Fletcher-2-rus (1185919), страница 91
Текст из файла (страница 91)
18.12. Численная диссипация подсеточных амплитуд. Для течений с большими числами Рейнольдса вдали от скачков уровень численной диссипации, необходимой для контроля побочного эффекта, намного меньше, чем для скачков, в основном потому, что в этом случае амплитуды, эквивалентные изображенным на рис. 18.11, много меньше.
В областях, где существенна физическая диссипация, т. е. в сдвиговых слоях, числен'ная диссипация должна быть достаточно мала, так чтобы она не нарушала баланса между другими членами уравнений, т. е. численная диссипация не должна влиять на решение. 18.5.1. Течения с большими числами Рейнольдса Для течений с большими числами Рейнольдса около неподвижных тел вязкие и турбулентные эффекты влияют на решение лишь вблизи тела.
Турбулентность, в частности через модели турбулентной вязкости (п. 18.1.!), обеспечивает прямой физический механизм диссипации в уравнениях импульса. Ламинарные вязкие эффекты пренебрежимо малы по сравнению с турбулентными. Для разрешения больших градиентов скорости требуются мелкие сетки, и величина физической диссипации оказывается достаточной для контроля нелинейной неустойчивости, представленной на рис.
18.12. 820 Гж 18. Сжимаемые вязкие течения вида (18.154) Этот член приводит к появлению ошибки четвертого порядка. Он обеспечивает сглаживание значений г1, причем это сглаживание пропорционально !дар/дха!. Если осцилляции р увеличиваются, увеличивается и сглаживание е1. Поскольку р через уравнение (18.8) связано с т1, поле давления также будет сглаживаться. При использовании явной схемы Мак-Кормака (п.
18.2.1) из условия устойчивости следует, что 0 ( ек ( 0.5. Мак-Кормак и Болдуин добавили член (18.154) в оператор Р в схеме расщепления (18.44) при исследовании взаимодействия ударной волны с пограничным слоем. В более общем случае к правой части уравнения (18.6) добавляется член д4 д'ч аез (Ы д„, + (ззу) д д /- (18.155) На однородной сетке член (Лх)'д49/дх' имеет вид а дя (Лх) —, = пз з, а — 4а~ ~ а + бпь а — 4еВчь а + й~ез, а (18.156) и аналогично для (Лу) 4д'е(/дул. В обобщенных координатах численная диссипация такого типа включалась в схему приближенной факторизации Стегера (18.122) — (18.!24).
К правой части уравнения (18.117) добавлялся член — аа/-' Нур1)з + (Ч,б.)Ч/й. (18.157) Однако вдали от тела турбулентная вязкость, а, следовательно, и физическая диссипация, пренебрежимо малы. В этой области решение определяется балансом между конвективными членами и градиентом давления. Для контроля нелинейной неустойчивости необходимо добавить численную диссипацию.
Можно напомнить (п. 17.1.1), что при использовании симметричных разностей для градиентов давления и одних и тех же точек сетки для представления всех зависимых переменных в получаемом решении для давления появляются осцилляции. Поскольку в сжимаемых уравнениях Навье — Стокса нет члена, обеспечивающего прямую диссипацию давления, появления осцилляций в давлении можно ожидать и вдали от тела, если физическая диссипация, действующая через поле скоростей, окажется недостаточной. Мак-Кормак и Болдуин [МасСогшасК Ва!йч!п, !975] пытались осуществить контроль колебаний давления путем добавления в правую часть уравнения (18.6) диссипативного члена $18.8. Численная диссипация 821 Можно напомнить (п. 9.1.2), что производные четвертого порядка в правой части уравнения (18.6) приводят к положительной диссипации, если коэффициент при них меньше нуля.
Диссипация четвертого порядка (18.155) использовалась также в схеме искусственной сжимаемости (17.51) для исследования несжимаемых течений, в маршевой по пространству схеме (16.145) — для расчета сверхзвуковых вязких течений н для нахождения стационарных решений уравнений Эйлера (п. 14.2.8). 18.5.2.
Ударные волны — + — =О, дп ду (р) ду дх (18.158) и и(р)=ду(р)/др. ТУР-схема (14.88), (14.89) может быть представлена в виде Р =Р— ~„Ьнуа уу-П) (18.159) где у у+п2 = 0.5 (уу + у у+!) — 0 5 [т' (и) С[у+ нясъуу адуе†— 0.5о [1 — ~ (г)]у+дай)уел, (18.160) Если в расчетной области имеются ударные волны, численной диссипации, описанной в п.
18.5.1, недостаточно для предотвращения дисперсионных осцилляций вблизи скачка †областях преимущественно невязкого течения. Вблизи твердой поверхности физические диссипативные механизмы уменьшают большие градиенты, связанные со скачком, и, если только скачок не слишком сильный, введения дополнительной численной диссипации ие требуется. Явное введение численной диссипации (искусственной вязкости) для сглаживания профилей скачков описано в п. !4.2.3.
Это может привести к существенному размазыванию скачка (рис. 14.18). Алгоритмы РСР и схемы Т1УР (п. 14.2.6) можно рассматривать как схемы, вводящие искусственную вязкость до тех пор, пока профиль скачка не станет монотонным, а затем выборочно убирающие численную диссипацию для получения более резкого профиля скачка.
В данном разделе типичная схема Т1УР будет рассмотрена как трехточечная центральноразностная схема (второго порядка) с добавлением численной диссипации. Такое рассмотрение позволяет построить более эффективные неявные алгоритмы расчета стационарных сжимаемых турбулентных течений со скачками. Нелинейный скалярный закон сохранения можно записать в форме Гя.
