем (17.!04), решение. Однако использование (17.107) приводит к увеличению числа итераций в последовательном алгоритме. Кроме того, при больших значениях Ке может получиться расходимость решения даже в случае нижней релаксации значения завихреиности иа границе.
Использование (17.!07) в связанном алгоритме не приводит к дополнительным затруднениям. В методе установления имеется другое граничное условие для ~",.+ = ~" „— 6 ([дфоп] — 8'!) . (17.108) Это позволяет использовать граничное условие (17.101) (второе уравнение) непосредственно. Для сходимости необходим соответствующий выбор релаксационного параметра р [1згае11, 1972].
Однако в работе [Реуге(, Тау!ог, 1983] указывается тесная связь такой постановки с граничным условием для завихренности, определяемым уравнением (17.104). В методе установления значение завихренности на границе на (п+ 1)-м шаге равно 1,"',а' = у1!',, +(1 — у) 17, „ Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения где ~', е получается из (17.104), а Т вЂ” релаксационный коэффициент. Исключая Ь".
„из (!7.109) при помощи (17.!04), можно 1. е получить + — ~, (ф,". е, + Луд" — 0.5ЛВ ~1 ). (17.110) Если (дтр/дп!ье в (17.108) заменить на Ц, е — фие ~)/Лу, в результате получится ~,".", = ~,", + — „(ф,". ~, + Луа,"). (17.111) При р = 27/Лу уравнения (17.! 10) и (!7.111) эквивалентны с точностью до 0(Лу). Постановку граничных условий на открытых границах удобно рассмотреть на примере задачи об обтекании уступа (рис.
17.14). Рис. 17.14. Течение за уступом. Как отмечалось в $ 11.5 и п. 11.6.4, открытые границы подразделяются на входные и выходные. Требуемое число физических граничных условий приведено в табл. 11.5. Для задачи об обтекании уступа (рис. 17.14) АŠ— входная граница, ВС вЂ” выходная. Граница АВ может быть как входной, так и выходной в зависимости от локального знака скорости олв. Для границы АВ существенно, что она удалена от уступа и локальное направление течения на ней параллельно АВ. Такая граница называется удаленной.
Ниже на ней будут определены граничные условия, не зависящие от того, является ли эта граница входной или выходной. На входной границе для вязкого несжимаемого течения правильным является определение всех зависимых переменных, кроме одной (табл. !!.5). Для течения около уступа можно задать и(у), р(у), а о(у) определить из решения во внутренней 4 17.3. Переменные завихренность — функция тока 44о области.
В переменных завихренность — функция тока на входной границе задается ф; задание ~ не рекомендуется. Роуч [ноас)зе, 1972] использовал условие дзо/дхз = О. На АР (рис. 17.14) значение ь получается из (!7.89) в следующем виде: "1 ь+~ ц~ е-1 [ д" 1 2 Ьу [. дх ]з а ' (17.112) если для дискретизации используются трехточечные центрально- разиостные формулы. Однако из условия следует ~до1 ~до 1 ф, „— 2фз а+фее Таким образом, ~ь, в (17.112) определяется через значения и на границе и ф внутри области. Похожая конструкция использовалась в работе [Р!е1с!тег, Ьлп!чаз, !983].
Отличие заключается в том, что [да/дх = — дзф/дхз]ьь определялось через решение внутри области при помощи односторонних разностей без привлечения условия дзо/дх' = О. На выходной границе (ВС на рис. 17.14) Роуч [КоасЬе, 1972] и Бейкер [Ва)сег, 1983] рекомендуют использовать условия — =О, — =О.
дь дзф дх ' дх' (17. 113) Второе граничное условие, согласно (17.92), означает, что дзф/дуя = с. Однако важно, чтобы это граничное условие было совместно с условиями на РС и АВ. Роуч [ноас)те, 1983] также предлагает использовать в уравнении (17.90) на ВС для аппроксимации д(и$)/дх разности против потока и считать, что [дав/дх']змия,ь = [дзь/дхз]змах-ьь В этом случае не требуется граничных условий для Ьвс.
