Fletcher-2-rus (1185919), страница 90
Текст из файла (страница 90)
на рис. 18.7. Данные результаты получены на экспоненциально сгущающейся сетке с 48 узлами в направлении оси цилиндра, с 20 узламн в радиальном направлении н с 12 узлами в окружном. Предполагается симметрия относительно вертикальной плоскости, проходящей через ось полусферического цилиндра.
На сферической сетке использовалось 30 точек в осевом и радиальном направлениях и от 12 до 18 в окружном. Это довольно гру- образующееся на стенке, может быть представлено в виде + Сайа+1 0" (18.133) Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения :512 бая сетка, и для частичной компенсации решение, приведенное иа рис. 18.7, получено при помощи пятиточечиых разностей четвертого порядка для коивективиых членов в правой части уравнения (18.124).
При р =1 алгоритм остается безусловно устойчивым, при р = 0.5 алгоритм безусловно неустойчив. Численное решение [Рп!Иагп, 8!епег, 1980[ хорошо согласуется с экспериментальными данными [Нз!е)г, 1976[, за исключеиием лишь того, что в расчетах отрыв (точка 5 иа рис. 18.7) иа подветренной стороне вдоль оси симметрии возникает иесколько раньше. Точка Я соответствует рассчитанной точкеприсоединения потока, Сложная поперечная отрывная картина течения (здесь ие показана) также хорошо рассчитывается описанным алгоритмом.
Данный пример демонстрирует работоспособиость метода и эффективиость приближения тонкого слоя даже при наличии отрыва в направлении потока. .18.4.2. Приближенная факторизация метода конечных элементов тде Р(/х Г = — $„р+ риУ, + (4$„„/3+ $уу) и!г, + Дху/3) о1г,, (18.138) $ур + роУ, + ($,„+ 45уу/3) орх + Я,у/3) и1х, Р)' х б = — Ч,Р+ Ри)т, + (4Ч,„/3+ Чуу) и1г, + (Ч„у/3) о1х,, (18.139) Чур+ роГ, + (Ч„„+ 4Чуу/3) о1г, + (Ч.у/3) и1х, 0 (Кг + К„') р/Ке (4Ь'/3 + В~ ) и1х, + В $ (о/3) 1хх (5г + 4вг/3) о1г, + 8„$ (и/3) 1гх (18.! 40) 20 Я„Ч, + $уЧу) Р/Ке З = г 2 (4вехЧх/3 + евуЧу) и!хе + (хвхЧу + ееуЧх) (о/3) !ге, (18. 141) 2 ($хЧх + 45у Чу/3) о 1хх + (яуЧх + Чуьх) (и/3) !ге Траисзвуковые вязкие течения достаточно точно описываются уравнениями (18.80) — (18.82).
В обобщенных координатах (18.80) принимает вид — + — + — — — — — — —, = О, (18.136) дя дй дп дгй дг8 дгт дт д$ дч д$г дади дт1г 4 18лн Обобнтенные координаты 31' 6(ч„'+ Ч'„) р/йе (4т)'„/3 + т)'„) и)т, + т)„т)„(о/3) )т,, (18.142) (т)'„' + 4т)„'/3) о)т, + т),т)р. (и/3) )а, 1 Т=— У Можно отметить, что уравнение (18.80) соответствует (!2.54), а (!8.36) соответствует (12.61). Как и для уравнения (18.80) в декартовых координатах, дискретизацию уравнения (! 8.! 36) можно провести безотносительно к конкретному виду Г и т. д. Таким образом, используя, как и в (18.83), групповую формулировку с билинейной интерполяцией на прямоугольных элементах, можно получить Р= Е У (х, й')Г (18.143) Применяя метод Галеркина с конечными элементами (гл.