18. Сжимаемые вязкие течения 622 р/ + (т ах (~/+1/2 //-//2) р/ (1 и) дх (//+//2 // — //2) (18.161) где р играет ту же роль, что и в уравнении (18.73). Формула (!8.160) заменяется следующим выражением: и — — 05(//+)/+/) — 05!и/~//т((! — ф(г)]/ //,бр/,/т (18.162) Оказалось, что для того чтобы схема (18.161) была схемой ТУР (т. е. удовлетворяла условию (14.81) ), должно выполняться условие типа КФЛ /т/ 2 1///.~-//21 д ( з(! 2) (18.163) При расчете стационарных задач рекомендуется всхеме (18.161) использовать значение 8 = 1.
При таком выборе 6 условие (18.163) выполняется при любом Лд Чтобы иметь возможность использовать метод решения систем уравнений с трехдиагональной матрицей (п. 6.2.3), необходимо с целью получения линейной относительно /!р" /./ системы линеаризовать (18.161) относительно временнбго слоя и. В результате линеаризации получается трехдиагональная система уравнений В/Ьр/+/ + В/Ьр/+' + В/Лр/+', = — — (~/~+//т — ~~/,/т), (! 8.164) С/+//т=и/+//тЫ/Ьх, п=з1кпС/+//т и ф(г) — ограничитель. Возможны различные выборы ф(г); один из них определяется формулой (14.86). Если (18.160) и эквивалентное выражение для )/ //т подставить в уравнение (18.159), то окажется, что члены вида 0.5 (1/+ ~/„.,) образуют трехточечную центрально-разностную аппроксимацию производной д//дх. Остальные члены (18.160) при подстановке в (18.159) образуют численную диссипацию.
Уравнение (18.159) является явным алгоритмом, пригодным для расчета нестационарных задач. Для решения задач, описываемых стационарными уравнениями Эйлера или Навье— Стокса, желательно использовать неявные алгоритмы, а для численного представления потоков целесообразно применять формулы, не зависящие от шага по времени. В этом случае стационарное решение не будет зависеть от шага по времени.
Это осушествлено в работе ['т'ее, 1987), в которой соотношение (18.159) заменено уравнением 323 $ 18.3. Численная лиссипания где — + — =О. дч дГ дС дк (18. 166) Характеристические переменные получаются в результате замены (18.166) уравнением д! +Ад —— О, (18. 167) где А =дР/дй.
Элементы матрицы Якоби А для эквивалентной двумерной задачи определяются формулой (14.99). Матрица А разлагается на множители так же, как (18.60): А = Тл ' ЛлТл. (!8.168) Диагональная матрица Лл составлена из собственных чисел матрицы А, т. е. с(1ацЛл — — (и, и+ а, и — а). Эквивалентный (18.164), (18.165) неявный алгоритм для решения уравнения (18.166) имеет вид В)ЛЧ)~[+ В!~ЛЧ1+'+ В~!Лс)!е~[= — — (Р~.,це — Р! це), (18.169) В!=05~ а ( — и! 1 — Е! ця), В!=1+055 а (Е! ця+Е!иця), ас е ~м (18.165) з д! В!= О.бр ~,„(и!~~ — Е(е ця) Е! ц,— — [иуэце![1 — ф(г)!!эц,. Из-за конкретного вида коэффициентов Вь Вь В!схема (18.164) 1 2 а является пятиточечной, хотя и трехдиагональной относительно Лр. Для решения методом установления чисто стационарных задач более экономно [Уее, 1987[ опустить ограничитель в выражении для Е в (18.165).
Таким образом, Егэ ця — — [и,э ця[. Однако ограничитель сохраняется в правой части уравнения (18.164), в результате чего схема имеет второй порядок точности по пространству. Обобщение схемы ТтР на системы уравнений, подобные уравнениям Эйлера, осуществляется путем замены уравнений для отдельных компонент системой характеристических соотношений (см. формулы (14.9!), (14.92) (и. 14.2.6) ). Описанный выше алгоритм применяется к каждой характеристической переменной. После суммирования вкладов отдельных компонент вместо (18.164) получается блочно-трехдиагоиальная система. Все сказанное выше можно проиллюстрировать на примере суммарной системы уравнений Эйлера (14.43) 524 Гл. !8. Сжимаемые вязкие течения где В((=0511 — „( — А(-( — Е(-(и) В((=1+056 д (Е(-ца+Е(+цт) (18.170) з д( а В( = 0.5~ — (А(+( — Е(е ца), Г(+цв = 0 5(Г(+ Г(+~ — Тл.
(е((еФ(+ца) (18 17!) Член Ф(ч ца эквивалентен второму члену в правой части уравнения (18.162) и состоит из вкладов ф(э не отдельных ! (1-х) характеристик ф;+(м=] Хл,(еця] [1 — ф (г)](ецт Тл,(< ~(а(й(т( — а(). (18.172) В формулах (18.170) Е определяется выражением Е(еца = [Тл(2Тл ](я 02, (18. 173) где б!вам(ец =[]Хл ](1 ф (г))(ец (18174) Уравнение (18.169) блочно-трехдиагональное, и для его решения применим алгоритм, описанный в п. 6.2.5. Если выражение (18.171) подставить в (18.!69), то пространственную дискретизацию можно трактовать как центрально-разностную для потока Г плюс дополнительная численная диссипация, составленная из отдельных характеристических переменных. Путем введения приближенной факторизации (см. п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
