Fletcher-2-rus (1185919), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Сжимаемые вязкие течения 800 производной может быть заменен выражением (18.91) где Ь, и 7., — односторонние двухточечные разностные операторы, приведенные после формулы (18.51). С точностью до 0(М) оператор Ь„АЛд"+' может быть заменен оператором Ь„А Лд,".+' — Л„(А+ Ьд"+') + Ь„+ (А,. Ад!+ ), (18.92) где А+ =0.5(А+! А!), А =0.5(А — 1А!). (18.93) Очевидно, что в зависимости от знака А либо Ач., либо А- будет равно нулю.
Подстановка в (18.90) позволяет получить систему уравнений ~ 1 + 8 7а( ~7.„(А,+. + ~~ ) — 7.,+ ( ~ А,. ~ + ~„) ~ ~ Лд",+' =Л! КН 8". (!8.94) С точностью до 0(ЛР) (18.94) можно заменить системой ~1+ 87зп,„(А,+. + и )ф+ (!7з!7.,"(~А,-(+ — ")]Лд,".+'=Лт КН8", (18.95) которая является 1.()-разложением, поскольку первый множитель является нижнетреугольным, а второй — верхнетреугольным. Уравнение (18.95) решается в два этапа: Лд',= [Л! КН5" + 8 ~' (А;.
+ —," ) Лд",,1/ 1+ !! ф (А;. + —,"„) ~, (18.96) Лд,""=~Лд,'. + 8 —,'„' (~ А; !+ —,"„) Лдт,",и ) +8 —,"„(/ А;. ~+ —,",)~. (18. 97) Уравнение (18.96) решается последовательно от левой границы в сторону уменьшающихся значений !. Уравнение (!8.97) решается от правой границы в сторону увеличивающихся значений !. Можно заметить, что приближения, введенные для определения неявных членов, не влияют на стационарное решение, КНЗ" = О. Таким образом, Ш-факторизация является работоспособным и экономичным алгоритмом расчета стационарных решений.
Для сжимаемых уравнений Навье — Стокса Ш-факторизация может быть проведена следующим образом. Уравнение э 18.3. Неявные схемы 801 где йНБ" = 7., (Г' — Гг) + 1,„(б" — б!), дде' до де дС А= —, В= —, Р= —, Я= —. дч ' дч ' дч ' дч Уравнение (18.99) аналогично алгоритму Бима — Уорминга (18.78), (18.79), за исключением лишь того, что в (18.99) а = =0 и по-другому аппроксимируются вязкие члены, приводящие к смешанным производным. Это упрощает алгоритм и может быть использовано при определении стационарного решения методом установления, поскольку такое упрощение ие влияет на стационарное решение. Уравнение (18.100) можно также рассматривать как эквивалентное уравнение (18.90).
Для проведения приближенной 1.()-факторизации уравнения (18.99) необходимо, используя разложение (18.60), выделить собственные числа матриц А и В. Из (18.6!) следует, что значения собственных чисел могут быть или больше или меньше нуля. Следовательно, матрицы собственных чисел Лл и Лв можно разделить на положительную и отрицательную части: Лл=Лл+Лл, Лв=Лв+Лв, (18. 101) (18.100) где, как и в (18.93) для скалярного случая, Лле — — 0.5(Лл+! Лл!) и Лл =0.5(Лл — [Лл!). В результате разложения (18.!01) выражения Е„А и Е„В в уравнении (18.100) можно заменить, как и в скалярном случае, суммой односторонних разностных операторов, связанных с положительными или отрицательными собственными числами.
Например, 1яА — мЕ,хТлЛлТл +йхТлЛлТл, и аналогично для ЕяВ. Поскольку Г= А11, можно провести и расщепление потока [8(едег, Юагпппд, 198! [, в результате чего поток представляется в виде Г= Гй+ à —. Данный вопрос кратко обсуждался в п. 14.2.5 в связи с расчетом сверхзвуко- (18.6) записывается в виде дч ди ! дС дг~ дб~ (18. 98) дс дх ду дх ду Для упрощения изложения предполагается,что рг = 0 и йг =О.
