Fletcher-2-rus (1185919), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Если 1сД1/Дхе ограничено при стремлении Дс и Дх к нулю, неявная схема Мак-Кармана, как и явная (18.50), (18.51), имеет второй порядок точности по времени и пространству. Сохранение второго порядка точности по времени [МасСогтаск, 1982) обеспечивается третьим порядком точности по времени дополнительных поправок в (18.53) и (18.54). Двухдиагональность алгоритма (18.53), (18.54) означает, что «неявные» поправки Дс)' ' и Ддл+'с могут быть определены явным образом. На шаге предиктор (18.53) представляется в виде ьч'; е+(Л ас(ах) ьч',,с, дссс С + Л аСслх Гл.
18. Сжимаемые вязкие течения 488 Шаг корректор Лй",",' '= — Лг(/.„-Г'ь, + /.„С,'.,), (! — ЛГУ.„А )(! — Л1/.„В )Ы~",+,~' =ЬП +ь~", (18.59) <~л+! = 0.5 (<!л ! Я ! Л<~л+~, ь) ьм Односторонние разностные операторы, применяемые к Г и Сз, совпадают с описанными в 9 18.2. Для смешанных производных используются центральные разности. Модифицированные матрицы Якоби Ам и Вм связаны с дей- ствительными матрицами Якоби для невязкого течения, но их собственные числа всегда положительны. Матрицы Якоби не- вязкого течения могут быть модифицированы, как в (14.107), т.
е, А = Тл 'ЛлТл, В = Тв'ЛвТв, (!8.60) При этом предполагается, что из граничного условия Дирихле на правой границе /=УХ можно определить 7вх. Вычисления по формуле (18.56) проводятся в сторону уменьшающихся значений / до тех пор, пока не будет достигнута левая граница. Полный неявный алгоритм численного решения уравнения (18.49) состоит из следующих шагов. Сначала проводятся вычисления по формулам (18.50), затем — по формулам (18.53). После этого следует шаг корректор, состоящий из вычислений по формуле (18.51) и затем — по (18.54).
При обобщении метода на сжимаемые уравнения Навье— Стокса (18,6) неявный алгоритм следует представить в виде ~!+ ЛГ ( — А+ —,В)1ла"" =Ла""'е (18.57) где якобианы А=дГ/дй и В=дб/дй и Ьй"+„ь'= — Л/1дГ/дх+ + дкз/ду]; м Пространственные производные в левой части (18.57) действуют на произведения АЛе! и ВЛе). Из сопоставления с (14.!03) следует, что у = О, 6 = 1, и в (18.57) требуется ввести еще пространственную дискретизацию. Полный алгоритм, эквивалентный (18.50) — (18.54), может быть представлен в виде Шаг предиктор (! — Л(/.+А ) (! — /зт/„+В ) Лг(,",' = Лг(,",, (18 58) е)ь я Чг, я+Лт(г,'я.
4 18.3. Неявные схемы 489 где Лл и Лв — диагональные матрицы, составленные из собственных чисел матриц А и В, т. е. с((анЛл — — (и, и+а, и, и — а), с(1апЛв=(о, о, о+а, о — а). (18. 61) Матрицы Тл и Тв приведены в работе [МасСогшасК 1982]. Модифицированные матрицы Якоби имеют вид А =Тл0Тл, В =Тв0Тв. (18.62) Здесь 0' и 0в — диагональные матрицы, диагональные элементы которых имеют вид Р~~с =щах~~ З,ли~1+ — — ', О~, (18.63) Рс,1=гпах((З,вь с(+ — „— ' ~, О~, (18.64) где т = шах(414/3, 714/Рг). Значения 14 и Рг в зависимости от рассматриваемого случая можно считать ламинарными или турбулентными.
Правые части уравнений (18.63) и (18.64) могут быть лишь неотрицательными. Данные уравнения являются обобщением условия (18.55) для двумерных систем уравнений. То есть, если соответствующие диагональные элементы Рь1 и Рь 1 больше нуля, в (18.58) и (18.59) включаются неявные в шаги. Если Рь ~ и (или) Рь г равны нулю, явная схема будет л в устойчива и в неявных шагах нет необходимости. Неявные шаги осуществляются в два этапа. На шаге предиктор сначала в результате решения уравнения определяется промежуточная неявная поправка Л41" '. Начиная с линии сетки Л = Л1У и правой границы 1= )хл, уравнение (18.65) используют для расчетов при уменьшающихся значениях 1' до тех пор, пока не будет достигнута левая граница.
