Fletcher-2-rus (1185919), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Уравнение (18.77) линейное, но глобально связанное. С точностью до второго порядка по времени левая часть (!8.77) может быть приближенно факторизована аналогично тому, как это сделано при замене уравнения (14.103) уравнением (14.104). Приближенная факторизация приводит к двухшаговому алгоритму, аналогичному (14.105) и (!4.!06): ~! + (Лх (А Р + Кк) У.хай 1 ~ Лй' = ЛГ("', (18.78) ~! +, (Т.д ( — Я+ 8д)" — 7-дд8") ~ Лй"" = Л4('. (18.79) В уравнениях (18.78) и (18.79) 7.
14"!)Л41* означает Л„.(К"Лг!') и т. д., Лг! — вектор, полученный в результате вычисления правой части уравнения (18.77). Если Ь„, 1,„„7.д и Т.дд — трехточечные центрально-разиостные операторы, как в (9.85), система (18.78) является (4 Х 4) -блочио-трехдиагоиальной вдоль каждой линии сетки в направлении х, а (18.79) есть (4к',4)-блочно-трехдиагональная система вдоль каждой линии сетки в направлении у. В п. 6.2.5 описан алгоритм решения таких систем.
В работе !Веат, вагш!пп, 1978! отмечается, что если пренебречь зависимостью !к и й от г), то — Р+ К,=О и — !1+Яд=0. Уравнения (18.78) и (18.79) при этом упрощаются. Данное свойство можно использовать в методе установления, поскольку 5 !8.3. Неявные схемы 495 стационарное решение не зависит от левых частей уравнений (18.78), (18.79).
При больших числах Рейнольдса или при наличии слабых скачков рекомендуется добавить численную диссипацию более высокого (обычно четвертого) порядка (п. 18.5.1). Алгоритм Бима — Уорминга применим для решения чисто гиперболических уравнений [Веаш, вагш!пд, 1976[, к которым относятся уравнения Эйлера (п. 14.2.8). Однако оказывается, что в трехмерном гиперболическом случае алгоритм лишь условно устойчив [)агпезоп, Тцт1се1, 1981[. Аналогичный безытерационный алгоритм приближенной факторизации для сжимаемых уравнений Навье — Стокса предложен Брили и Мак-Дональдом [Вг!1еу, МсОопа!б, 1977]. Для вязких течений с большими числами Рейнольдса применение неявных алгоритмов эквивалентно методу установления.
поскольку можно использовать числа Куранта много больше единицы. В двумерном случае числа Куранта равны ([и[+ а)Л1/Лх и ([о[+ а)Л1/Лу. Часто оказывается, что стационарное решение получается за меньшее число шагов по времени, если Л! берется порядка 0(10). Слишком большие значения приводят к тому, что ошибки, связанные с приближенной факторизацией, нарушают сходимость.
Слишком малые шаги по времени не нарушают сходимости, но делают ее неоправданно медленной. 18.8.8. Групповой метод конечных элементов Для трансзвуковых условий р и й примерно постоянны и уравнение энергии может быть заменено алгебраическим уравнением (18.30). В результате удобнее заменить уравнения (18.6) — (18.8) системой из трех уравнений дч 1 дт 1 дп дм [ да 1 дт (!880) дг дх ду дхе дх ду дуе ' где Р' и ея' — невязкие составляюшие г и б в (!8.7).
При соответствующем обезразмеривании различные векторы в уравнении (!8.80) имеют вид а = (р ри ро)т Рт = (ри, рие+ р рис)т гет ((,о рис рве 1 р)т Р ~ У !"" 1е о ~ (!8 8!) 8=(0, 1З, +" ~, Т=(8р, !е,и, — "' В записанных выражениях эффективная вязкость =1/!(е+ 1хт. Такая форма уравнений пригодна для ламинар- 496 Гл. 1В.
Сжимаемые вязкие течения ных (ит=0) и турбулентных течений. Однако члены типа ид'рт/ду +(ди/ду) (дрт/ду) в уравнениях х- и у-компонент импульса опущены. Эти члены существенны лишь в непосредственной близости к твердой поверхности, где решение обычно определяется через пристенные функции (18.23). Параметр 0 в К и Т вЂ” диссипативный член, введенный для устойчивости дискретных уравнений в случае течений с большими числами Ке. В уравнениях (18.80), (18.8!) четыре зависимые переменные и, и, р и р.
Для замыкания системы используется уравнение (18.30), которое в безразмерной форме имеет вид 1+ уМ' р = р(1+ 05(у — 1) М' (! — (из+ ие)] ), (1882) где М вЂ” число Маха набегающего потока, у — отношение удельных теплоемкостей. Групповой метод конечных элементов ($ 10.3) применяется к системе (18.80) путем введения приближенных или пробных решений для групп в (18.81). Например, при билинейной интерполяции на прямоугольных элементах ($5.3) 4 Гт= 2 ф (х, у)Гт, (18.83) где !' — билинейные интерполирующие функции (5.59), а Г'— узловые значения Г'. Применение метода Галеркина с конечными элементами к уравнениям (18.80), (!8.81) позволяет получить следующую полудискретную форму: М.ЭМ,— „+М,ЭьхГ'+ МхЭ7-уб'= =МуЭ/-ххВ+ ~.хЭ/.у8+ МхЭАууТ (18 84) Пространственные массовые и разностные операторы определяются формулами (17.115).
