Fletcher-2-rus (1185919), страница 82
Текст из файла (страница 82)
17.5. Покажите, что уравнения (17.41) и (17.42) следуют из (!7.39), (17.40) и поэтому в алгоритме СРЗМ ие требуются значения и* и г иа границе. Исходные переменные: стационарные течения Я 17.2) 17.6. Покажите, что якобианы А и В определяются выражениями (17.48). Покажите прямой подстановкой, что Г = АЧ вЂ” и)ЗЧ и тл = ВЧ вЂ” о)ЗЧ. 17.7. Сравните функции потенциала давления в п. 17.2.2 с коррекциен давления в методе Хирта и Кука (17.26) — (!7.29) и с коррекцией давления в алгоритме 51МРЕЕ (п.
172.3). 17.8. Выведите конкретные выражения для а" а и а"„з в (17.69) и аг а и аяа в (Н.77). Покажите, что (17.77) является разностяым уравнением Пуассона относительно бр. 30 К Флетчер, т. 3 466 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения 17.9. Как изменится вид уравнения (17.69), если для дискретного представления коивективных членов в (17.2) использовать трехточечную схему против потока второго порядка точности (д = 1.5 в (9,53))? Переменные завнхренность — функция тока (4 17.3) 1730. Покажите, что дискретизация д(и~)/дл, приведенная в (17.98), обращается в трехточечную центрально-разностную схему, если (и5)"+' = = (иД", т. е. в стационарном состоянии. 17.11.
Выведите граничные условия первого и второго порядков точности (17.!04) и (17.107) для завихренности на твердой поверхности. 17.12. Получите выражения для массового и разностного операторов (17.!15) иа неоднородной сетке, применив метод Галеркииа с конечными элементами в одном измерении с линейной интерполяцией ($ 5.4 и т. 1, приложение А.2). 17.13. Путем введения трехслойной дискретизации по времени (17.114) получите схему (17.116).
Покажите, что в результате линеаризации уравнения (17.!16) можно получить схему (17.119) и что (17.120) и (17.121) с точностью до 0(ЛГз) совпадают с (17.119). 17.14. Получите уравнения (17.125), применив одномерный метод Галер- кина к уравнению (17.91). Проведите разложение в ряд Тейлора, чтобы показать, что порядок аппроксимации (17.125) на однородной сетке равен четырем. Какова точность на неоднородной сетке? !7.15. Используйте результаты п. 8.4.2 и покажите, что П(и) = игл/Ьу при определении (17.127) на поверхности РЕ.
17.16. Выведите уравнение Пуассона (!7.139) для функции Бернулли. Завихрениость при описании трехмерных течений (9 !7.4) 17.17. Для определения поправки компоненты завихренности 35„"+' разработайте скалярный трехшаговый алгоритм приближенной факторизации, основанный на трехточечной центрально-разностной дискретизации уравнения (17.141). 17.18.
Выведите уравнение Пуассона (17.151) для компонент скорости. Глава 18 Сжимаемые вязкие течения В данной главе будут рассмотрены численные методы расчета сжимаемых течений, описываемых полной системой уравнений Навье — Стокса, т. е. нестационарных течений или течений с большими отрывными зонами. Стационарные сжимаемые вязкие течения с выделенным направлением потока и небольшими отрывными зонами могут быть рассчитаны методами, описанными в гл. 16. В частности, этими методами могут быть рассчитаны внешние течения около тел в сверхзвуковом потоке. Численные методы, рассматриваемые в настоящей главе, применимы для расчета трансзвуковых течений около самолетов и в турбомашинах, а также течений с малой скоростью в каналах при существенном теплообмене.
С точки зрения проектирования конструкций больший интерес обычно представляют стационарные сжимаемые вязкие течения. Однако большая часть алгоритмов построена на основе интегрирования не- стационарных уравнений по времени. Для стационарных задач такие методы совпадают с методами установления ($ 6.4).
Большая часть сжимаемых вязких течений турбулентные. Из-за сложности уравнений используются сравнительно простые модели турбулентности. Наибольшее распространение получили модели вихревой турбулентной вязкости (п. 18.1.1), алгебраические и связанные с (й — е)-моделью (п, 1!.5.2). Дозвуковые или слабо трансзвуковые течения с большими областями невязкого течения достаточно точно могут быть рассчитаны при помощи алгебраического (п. 18.1.2), а не дифференциального уравнения энергии. С вычислительной точки зрения для решения нестационарных задач удобно использовать явные схемы, если только шаг по времени не слишком ограничен условием устойчивости.
Хорошо известная схема Мак-Кормака описана в п. !8.2.1. Для явных схем число Куранта в условии устойчивости КФЛ обычно равно единице (п. 9.1.2) . Схемы Рунге — Кутты (п. 18.2.2), хотя и явные, позволяют получить устойчивые решения и при большем значении числа Куранта. 488 Гл, !8. Сжимаемые вязкие течения При использовании методов установления всегда желательно иметь возможность использовать еще большие шаги по времени.
Это привело к разработке неявных схем ($ 18.3). Неявная схема Мак-Кормака (п. 18.3.!) является прямым обобщением явной схемы. Во всех остальных неявных схемах, рассматриваемых в $ 18.3, используется приближенная факторизация в том виде, в каком она рассмотрена в 3 8.2. Для практически интересных задач форма области расчета, как правило, нерегулярна. Для расчетов в таких областях удобно использовать обобщенные координаты ($18.4). Приближенная факторизация многомерных неявных алгоритмов упрощается, если физическая диссипация сохраняется лишь в направлении нормали к твердой поверхности (п. 18.1.3 и 1 8.4.1).