Приближенно факторизованиое дискретноепредставление уравнения (18.98) может быть записано в виде [1+ 8~Ш,[А — Р) ] [1+ 6 ЛГ7.д( — Щ[Лй"" =ЛГ КН8", (18.99) Га. 18. Сжимаемые вязкие течения 802 вых течений со скачками. В рассматриваемом алгоритме, следуя работе [ОЬауазЬ1, КитчаЬага, 1986), расшеплеиие сводится лишь для проведения приближенной Ш-факторизации неявных членов. Благодаря приближенно неявному рассмотрению вязких членов можно провести также расщепление 1, Р и 7.я(1: Л„Р = 1.,„Р = (Е,+ — Е, ) Р/Лх, (18.
102) и аналогично для 7.кч1. Следовательно, в уравнении (18.100) Е„(А — Р) -и 1,„(ТяЛя Та + Р/Лх) — й„+ (Тя [ Лл [+ Р/Лх). (18.103) В аналогичном виде представляется 7.,( — (Ц. Однако в работе [ОЬауазЬ(, КитчаЬага, 1986] Р/Лх заменяется выражением ТлИТл', где л выбирается из условия устойчивости, т. е. 7е = т/(Ве рЛх), т = гпах (2и, угз/Рг).
(18.104) Такое приближение Р напоминает скалярную форму (18.95). При этом приближении, а также используя приближенную факторизацию, можно провести дальнейшую факторизацию уравнения (18.99), в результате чего получим Ш-форму [1+ 5л17.я А+] [1 — 6лг7х А [ [1+ йл(1я'В1 Х Х [1 — 6л(74В ~л 1"" =лг Вн8", (18.105) (18.106) где А =Та (~Лч ~+И)Тл. Каждый множитель в (18.105) двухдиагональный и может быть разрешен относительно Лй за один проход в положительном или отрицательном направлениях х или у. Таким образом, весь алгоритм решения системы (18.105) может быть представлен в виде [1+6лг~.А [лд'=лгйн8', [1 — йлг(-.'А [лй'*=лй*, (18.107) [1+5Л17.„-В'[Лп-*=Лй'*, [1 — 6ЛГ7.,',В-[Лп"" =ИВ-'. В качестве примера при решении второй системы осуществляется проход справа налево в направлении х. В каждой точке 5 184.
Обобщенные координаты 503 сетки для определения Ле!" решается следующая система ьа уравнений размерности 4х,4: — 1 ~м"-з о1 !+ 8 ~ Аг,а[ЛЯ1, =Лпз + ~ —,~ А~~ь~Лй;~ь . (18.!08) Поскольку матрица А может быть представлена в факторизованном виде (18.106), для определения Ла!"а можно использовать алгоритм (18.68) — (18.70).
Решение системы (18.108) проводится для всех линий сетки в направлении у. Другие системы уравнений из (18.!07) решаются аналогично системе (18.108). В работе [ОЬауазЬ1, Кп1наЬага, 1986[ применялся описанный выше алгоритм для расчета взаимодействия скачка с ламинарным пограничным слоем. В работе [Еп)!1, ОЬауазЬ1, 1986] данный метод применялся для расчета трансзвукового турбулентного течения около аэродинамического профиля при помощи дискретизации в обобщенных координатах (гл. 12 и $ !8.4). 18.4.1. Приближение тонкого слоя Стегера Используя описанные в гл. 12 методы, систему уравнений для двумерных сжимаемых вязких течений в обобщенных координатах можно представить в виде дя дг~ дп дй дз — + — + — = — + —, д1 д$ дт! д$ дя ' (18.109) 9 18.4.
