Fletcher-2-rus (1185919), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Следовательно, для стационарных течений уравнения (18.6) можно упростить, заменив уравнение энергии алгебраическим соотношением. Это можно сделать следующим образом. Суммарная энтальпия Н =(Е + р)/р. Поэтому стационарное уравнение энергии (18.6), (18.7) может быть записано в виде — „(риН)+ — (ров)= д (и „,+ „„— д,)+ д д д + д (от„„+ ит„„— Яу).
(18.24) д Используя (18.9), (18.10) и соотношение для идеального газа и=с,т+ — ,'(и+ ), (18.25) уравнение (18.24) можно преобразовать к виду + д ~'роН вЂ” (р + р ) д 1=и:НЗ, (18.26) где д т ди 2 дв т д Г дв 2 ди т ЙН8 = — ( 1хо — — — 1хи — ) + — ри — — — 1хо — ) + дх ч ду 3 ду ) ду [, дх 3 дх ) + д И И р )+„~(4 )1„д 1+ + "(-'- — ',)1" В++И ('-+)' + ф Ц1х (1 — — ) + 1хт(1 — 1, )~ и ф 11 . (18.27) $ !В.1. Фнзнческне упрощения 477 Для течений около тел и в однородном потоке при больших числах Рейнольдса вязкие и турбулентные эффекты существенны лишь в тонком слое вблизи тела и в следе.
Из анализа порядков величин различных членов в уравнении (18.27) следует, что только член ау ~~Р(1 Рг1'+!гт[1 Рг )~и д сравним по величине с членами, входящими в уравнения им- пульса и неразрывности, и с левой частью уравнения (18.26). Для чисто ламинарных течений предположение Рг = 1.0 приво- дит к обрашению в нуль выражения (18.28). Для турбулентных течений !гг » р и предположение Рг,=1.0 обращает (!8.28) в нуль. Можно отметить, что для воздуха Рг = 0.7 и Ргг = 0.90, так что малый вклад все же остается.
В областях отрыва член (18.28) является доминирующим и приведенные выше замеча- ния применимы и в этом случае. В невязкой области, т. е. вдали от твердых поверхностей, можно пренебречь всеми членами в правой части уравнения (18.27). Следовательно, для стационарных сверхзвуковых течений (18.26) можно заменить уравнением + д [РРН вЂ” ( Р + Р ) д ~ =О. (18.29) Очевидно, что уравнение (18.29) выполняется при Н =сонэ! или, согласно (18.25), при с 7'+ 0.5(и'+ о') =сопя(, что можно представить в виде т Р— + 0.5 (ие + ое) = У Р + 0.5(уе . (18.30) т Р Уравнение (18.30) является алгебраическим уравнением, связы- ваюшим значения р, р, и и о.
Данная связь заменяет уравнение энергии в системе (!8.6), (18.7). Такой способ описания рас- сматривался в работе [Вг(1еу, МсРопа16, 1977] и использовался Флетчером и Сринивасом [Р!е(серег, Ьг(п)чаэ, 1985[. 18.1.3. Приближение тонкого слоя Как отмечено в п. 18.1.2, при больших числах Рейнольдса вязкие и турбулентные эффекты сушественны лишь вблизи твердой поверхности и в следе. Если в течении нет больших Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения 478 отрывных зон, на основе сравнения порядков величии в направлении, примерно совпадающем с направлением течения, можно пренебречь многими диссипативными членами, т. е.
составляющими т и ('„1 в формулах (18.9) и (18.10), Для трехмерных течений из-за ограничений, связанных с объемом памяти компьюте- (а) м Рис. 18.2. Измельчение сетки у твердой поверхности, (а) Декартовы коорди- наты; (Ь) обобщенные координаты. ров, обычно невозможно построить достаточно мелкую во всех направлениях сетку, на которой бы правильно аппроксимировались все члены трехмерных уравнений, аналогичных уравнениям (18.9) и (18.10).