Далее процесс повторяется в сторону уменьшающихся л, пока не будет достигнута нижняя граница. Из сопоставления уравнений (18.65) и (18.58) следует, что (1 — Ла.„'в ) Лп",", = Лй,','. (18.66) Следовательно, Лй'*„' определяется уравнением (!+ — В ~Лй'"'е =Лс)"'е+ — „В,Л41'*'л',,(=%). (18.67) Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения Уравнение (18.67) используется начиная с линии сетки 1= Л~Х и верхней границы А=Фу в сторону уменьшающихся значений й. Далее процесс повторяется при уменьшающихся значениях 1 до тех пор, пока не будет достигнута левая граница.
Матрицы А~ и Вж в уравнениях (18.65), (18.66) имеют блочную структуру. Поэтому на каждом шаге требуется решать систему уравнений размерности 4зт',4. Однако этого можно избежать, если использовать формулы (18.62). Уравнение (18.67) можно представить в виде (!+ — (Т ) 0 Т ) Лп*'е =%. (18.68) Здесь % означает правую часть уравнения (18.67). Умножая обе части уравнения (18.68) на Тв и выполняя несложные преобразования, получаем Т Ле)*"е~=(!+ — !з ] Т %=У, (18.69) Ье)""! =(Та) 1У. (18.70) Следует отметить, что матрица (Тв) — ' может быть определена аналитически.
Мак-Кормак [МасСогшаск, 1982] отметил, что при программной реализации вычислений по формулам (18.68)— (18.70), заменяющим (18.67), требуется около 28 фортрановских операторов. Аналогичный алгоритм может быть построен для решения (18.65). Описанный алгоритм при применении его к сжимаемым уравнениям Навье — Стокса имеет, как и в случае модельного уравнения (18.49), второй порядок точности по пространственной переменной. Мак-Кормак [МасСогшас(е, 1982] использовал описанный метод для расчета отрывного течения, обусловленного взаимодействием скачка с пограничным слоем. При образовании модифицированных матриц Якоби Ам и В~ вязкие члены учитываются лишь приближенно.
Поэтому метод работает лучше при определении стационарных, чем нестациоиарных решений. При расчете трансзвуковых течений около агродинамических профилей под углом атаки [Когг(ц!!а, МасСогшас)т, 1982] обнаружено, что если использовать большие шаги по времени, необходимо в явную и неявную части (18.58) и (18.59) включать численную диссипацию. Из сравнения известных значений времени счета следует, что неявный алгоритм (18.58), (18.59) требует для расчета одной точки примерно столько же времени, сколько и блочно-трехдиагональный алгоритм, который будет рассмотрен в п. 18.3.2. Однако преимуществом схемы Мак-Кормака является то, что для 491 $18.3. Неявные схемы многих точек сетки явный алгоритм, лежащий в основе схемы, является устойчивым.
Поэтому для многих задач общая эффективность неявного алгоритма Мак-Кормака оказывается более высокой. Ханг и Кордулла (Нппд, КогдиПа, 1984] использовали неявную схему Мак-Кормака для решения уравнений тонкого слоя 7 8 сь 1 -4 -3 -2 -1 О л7'и Рис. 18.4. Давление на плоскости вдоль линия симметрии ((Нппи, Когдп!!а, 1984]; печатается с разрешения А!АА). (18.31).
Они применили пространственную дискретизацию по методу конечных объемов и одномерное расщепление, эквивалентное описанному в п. 18.2.1. Рассчитывалось сверхзвуковое течение около затупленного вертикального стабилизатора, расположенного на пластине при М = 2.95. Число Рейнольдса, рассчитанное по скорости набегающего потока и диаметру стабилизатора, равно 0.8рс, 10а. Для учета турбулентных эффектов использовалась алгебраическая модель турбулентной вязкости Болдуина — Ломакса (18.17) — (18.21). Уравнения решались в обобщенных координатах на неравномерной С-сетке с 40, 32 и Гл.
18. Сжимаемые вязкие течения 492 32 точками в окружном, радиальном и вертикальном направлениях соответственно. Рассчитанное распределение давления (рис. 18.4) очень хорошо совпадает с экспериментальными данными [Ро!1!пд, Воддопо(1, 1982]. Первое увеличение давления связано с вихрем, ось которого расположена в точке х/О ж — 0.75. Второе увеличение давления связано с прохождением искривленной ударной волны и торможением в точке торможения х/О = О. Неявная схема Мак-Кормака [МасСоггпасК 1982] весьма эффективна, если на границе определены условия Дирихле, но двухдиагональный метод решения непригоден при других типах граничных условий.