Флетчер и Сринивас [Р!е1сЬег, ЗН- и!чаз, 1983] получили очень похожий результат путем отбрасывания члена дзЬ/дхз в уравнении (!7.90) на ВС; возможность такого отбрасывания следует из сравнения порядков величин. Однако при таком упрощении уравнение (17.90) становится параболическим по направлению х и для ~ не требуется граничных условий, В другой вычислительно эквивалентной интерпретации можно положить дз~/дхз = 0 на ВС. Условие и = ! на удаленной границе приводит к граничному условию Неймана для ф.
Для хорошо обтекаемых тел, если считать течение всюду невязким, можно рассчитать приближенное Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения 446 решение на удаленной границе, например, панельным методом ($14.1). Это часто позволяет определить более точное граничное условие и = (/ (х) и приблизить границу АВ к телу. Однако такая процедура рекомендуется лишь для определения граничных условий Неймана. Граничные условия Дирихле могут приводить к появлению нефизических пограничных слоев вблизи АВ. Для отрывных течений, связанных с обтеканием уступа, границу АВ лучше расположить подальше, так что на ней и = 1 и ь = О.
В другой постановке, получившей название аэродинамической «трубы» без трения, полагается, что и = 1 и о = 0 на АВ. Фактически это приводит к граничному условию Дирихле зрла = згл. Граничное условие Дирихле для завихренности получается через значения ф внутри области аналогично условию (17.104). Из этих двух граничных условий следует, что ди/ду = = до/дх = О. Если граница АВ удалена от уступа достаточно далеко, глобальное решение сравнительно нечувствительно к конкретному способу постановки граничных условий на АВ. Однако плохая постановка граничных условий может привести к образованию пограничного слоя или локальных осцилляций вблизи АВ.
17.3.3. Применение группового метода конечных элементов В этом разделе групповой метод конечных элементов Я 10.3) будет применен для расчета несжимаемого ламинарного течения около уступа (рис. !7.14). Для определения стационарного течения метод установления будет применен к уравнениям (17.90), (17.91) и (17.93). Далее будет рассмотрено аналогичное течение около расположенной по направлению потока полости (рис. 17.17).
Обнаружено, что если в полости имеется впрыскивание или отсос жидкости, возможно возникновение нестационарных режимов. Метод Галеркина с конечными элементами с билинейной интерполяцией на четырехугольных элементах Ц 5.3) применяется к уравнению (17.90). Приближенные решения, подобные (6.68), вводятся для Ь и групп иЬ и оГ„как в (10.54). В результате получается полудискретная форма М„З М„ь + Мя З 1,„иь" + М„З 1.эоь— — — (Мд З 1кх + Мз З 1 ая) ~ = О (17 114) где М„и ̄— направленные массовые операторы, а 1,„1.„„ и т.
д, — направленные разностные операторы (т. 1, приложение А.2). На прямоугольной, но неоднородной сетке (рис. !7.15) $17.3. Переменные зааихренность — функция тока 447 эти операторы имеют вид ( — 1,О, Ц (1,О, — Ц" з ат ~а в лд ' (17.115) 1'-('+ ) В Ъ-(" —.',)'Г В случае однородной разностной сетки (и, = г„ = 1) формулы (17.115) совпадают с приведенными в табл. 9.1. Л-! Х 7+1 к+! К+! К+1 грай 7+1 к и — ьт ~ — ам— Рис.
17.15. Неоднородная прямоугольная сетка. Уравнение (17.114) представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений по времени. Для интегрирования по времени из (17.114) выводится следующий трехслойный алгоритм: М„ЭМи ( +У) и,, т ~ =5КН5"+'+(1 — 5) КН8". (17.116) Выбор у и 5 зависит от рассматриваемой задачи. Для зависящей от времени задачи удобным выбором является 7=0 и Р= 0.5, что соответствует схеме Кранка — Николсона. Если при помощи метода установления ищется стационарное решение, 448 Гл.