Эти два свойства (одно — физическое и второе — расчетное) сочетаются в приближении тонкого слоя !Ва!бту(п, 1 оптах, 1978]. Мелкая сетка используется лишь в направлении нормали к твердой поверхности (рис. 18.2). На грубой сетке в направлении, параллельном стенке (направлении к), невозможно правильно представить производные по х, входящие в т и С) в (18.7). Однако на основе сравнения порядков величин эти члены могут быть отброшены. В приближении тонкого слоя уравнения (18.6) и (18.10) принимают вид — + — + — + — =О, дч др~ дб~ дС д( дх ду ду (18.31) где рт (рц рви ! р рыв (Е ! о) и)г б'=(рв, рив, рв'+ р, (Е+ р) )), б'= — (О, т„„, с„„, (тхаи+ т„„о — (,)„")Г. (18.32) 479 4 18.2.
Явные схемы В уравнениях (18.32) "р — (!к+!кг) д 'рр — З (!к+!кг) д З р~ дв 2 Рт 'к дт Яр = — (е+ ср— Ргг ) дд Можно заметить, что при подстановке различных членов б' в (18.31) получаются лишь производные по у, а смешанные производные исключаются. Это облегчает построение неявных схем (п. 18.4.1). Приближение тонкого слоя обычно используется в обобшенных координатах (гл. 12 н п.
18.4.1). Обобщенные координаты для большинства геометрий выбираются таким образом, чтобы физическая диссипация была существенна лишь в одном направлении. Однако для течения вблизи точки пересечения двух стенок следует сохранить диссипативные члены в направлении нормали к обеим стенкам. В приближении тонкого слоя при этом отбрасываются некоторые смешанные производные с порядком величины, равным оставленным членам.
На практике это мало влияет на общую точность решения [Нипц, Котс(и!! а, 1984) . Приближение тонкого слоя для стационарного течения можно ' рассматривать как укороченную форму уравнений Навье— Стокса (гл. 16). По существу то же самое приближение используется при построении пространственного маршевого алгоритма для расчета вязкого сверхзвукового течения (п. 16.3.1). Однако в приближении тонкого слоя не требуется, чтобы и было больше нуля. Вместо этого в приближении тонкого слоя для определения стационарного решения используется метод установления ($16.4).
Поэтому данным методом могут быть рассчитаны течения с небольшими отрывными зонами в направлении потока. Приближение тонкого слоя широко используется в расчетах [СЬацззее, 1984) и позволяет получать результаты, хорошо совпадающие с экспериментальными данными. $18.2. Явные схемы В п. 18.2.1 будет рассмотрено применение явной схемы МакКормака для решения сжимаемых уравнений Навье — Стокса. Хотя данная схема и экономична при расчете существенно не- стационарных течений, ограничение КФЛ с числом Куранта, равным единице, делает ее менее удобной при расчете стационарных течений. Схемы Рунге — Кутты, позволяющие использовать большие шаги по времени, описаны в п.
18.2.2. 480 Гл. !8. Сжимаемые вязкие течения !8.2.1. Явная схема Мак-Кормака Наиболее широко используемой явной схемой для решения сжимаемых уравнений Навье — Стокса является схема Мак-Кормака (МасСоппас!4, 1969]. Для одномерного невязкого течения эта схема описана в п.
14.2.2, а для многомерного иевязкого течения с пространственной переменной, играющей роль времени,— в п. 14.2.4. Применение схемы Мак-Кормака для решения уравнений со вторыми пространственными производными будет продемонстрировано здесь на примере двумерных уравнений Бюргерса (10.57) и (10.58), При обобщении на сжимаемые уравнения Навье — Стокса (18.6) — (18.10) возникает дополнительная трудность, связанная со смешанными вторыми производными, которая будет рассмотрена позже. Двумерные уравнения Бюргерса записываются, как и в (10.52), в виде — + — + — — 8=0, дч дР дС д1 дх ду (18.33) где ит — и т(и(т(х ч Г ив — и ди(с(у Г= ). С=~' -(' ) =( ио — т йо!т(х ) и' — и Йо!т(у 0.5и (из+ о')/и 8= 0.5о (и'+ оз)/и =(:) (! 8.34) Применительно к системе (18.33) схема Мак-Кормака иа однородной сетке имеет вид Шаг предиктор (1 8.35) Шаг корректор 4!0+ 0 5(4)и + а ) 0 5 (Г" Г' — 0.5 —," [С",.