Поэтому Мак-Кормак [МасСогшасК 1985] предложил заменить двухдиагональный метод итерационным методом прямых Гаусса — Зейделя ($ 6.3) или методом Ньютона ($ 6.1). При этом, чтобы сделать систему (18.57) с диагональным преобладанием, используется расщепление потока [5!едег, Юаггп!пд, 1981]. 18.3.2. Схема Бима — Уорминга Данная схема предшествовала схеме приближенной факторизации (14.104), (14.105), использованной в п.
14.2.8 для решения уравнений Эйлера. Схемы Бима — Уорминга [Веат, вагш!пд, 1978] и Брили — МакДональда [ВН!еу, МсРопа16, 1977] являются схемами приближенной факторизации и тесно связаны со схемами, описанными в 9 8.2 и п. 10.4.2. Для применения схемы Бима — Уорминга к сжимаемым уравнениям Навье — Стокса уравнения (18.6) записываются в виде (18. 71) де)/д1 = ГхНЗ. В КНЯ входят все пространственные производные, т. е. ~НБ= — —,„— —,„= — —,„~à — Г,(9, 9,) — Г,(й, й„Д— дн дб д ~ е е — — [б' — б;(а, й„) — б,"(Ч, йи)1, (18.72) В (18.72) невязкие потоки Гг и б' совпадают с Г и б, определяемыми уравнениями (14.95).
Другие слагаемые Г1, Гз, б~ и бт' связаны с вязкими членами в (18.7). Эти члены получаются в результате подстановки выражений (18.9) и (18.10) в (18.7) и группировки их таким образом, что Г", и б", содержат производные по х, а Г," и бе — по у. 4 18.3. Неявные схемы 493 В результате применения трехслойной схемы (п. 8.2.3) к уравнению (18.71) можно получить (1+ а) Лал — ада" = Ж (й РСНВл + (! — 8) КН8"), (!8 73) где дал-~-! — ал-~-1 ал н дал ал ал — ! Параметры а и 8 выбираются так, чтобы обеспечить требуемую точность и устойчивость; и эквивалентно у в (8.26); КН8л+' — НЕЛИНЕйНая фуНКцИя а, а, И а„.
В рЕЗуЛЬтатЕ ЛИНЕаризации, аналогичной (14.101), (14.102), относительно п-го временнбго слоя имеем мН8"" = мН8" + ( — ',"' ) Ла"" + ( — ', ' ) Ла. + + ( ) Дан+ ... (18.74) или — — (В Ла — чда — Лб', "' — 8 да„"' ) . (18.75) В (!8.75) А и  — невязкие якобианы (14.99) и дн", дк~~ доле до~я Р= — ', К= — ~, Я= — ~, 8= — ~. дя ' дях' дя ' дяя Уравнение (18.75) можно упростить, если испольэовать равенство 1(Д л+1 (1(л ле~) (х Дал.н и аналогично для 8да„~~. Члены ЛРе' ~~ и Лбр "~~ приводят к появлению смешанных производных при подстановке (18.75) в (18.73).
Этими членами легче оперировать, если заметить, что ЛРе'"+'=ЛРе'л+ 0(ДГ ), Дбб" =Дбб" + 0(лг ). (18.76) Таким образом, с точностью до второго порядка неявные поправки Ре и б1 могут быть заменены соответствующими известными поправками с предыдущего временибго шага. В работе [Веат, багги(пд, 1978] отмечается, что применение (18.76) к модельному уравнению (18.49) не нарушает безусловной линейной устойчивости рассматриваемого алгоритма.
494 Гл. !8. Сжимаемые вязкие течения Подстановка (18.75) и (18.76) в уравнение (18.73) позволяет получить линейную относительно Лг!""' систему уравнений Ы ПН$в (!8.77) Аналитические выражения для — Р+ ʄ— !1+ 8„, К и 8 получены Бимом и Уормингом. Значение р' в (18.77) при решении нестационарных задач полагается равным р, поскольку при р= =44+0.5 схема имеет второй порядок точности по времени. Однако при решении методом установления (9 6.4) стационарных задач для сокращения числа операций целесообразно использовать схему первого порядка по времени и положить 8' = О. Точность схемы (18.77) по пространству зависит от используемой дискретизации; Бим и Уорминг рекомендуют использовать центральные разности второго порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