Для интегрирования (18.84) по времени можно использовать неявный трехслойный алгоритм, аналогичный (17,120), (17.121). В результате получается двухшаговый алгоритм (.М !+ Л((,7-" з ~. ("))(Лч = ЯН8)'+ МхЭМ„Ле!", (!8,85) (Му — ! + Л! (Ьуу — — Ьу (В))) Лйи+' = ЛП*. (18,86) Поскольку е1, Г и т, д.— векторы с тремя компонентами, уравнения (18.85), (!8.86) образуют (3 и', 3)-блочно-трехдиагональные системы соответственно вдоль х- и у-линий сетки. Для $18.3.
Неявные схемы 497 решения таких систем можно использовать алгоритм, описанный в п. 6.2.5. Параметры а и р такие же, как в (18.73), и аналогичны у и р в (17.116). Матрицы Якоби А = дГт/де( и В = = дб'/де( являются матрицами размера 3 Х 3 и эквивалентны матрицам А и В, определяемым формулами (!4.99). Присоединенная правая часть (ННЗ)' в (18.85) определяется выражением (й Н8)' = М„Э Е„„(( + Е, Э ~~8 + М„Э ЬррТ вЂ” М„Э Е„Р'— — Мл Э 1.рб'+ Ь„Э Ьр (д8/де!) Ле(", (18,87) Последний член в (КН5)л необходим для явного выражения правой части.
Таким же образом использовался член ЬРе в (18.76). Обычно это не приводит к существенному уменьшению максимального шага по времени, при котором может быть получено устойчивое решение. При а = 0.5 и р = 1.0 решения, получаемые по формулам (18.85) и (18.86), имеют второй порядок по времени и пространству. На однородной сетке наличие массовых операторов имеет сглаживающий эффект и позволяет получить пространственную дискретизацию четвертого порядка невязких членов дГ'/дх и дб'/ду. Описанный алгоритм использовался для расчета дозвукового (М = 0.4) обтекания уступа (рис.
!7.14). Рассматривались ламинарные и турбулентные течения, Для турбулентных течений вблизи твердой поверхности применялась алгебраическая модель турбулентной вязкости (18.12), основанная иа длине перемешивания. Вне пограничного слоя и в следе использовалась модифицированная модель Клаузера с релаксацией вверх по потоку (18.13) — (18.16). В отрывной зоне за уступом вместо (18.!3) принималось следующее выражение для турбулентной вязкости [ьте(хчег1, !9761; 1хг — — 0.0168ри,б' ! ~ 1 ьтг. ~лт Здесь у измеряется от стенки (Ст9 на рнс.
17.14), Рг — фактор затухания ван Дриста, Пг = 1 — ехр( — уе/26), у+ определяется по формуле (18.22). В данной задаче распределение давления по уступу различное в случае ламинарного и турбулентного течений. Типичные результаты расчетов приведены на рис. !8.5. Коэффициент давления С =(р — р т/(0.5р(У), йЕ„=(/ Н/р, где Н вЂ” высота уступа. Результаты, приведенные на рис. 18.5, получены на сетке 34 Х 42. По направлению у сетка была 32 К.
Флетчер, т. в Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения 498 0.3 о 0.1 -а!Б 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 !2.00 14.00 к/й Рис. 18.6. Распределение давления за ступенькой, М = 0.40. ттнбучангнаете енне, нен =23сао !8.0 а н ф 14. 9 !ОР 1 8 3 63 Б 2,0 0.00 4.00 8.00 12.00 16.00 20.00 24.00 /н ' Рис. 18.6. Распределение максимальных сдвиговых напряжений за ступевькой, М = 0.40. 4 !8.3. Неявные схемы однородной; в направлении х использовалась сетка, увеличивающаяся (г„ = 1.2) вверх и вниз по потоку от стенки уступа. Соответствующие распределения максимальных сдвиговых напряжений для турбулентного течения приведены на рис. 18.6.
Распределение сдвиговых напряжений качественно хорошо согласуется с экспериментальными данными (Еа1оп, 1981]. Более подробно детали метода и результаты применения описаны в работе (Ьг(п(чаз, Р)е!серег, 1984). 18.3.4. Приближенная И3-факторизация (18.89) позволяет построить следующий неявный алгоритм: (1+ 8 Л1 (1..А — уЛ.„„)' бг("," = бтНЗ" = Ы ~ — (.„Р!+ р).„„д,"), (18.90) где 1.„, Ьхх — трехточечные центрально-разиостные операторы и А = дг'/дд. В левой части (!8.90) оператор второй 32* При построении неявных схем, основанных на приближенной факторизации (9 8.2), для решения сжимаемых уравнений Навье — Стокса получаются связанные с каждой линией сетки (4 Х 4) -блочно-трехдиагональные системы уравнений, например (18.78) или (18.79).
Если используется алгебраическое уравнение для энергии, размер блоков сокращается до 3 Х 3 (см. уравнения (18.85) и (!8.86)). Однако, как отмечено в п. 6.2.5, число операций в блочном алгоритме Томаса порядка 0(5УМв/3), где М вЂ” порядок блока. Очевидно, что желательно избежать блочно-трехдиагональных систем.
Это достигается в результате построения неявных пространственных операторов на основе односторонних разностных формул. В этом случае возможна приближенная 1ЛЗ-факторизация. Можно поступить и иначе, а именно каждое из приближенно факторизованных уравнений типа (18.78), (18.79) может быть подвергнуто дальнейшей факторизации, в результате которой получается приближенная 1.(3-форма. Однако эта дальнейшая факторизация должна проводиться как можно точнее. Иначе обычно происходит потеря точности по времени, в результате чего в методе установления возрастает число итераций, необходимых для получения стационарного решения. Применение алгоритма приближенной факторизации (п, 8.2.2) к одномерному скалярному уравнению переноса с диффузией — + — =О, где г" = г' — !х —, дч дс дч дс дх М) дх ' Гл. !8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