17. Несжимаемые вязкие течения лучше положить у = 0.5 и р = 1.0, поскольку при этом увеличивается скорость сходимости [Р!е!с)!ег, Ьг!и!чав, 1983). Данный алгоритм применим и для решения двумерного уравнения переноса (9.87). В уравнении (17.116) использованы обозначения Льне! ьи+! ьп Льи и ьи — ! зх Н 3 = (1Яе) (Ми ® 1,„„+ М, !9 Т,ии) à — (17.! 17) — М„!8! /.„иь — М„Э 1,„о~. Для построения эффективного алгоритма и для того, чтобы избежать сильного ограничения на шаг по времени, связанного с устойчивостью, из (17.116) необходимо получить линейную относительно ЛЬ"т! систему уравнений.
Для этого надо линеаризовать КНЯ"+!. Наиболее просто это сделать при помощи разложения в ряд Тейлора относительно временнбго слоя п, т. е. КН8"+' = КНВи+ + ~ — (КН5) — + — (КН8) — + — (КНЯ) — 1лг+..., (17.118) и отбрасывания членов после приведенных здесь. Если дЬ/дг заменить на Л~ч+!/ЛГ и подставить (17.!18) в (17.116), то получим (1+ т) [М, !8! Ми — Лг, ~~ '~ (~Н8)) Л~"+' = = ЛГ КНЬ"' + М„Э Ми Л~".
(! 7.119) В КНЗч а все члены определяются на временнбм слое и, за исключением и и о, которые вычисляются на временнбм слое Ги+ (1Лб ТаКая аППрОКСИМацИя жЕЛатЕЛЬНа Прн раССМОтрЕНИИ нестационарных задач. Для стационарных задач, где точность нестационарного решения несущественна, с вычислительной точки зрения более удобно определить и и и также на временнбм слое п. Определение и н о в КНВи а позволяет получить скалярную, а не (3 Х 3) -блочно-трехдиагональную систему уравнений (17.120) н (17.121). При вычислении и и о в момент времени Рн + !)ЛГ сохраняется второй порядок точности по времени. Система уравнений (17.119) является линейной неявной системой относительно Л~ч+!. Прямые методы решения (!7.!19) с вычислительной точки зрения весьма дорогостоящи.
Однако здесь применимы двухшаговые схемы расщепления, разработанные для решения уравнения диффузии (8.45), (8.47) и урав- $17.3. Переменные завихренность — функция тока 449 пения переноса (9.88), (9.89). На первом шаге уравнение ~̄— Лт,,~~ ( — ~„„— 7.„и)~Л~ = = ) КН8"'Р+ !+ М„Эмдл~" (17.120) представляет набор независимых трехдиагональных систем алгебраических уравнений вдоль каждой линии сетки в направлении х (постоянные значения А на рнс.
!7.15). Решение (17.120) эффективно осуществляется алгоритмами, описанными в п. 6.2.2 и 6.2.3. На втором шаге уравнение [Му — Л! ( — Лдд — Туп)1ль"~' =Ль' (17.121) решается алгоритмом Томаса (п. 6.2.2) на каждой линии сетки в направлении у (постояниые значения ! на рис. 17.15). В уравнениях (17.120) и (17.!2!) и и о — функции координат и на них действуют соответственно операторы 1., и 7.у. В уравнениях (9.88) и (9.89) это не имеет места. Дискретизация уравнения (17.93) методом Галеркина с конечными элементами осуществляется так же, как описано выше.
Вместо 117.114) получается следующая полудискретная форма: лт (Му Э с лк+ Мл® т.ду) ф Мч® Мув. (17.122) Применение такого же расщепления, как и к уравнению переноса завихренности, позволяет получить двухшаговый алгоритм (М,— Л.,~~ 7.„„) Лф*=,"' (М„Э7.,л+М„Э7.„„)ф— — М,Эму( + ь+ +" Лф ), (17.123) (Мд — Лт(р!(1 + У)] 1 ду) Лф + = Лф". (17,124) В уравнениях (17.123) и (17.124) Лт — фиктивный шаг по времени, позволяющий получить итерационное решение на каждом физическом шаге по времени Лб Для нестационарных задач итерации должны продолжаться до тех пор, пока не будет выполнено уравнение (17.92).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
