Fletcher-2-rus (1185919), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Устойчивость алгоритма (18.44) определяется устойчивостью отделвных операторов. Таким образом, аналогичное (18.41) ограничение на Р прн произвольных Лх и Лу имеет вид А/, ~( о ь . (18.45) (ьь/йеа)[2т/Рг+(2/3) ' ( '/аи))+1!а)+а)ах Очевидно, что возможно применять ббльшие шаги по времени. Дополнительное преимущество состоит в том, что для различных координатных направлений могут быть использованы различные шаги по времени. Для обтекания тонких тел, параллельных оси и, необходимы малые в направлении у шаги сетки для разрешения больших пространственных градиентов скорости и тем- 483 й 18.2. Явные схемы пературы, связанных с поверхностным пограничным слоем. Применение схемы расщепления по времени (18.44) позволяет избежать влияния на Л1 ограничения на шаг Л1„.
Схема расщепления по времени эффективна, хотя и требует введения вспомогательных процедур вблизи границ [Реуге1, Тау1ог, 1983]. Схема Мак-Кормака в сочетании с методом установления (п. 6.2.4) малоэффективна для определения стационарного решения, если только не применяется многосеточный подход (п. 6.3.5) [СЫгпа, доЬпзоп, 1985].
18.2.2. Схема Рунге — Кутты В явной схеме Мак-Кормака, описанной в п. 18.2.1, второй порядок точности по пространству достигается весьма экономным образом. Однако ограничение на шаг по времени (18.45) существенно снижает общую эффективность алгоритма при нахождении стационарного решения методом установления для течений с большими числами Рейнольдса. Из условия (18.45) следует, что при больших числах Рейнольдса условие устойчивости схемы расщепления Мак-Кормака эквивалентно тому, что число Куранта С=([и[+а)бг„/сх1 не превышает единицу.
Конечно, влияние больших чисел Рейнольдса непосредственно сказывается и в ограничении на шаг по пространственной переменной для правильного разрешения тонкого пограничного слоя. В результате применения метода прямых (9 7.4) из исходной системы уравнений можно получить систему обыкновенных дифференциальных по времени уравнений.
Для ее решения удобно использовать маршевые по времени схемы Рунге — Кутты, поскольку для этих схем можно использовать большие, чем в схеме Мак-Кормака, значения числа Куранта. Например, для не- стационарных течений можно использовать схему Рунге — Кутты четвертого порядка (7.53). Эта схема при достаточно малых диссипативных членах устойчива, если С (2 1/2. Для нахождения стационарных решений методом установления имеет смысл использовать рациональную схему Рунге— Кутты (РРК) [ЮатЬесй, 1978] первого или второго порядков, поскольку она позволяет использовать еще большие числа Куранта.
Рациональная схема Рунге — Кутты будет продемонстрирована на уравнении общего вида 8д/Ж = йт (д), (18.46) Это уравнение можно рассматривать как одну из компонент системы (18.6) после проведения пространственной дискретизации. Схема РРК использовалась в работе [Ба1о1и(са е1 а1., 31* Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения 484 1986). Для дискретизации первых и вторых пространственных производных в уравнениях (18.6) — (18.10) рекомендуется использовать обычные трехточечные центральные разности.
-1.2 Ср -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.8 0.0 1.0 Харда Рис. 18.3. Сравнение с экспериментальным распределением давления в кас- каде 65(12)10 ((за!о1п)та, 1986); печатается с разрешения А!АА). Двухшаговая схема РРК применительно к уравнению (18.46) может быть построена следующим образом. Промежуточные поправки определяются выражениями (ы ! лт(((т(, ) А г А!(()т( и Лс)з =(1 — Ь) М+ (т Лдг, и решение на новом временном слое — по формуле „+ 2Ля' (АЧ',ЛЧ') — Лдз(ЬЧ', ЛЧ') ( 4 ) !7 с) (Ачз А з) В уравнении (18.47) (е,() означает скалярное произведение, т.
е. (е, $)=- ~ еА, $18.3. Неявные схемы где ! пробегает все точки сетки. Скалярные произведения, вычисленные один раз на каждом временнбм шаге, определяют весовые множители, с которыми берутся поправки Лд' и Лде в каждой точке сетки. Поэтому метод явный и экономичный. Схема РРК (18.47) имеет первый порядок точности по времени, если Ьс~ — 0.5. При Ьс = — 0.5 порядок точности равен двум. Схема А(се) устойчива (рис. 7.10), если (18,48) Ьс( 2 сое а (2 — сое а) В работе [За!о!ц(са е! а1., 1986) получено устойчивое решение с числом Куранта до четырех при решении полных уравнений Навье — Стокса с моделью турбулентности Болдуина — Ломакса (п, 18.1.1). Рассматривалась задача о трансзвуковом обтекании лопатки компрессора при М =0.76 и числе Рейнольдса ЗХ10'. Как видно из рис. 18.3, в случае отсоса на стенке имеется хорошее совпадение с экспериментальными данными.