„— С;,,1+ 0.5518",, (18.36) Можно заметить, что каждая пространственная группа Г или С на шагах предиктор и корректор аппроксимируется односторонними конечно-разностными операторами. Вся схема имеет второй порядок точности по времени и пространству, если для аппроксимации производных, фигурирующих в Г н С (см. (18.34)), используются разности, обратные используемым для Г и С в уравнениях (18.35) и (18.36).
Например, на шаге $18ха Явные схемы предиктор (Р )о (Н2)о Ч !Ч! В Ь й) ах Ьх (18.37) Применение разностей вперед на шаге предиктор и разностей назад на шаге корректор можно поменять местами. Порядок использования разностей может быть различен для разных пространственных направлений.
Однако для сохранения второго порядка точности необходимо сохранять симметрию разностных формул на шагах предиктор и корректор. Вопросы устойчивости схемы Мак-Кормака для решения уравнений (!8.33) и (18.6) рассматривались в работе )Реуге1, Тау!ог, 1983); точных результатов ие получено. Поскольку схема явная, можно ожидать, что невязкая часть уравнений должна приводить к ограничению типа КФЛ, аналогичному (9.11), а вязкая часть — к ограничению диффузионного типа (п. 7.1.1). Для скалярного эквивалента уравнения (!8.33) в работе [Реуге1, Тау!ог, 1983) рекомендуется при бх = Лд использовать следующее необходимое условие устойчивости: Ахт 42+ ( ! и )+ ! о 1) ах для ламинарных сжимаемых уравнений Навье — Стокса (18.6) рекомендуется при Лх = бу использовать следующее условие (18.40) 31 К. Флетчер, т. 2 Для сжимаемых уравнений Навье — Стокса (18.6) можно непосредственно применять схему предиктор — корректор (18.35), (18.36), положив 8 =0.
Однако в выражениях (!8.7) — (18.10), определяющих значения Г и С, фигурируют производные по разным направлениям. Например, чл2 Рмо (1+122)! д + л ) (18.38) Дискретизация ди/ду проводится так же, как в (18.37). Для до/дх используются центральные разности. Таким образом, иа шаге корректор 0.5(о1„~ 2 ~ — о! ~ 2 ~)) ах Гл. !8. Сжимаемме вязкие течения устойчивости: Л/ (~ о ь о ь, (18.41) (2Гь/Пе Р) [22/Рг+ (2/3)о'ь) + [! а!+ ! о 1+ (2) ' а) ах где а — скорость звука. Из вида условий устойчивости (18.40) и (18.41) следует, что в трехмерном случае ограничение на шаг по времени более жесткое, чем в двумерном и одномерном случаях.
Чтобы избежать этого ограничения, Мак-Корман [МасСоггпасК 197!] в описанную выше схему ввел расщепление по времени. Расщепление по времени, аналогично описанной в 9 8.5 процедуре, приводит к последовательности одномерных пространственных операторов. Для уравнения (!8.6) одномерные операторы могут быть представлены в виде ь(/,'е = Р„(/)/„'/а/ „ ь)/'ь = Ро (Ид) и/' Здесь уравнение (18.42) эквивалентно уравнениям Аналогичные выражения для (18.43) могут быть получены из уравнений (18.35) и (18.36). Весь алгоритм определения решения на новом временнбм слое вместо (18.35), (18.36) принимает вид е+~ Р '[ о)Р [ х)Р [ ")Р ( — ")йе (18.44) Симметричная картина повторяющихся пространственных операторов от А//2 необходима, чтобы получить алгоритм второго порядка по времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