5) к уравнению (18.136), после подстановки выражений, подобных (18.143), получим Структура данного уравнения эквивалентна структуре уравне- ния (18.84). Направленные массовые и разностные операторы имеют вид 3 ' 81' М" ьб ' 3 И ( — 1, О, 1) (1, О, — 1) $= А| ' ч= 2ЛЧ С„= — ~1, — (1+,~ ),~ ~/ЛР, ет ~ 1 (1 ! 1 ) 11/6~2 (18.145) Операторы (18.145) соответствуют неоднородной в пространстве (в, т)) сетке (рис. 18.8).
Это сделано для того, чтобы уменьшить экстремальные значения $, и т. д. по сравнению с их значениями в случае однородной прямоугольной сетки (ге=го= 1) в пространстве ($, т)). Двухшаговый блочно-трехдиагональный 33 К. Флетчер, т. 2 МеЭМндй/д1+ М„Э1,1Г+ М1Э1,чГ— — Мч Экий — ЕВ Э Ечй — М! Э 1,„чТ =О. (18.144) 5 18»И Обобщенные координаты Для течения около несимметричной задней кромки (рис.
18.9) применение обобщенных координат позволяет построить расчетную область, в которой задняя кромка конечной толщины превращается в плоскую пластину нулевой толщины, т. е. в расчетной области точка 0 совпадает с точкой В. Решение по описанному выше алгоритму было получено [ЯПп1чаз, Р!е1с(тег, 1986] при М =0.4 и Ке= 26 Х 10'.
Турбулентные эффекты учитывались при помощи алгебраической Е Г Рис. 18тк Асимметричная задняя кромка; течение слева направо. модели турбулентной вязкости (18.12) — (18.16). Алгоритм использовался как метод установления для определения стационарного решения. Для распределения скоростей вблизи и за задней кромкой сходимость считалась достигнутой, если среднеквадратичное значение (КНЬ)» в (18.148) становилось меньше 10-'. На сетке 41(х, $) на 82(у, т1) для этого понадобилось около 1000 шагов по времени. На твердой поверхности ПАСВ обе компоненты скорости полагались равными нулю. Вблизи твердой поверхности для определения изменения нормальной и тангенциальной компонент скорости использовались пристенные функции (п. 18.!.1).
На входной поверхности (АВ и Е0 на рис. 18.9) вдали от тела и = 1.0 и о =О. Вблизи тела использовался степенной профиль с показателем 1/7 в соответствии с локальными числами Рейнольдса. Давление на входной поверхности определялось через решение во внутренней области при помощи дискретного представления характеристического соотношения — — ра — = О. дк дк (18.160) На свободных границах Лб и ЕЕ: и=1.0, о=О. Давление определялось через решение внутри области из дискретного 33» Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения 516 представления характеристического соотношения др до — — р — =О.
ду ду На выходной границе (зесз на рис. 18.9) ди до — =О, — =О, дк ' дз — — ра — +0.3(р — р )=О. др ди д1 д1 (18.151) (18. 152) Уравнение (18.152) является граничным условием без отражений, что способствует ускорению сходимости к стационарному состоянию (п. 14.2.8). В результатах, представленных на рис. 18.!О, х измеряется от задней кромки (точка С на рис. 18.9). Численные результаты, П Е данный расчет 1К эксперимент !С~еатт ет аь 1980! расчет !С~еатт ет ан 1980! Х <СМ1 -2.5 -0.4 0.15 0.7 2.5 6.4 е Е тэ Нзое Рис.
18.10. Распределение скорости за задней кромкой. полученные на сетке 41(х) на 82(у), хорошо согласуются с экспериментальными данными [С!еагу е1 а!н 1980]. Численные результаты [С1еагу е! а!н 1980] получены конечно-разностным методом при помощи модели турбулентности, основанной на двух $ !втв Численная днссипаиия ш7 уравнениях, на сетке 60(х) на !00(у). Однако более позднее конечно-разностное решение [Нога!тап, 1983) на сетке 79 на 82 с модифицированной моделью турбулентности лучше совпадает с экспериментальными данными.