Если сжимаемость течения связана с движением (число Маха велико), то во многих случаях оказывается большим и число Рейнольдса и течение турбулентное. Многие из имеющихся вычислительных алгоритмов близки к нейтрально устойчивым. Поэтому в них необходимо аккуратно ввести дополнительную численную диссипацию (п. 18.5.1).
Это позволяет подавить реально возникающую нелинейную неустойчивость, возникающую в тех частях расчетной области, где мала физическая диссипация. Если течение локально сверхзвуковое, в нем вероятно появление ударных волн. Если эти волны слабы, точное решение может быть получено без модификации всего алгоритма, за исключением введения дополнительной численной диссипации. Однако если интенсивность ударных волн велика, применимы те же методы (п.
18.5.2), что и при расчете уравнений Эйлера (п. 14.2.6). $18.1. Физические упрощения Нестационарные трехмерные сжимаемые вязкие течения описываются уравнениями (11.116), (11.117), Требуемое число и тип граничных условий для этих уравнений рассмотрены в п. 11.6.4. Большая часть практически интересных течений, для описания которых необходимо использовать полные уравнения Навье — Стокса, являются турбулентными. Хотя концептуально возможно прямое моделирование и моделирование крупных вихрей благодаря возможностям современных компьютеров, основное внимание уделяется различным способам моделирования турбулентности обычно на уровне турбулентной вязкости (п. 18.1.1).
Моделирование турбулентности позволяет рассматривать очень сложные системы уравнений и проводить расчеты $ 18.1. Физические упрощения течений в сложных областях без чрезмерного увеличения времени счета. Если рассматриваемое течение является дозвуковым или трансзвуковым и отсутствует внешний подвод тепла, уравнение энергии может быть упрощено на основе предположения о сохранении полной энтальпии. Это предположение (и. 18.!.2) позволяет заменить дифференциальное уравнение энергии алгебраическим уравнением, Для сжимаемых течений с большими числами Рейнольдса, если отсутствуют большие отрывные зоны, эффекты вязкости и турбулентности существенны лишь вблизи твердых стенок.
Следовательно, можно сохранить лишь диссипативные члены, связанные с направлением нормали к поверхности. Эта идея составляет основу приближения тонкого слоя, рассматриваемого в п. 18.1.3, Применение этого приближения позволяет упростить программирование, особенно в неявных схемам ($ 18.3), и делает расчеты более экономичными (и. 18.4.1). Исторически важным упрощением является разделение всей области расчета на зоны так, что в каждой зоне можно использовать более простую и соответственно более быстро решаемую систему уравнений.
Традиционно вблизи поверхности, примерно параллельной основному потоку, используются уравнения пограничного слоя (гл. 15), а в удаленных областях — уравнения Эйлера или потенциальные уравнения. Современные развития этой идеи были рассмотрены в п. 16.3.4 — 16.3.7. В трансзвуковых течениях около трехмерных крыльев сложное взаимодействие скачка с пограничным слоем приводит к образованию локальных отрывных течений. Вблизи поверхности следует использовать полные уравнения Навье — Стокса, вдали — уравнения Эйлера. Пример течения, для которого пригоден такой метод расчета, приведен на рис. 1.5. Сшивка решений в двух зонах рассмотрена в работе [Но!81 е! а1., !986].
В этой главе такое физическое упрощение рассматриваться не будет. Прямое применение осреднения Рейнольдса (как это сделано в п. 11.4.2) к сжимаемым турбулентным течениям приводит к появлению третьих моментов, например р'и'о', в которые входят не только флуктуации скорости, но и флуктуации плотности и температуры.
Осредненные по Рейнольдсу уравнения Навье — Стокса можно, однако, упростить, если ввести взвешенные по массе скорости и тепловую переменную [Рачге, 1965[ й = ри/р, Т = рТ~р. (18.1г Для проведения взвешенного по массе осреднения Рейнольдса необходимо расщепить зависимые переменные на осредненную: 47О Гл. !8. Сжимаемые вязкие течения и флуктуационную части: т=т+ т".
и =й+ и", Взвешенное по массе осреднение применяется ко всем переменным, за исключением плотности и давления, которые расщепляются обычным образом: р=Р+р' р=Ф+р'. Детальное описание взвешенного по массе осреднения приведено в книге [СеЬес!, БгпИЬ, 1974]. Если пренебречь некоторыми малыми флуктуационными членами, в результате взвешенного по массе осреднения Рейнольдса уравнений Навье— Стокса можно получить уравнения, вид которых на уровне сдвиговых напряжений и тепловых потоков совпадает с ламинарным представлением (11.116) [!чцЬез!и, Козе, 1973]. Напряжения в (11.1!7) в декартовых тензорных обозначениях заменяются выражением / дй! дй! 2 дйа Х т.
= !х !х — + — — — б" — т! — ри"и". П [,дх. дх. 3 " дх ) ! ! ' ! ! и (!8.2) В уравнении энергии поток тепла принимает вид 1;!з= — й д +срт" и.'. ! (18.3) (18.5) Для замыкания системы уравнений средние от флуктуационных величин в уравнениях (18.2), (18.3) должны быть выражены через осредненные параметры течения. Обзор работ по моделированию турбулентных сжимаемых течений сделан Марвином [Маги!и, 1983] и Брэдшоу [ВгабзЬаъ, 1977]. Для течений с числом Маха, меньшим пяти, можно непосредственно использовать модели турбулентности, разработанные для несжимаемых течений, в которых следует допустить изменение средних значений плотности по пространству и времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