Решение получено в обобщенных координатах на сетке 129 Х ЗЗ (гл. 12). Для решения уравнений Эйлера, где не требуется использовать столь мелкие сетки вблизи стенки, как в случае уравнейий Навье — Стокса, схемы Рунге — Кутты эффективно комбинировались с многосеточным подходом [Затезоп, 1983]. 2 18.3. Неявные схемы Для определения лишь стационарного решения более предпочтительными являются неявные схемы, несмотря на успешное использование явных схем в сочетании с методом Рунге — Кутты интегрирования по времени и многосеточным подходом. Это связано с тем, что в неявных схемах нет ограничений на шаг по времени, следующих из линейного анализа устойчивости (9 4.3). На практике ограничение на шаг по времени существует, но оно значительно более слабое, чем в явных схемах. Это ограничение в неявных схемах может быть связано с нелинейными эффектами, с требованием к точности при рассмотрении нестационарных задач или с медленной сходимостью при использовании метода установления для нахождения стационарного решения.
В данном параграфе будут описаны четыре неявных алгоритма. Сначала будет рассмотрена двухдиагональная схема Мак-Кормака, являющаяся прямым обобщением соответствующей явной схемы (п. 18.2.1). Затем будет рассмотрено применение неявной схемы Бима — Уорминга [Веагп, вагш(пй, 1978) (п. 18.3.2) для решения сжимаемых уравнений Навье — Стокса. Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения 18.3.1. Неявная схема Мак-Кормака Данный метод будет продемонстрирован на примере обобщения явной схемы Мак-Кормака (п.
!8.2.1) для решения одномерного уравнения переноса (9.56). Для удобства одномерное уравнение переноса записывается в виде де де дзд — +а — — /х — =О. д1 дх дхз Явная схема Мак-Кормака (18.35), (18.36) применительно к уравнению (18.49) может быть записана в следующем виде. Шаг лредиктор Д/!" ' = — ад/1.„+Н" + /з Д/1.„„//й, (/.е 7Я ! Д/*,е / l Шаг корректор д//"+' = — ад/1.„ //' ' + /х Д/1.х„/7 ', ,7и+ =0.5(/" +д" +д/и+и ') 1 ' 1 / / где Е, и Ь вЂ” односторонние разностные операторы: е/ е/- ~ 1 е е/+~ — е/ кд/= дх ° к/7/= дх (18.50) (18.5 !) а 1.„„— центрально-разиостный оператор второго порядка: д/, — 2е/+ д/,, 1 ""Ч/ дхз Для устойчивости шаг по времени в схеме (!8.50), (18.51) должен выбираться так, чтобы выполнялось условие 2И Дх а+ — — — ((О.
Дх Д1 Данное условие является одномерным аналогом условия (!8.40). Мак-Кормак [МасСогшаск, 1982) предложил неявный алгоритм, эквивалентный (18.50), (18.51). Этот алгоритм может быть представлен следующим образом. Данный алгоритм аналогичен схеме приближенной факторизации, описанной в $ 8.2, 8.3, 9.5 и и. 10.4.2 и 14.2.8. В п. 18.3.3 будет рассмотрено обобщение приближенной факторизации группового метода конечных элементов (п. 17.3.3) на сжимаемые течения. Развитие алгоритма приближенной факторизации путем введения расщепления П) описано в п. 18.3.4. 487 й 18.3. Неявные схемы Шаг предиктор (1+ Л ~' ) До, = Д4с",'+ (Л ~' ) Дд,,'о й*, с йл + д,)«.
с с (18.53) Шаг корректор ~1+Л аС)д л..с,с д,„лсс,е+(Л ~')д, нкс ах с схх с- ' (18 54) ,)л+с 0 5( л+,7* с 1 д,)лес. с) При расчете по формулам (18.53) и (18.54) поправки Дс)" л и Дс)л.+с «получаются по формулам (18.50) и (18.51). При этом с в расчете по формуле (18.51) сс" ,заменяется на с)" ', рассчитанное по формуле (18.53). ная линейная устойчивость (э 4.3). Для этого необходимо, чтобы выполнялось условие Параметр Л выбирается так, чтобы обеспечивалась безуслов- Л ) гпах ) (а + ах — —,1), 01.
(18.55) (18.56) Из сравнения с условием (18.52) следует, что если Дс такое, что явный алгоритм будет неустойчивым, то можно выбрать положительное значение Л, при котором схема (18.50) — (18.54) будет устойчивой. Если Д( таково, что чисто явный алгоритм устойчив, т. е. выполнено условие (18.52), значение Л полагается равным нулю и не требуется проведения неявной стадии алгоритма (18.53), (18.54). Условие (18.55) проверяется в каждой точке. Поэтому для многих задач дополнительные неявные шаги не требуются в частях расчетной области. Это обстоятельство делает весь алгоритм более экономичным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