й 18.5. Численная дисснпация и (х) = 2,' а ехр(ипх), (18.153) где пг — волновое число (3 9.2), а — амплитуда т-й компоненты. Результат соответствующего спектрального анализа, т. е. зависимость амплитуды от волнового числа, приведен на рис. 18.11(Ь). Очевидно, что большие амплитуды соответствуют малым волновым числам, т. е. большим масштабам длины. Малые, но конечные амплитуды связаны с большими волновыми числами, т. е. малыми масштабами длины. Легко видеть, что в представлении разрывного распределения скорости, образованного ударной волной, имеются все масштабы.
Решения, полученные на конечной сетке, могут представлять лишь конечное число членов дискретного ряда Фурье (18.153). На сетке с й!Х равномерно распределенными точками в реше- В $ 9.2 ошибка аппроксимации, возникающая при замене континуальных уравнений разностными, рассматривалась как источник численной диссипации и дисперсии. Было показано, что и то, и другое нежелательны. Особенно вредна численная диссипация, если она становится по величине сравнимой или даже больше физической диссипации.
Однако в 3 9.2 также отмечено, что диссипация, численная или физическая, приводит к быстрому затуханию коротких волн и гораздо слабее влияет на длинные волны. Данное свойство позволяет использовать численную диссипацию при расчетах течений с большими числами Рейнольдса или с ударными волнами. При исследовании поведения течения часто полезно провести разложение Фурье для физических переменных, например компонент скорости или давления, приписав им амплитуды, связан. ные с различными волновыми числами.
Разложение Фурье может быть проведено в зависимости от конкретного случая по времени или пространству. Волновое число можно интерпретировать как величину, обратную масштабу времени или длины. Мгновенное распределение скорости при переходе через скачок, полученное, например, из решения уравнений Эйлера, приведено на рис. 18.11(а). Фурье-представление и(х) можно записать в виде Гл. 18.
Сжимаемые вязкие теченив 518 нии, представляемом рядом (18.153), можно получить лишь члены с волновыми числами до У =(А(Х вЂ” 1)/2. Очевидно, ударная волна «содержит» волновые числа, большие й(, с конечной амплитудой. Можно напомнить (п. 10.1.1), что увеличение крутизны профилей и образование разрывов или <скачков» при отсутствии диссипации связано с нелинейными коивективными членами. (а 1 п(хх н(х)=8пмехр(зпзх) м Рнс. 18.11. Спектральный анализ разрывной функции, (а) Профиль скорости; (Ь) спектральное представление.
Однако, если рассмотреть представление решения и в виде ряда Фурье, конвективный член иди/дх образует произведение у л — ью ~ и е ~~~ Ызд из которого следует появление волновых чисел лз — 1 и лз + !. Таким образом, дискретное иестационарное решение, содержащее волновые числа до пз = М на каждом шаге по времени, образует большие волновые числа. Амплитуды волновых чисел больше А( добавляются к волновым числам меньше Ж. Вновь построенное решение показывает, что в решении появляется ошибка, связанная с побочным эффектом (а!!аз!пд). Если этот процесс ие контролируется, то может возникнуть нелинейная неустойчивость.
Схематически данный процесс изображен на рис. 18.12. Вол- новые числа больше А( (совпадаюшего с предельным волновым числом т = и/Лх) называются подсеточнылзи волновыми числами. Численная диссипация умышленно введена так, чтобы вызвать быстрое затухание амплитуды волновых чисел, близких и по смыслу больших предельного волнового числа. Это препятствует их добавлению к амплитудам, соответствуюшим меньшим волновым числам. Следует отметить, что для больших чисел Рейнольдса турбулентная вязкость обычно приводит й 18.5.
Численная диссипация 819 к затуханию волн лишь со значительно большими волновыми числами. Для течений со скачками численная диссипация вводится локально, т. е. на скачке. Это может быть сделано явно, как в п. 14.2.7. Однако схемы ограничения потока, описанные в л. 14.2.б и 18.5.2, можно интерпретировать как обычные (центральные) разностные схемы с добавкой численной диссипации. 1а,„1 И=те бх Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