Обобщенные координаты Для расчета течений около гладких тел произвольной формы удобно ввести связанные с телом обобщенные координаты (гл. !2). Вид уравнений (18.6), описывающих сжимаемые течения, в обобщенных координатах ненамного сложнее, чем в декартовых. Для течений с большими числами Рейнольдса и небольшими отрывными зонами целесообразно использовать обобщенные координаты в сочетании с приближением тонкого слоя (п. 18.1.3). Преимуществом приближения тонкого слоя является то, что при его использовании максимально сохраняется неявное представление вязких членов, особенно в алгоритмах приближенной факторизации (п.
18.4.1). Использование обобщенных координат оставляет открытым вопрос о способе дискретизации в расчетной области. В п.18.4.2 будет описан групповой метод конечных элементов, в котором явно введены массовые операторы. В п. 18.4.2 будет описан способ построения приближенно факторизованного алгоритма, сохраняющего структуру массовых операторов. 504 Гл. 18. Сжимаемые виаиие течеиии где (ус ри(ус + еь р р.(У'+~„р ' (е+ р)(У' ри и=У ' Г'=У ' 1 с ри1" + Чхр Р Рс+ Чуо (Е+ р) 1' ~1 у — ! (18.110) 0 ьхтхх + вутху $,т„у + $утуу $х х4 + $у сч Уг' = 1(е У 0 Чхтхх + Чутхх Чхтху + Чу "уу Чх х4+ Чу~с 5=Ке 'У ' У = 5.Чу — $,Ч' (18.111) Различные метрические коэффициенты ~х и т.
д., как и в $ 12.2, определяются численно один раз после построения сетки. Кон- травариантные компоненты скорости (Ус и 1хс связаны с декар- товыми составляющими и и о соотношениями (У' = $,и+ 5уо, Р с = Чаи+ Чуи. (18,112) При выводе уравнения (18.109) предполагается, что ~ = 5(х,у), Ч = Ч(х,у). Вид дополнительных членов в уравнениях (18.110) в более общем случае $ = 5(х, у. г, У)„Ч = т1(х, у, г, У) для трехмерных течений можно найти в работе 1Спапззее, 1984). Для простоты в данном разделе рассматривается ламинарная форма уравнений (18.6) — (18.10), рг =О, Ргг — О.
Кроме того, декартовы компоненты скорости и и о отнесены к а, скорости звука в набегающем потоке, плотность — к р и полная энергия — к р а'. Поэтому число Рейнольдса аче=р а У./1х, где У, — характерная длина. Якобиан У в (18.110) определяется выражением $18.4. Обобщенные координаты боо т ! Потоки Р и б выражаются через соответствующие декартовы векторы Г' и б' (14.95) формулами Члены у(а и 5, в уравнении энергии равны дах х "ха итхх + отху + ( 1) р„ й За=иску+ от„у+ дх дах (! 8.114) дч дГ дб д8 — + — + — =— д1 д$ дч дч (18.115) Различные сдвиговые напряжения определяются формулами (18.9) при 1аг —— 0 и Юх = О.
Благодаря тому что вязкие члены выражаются через сдвиговые напряжения, нет необходимости прямого вычисления вторых производных $ и т. д. в параметрах преобразования. Следует напомнить (п. 12.2.3), что при введении обобщенных координат вторые производные аппроксимируются менее точно, чем первые. При дискретизации вязкие члены тх и т. д. определяются в точках сетки. После этого делаются второе преобразование и необходима дискретизация для определения вязких напряжений через поле скоростей. Для течений с большими числами Рейнольдса вязкие эффекты существенны лишь вблизи твердой поверхности и в области следа.
Поэтому если в рассматриваемом течении нет больших отрывов в направлении течения, имеет смысл использовать приближение тонкого слоя (п. 18.1.3). Используя соответствующую сетку (например, С-сеткуоколо изолированного аэродинамического профиля), можно обеспечить достаточную мелкость сетки в одном направлении, например ть для разрешения существенных вязких членов как вблизи твердой поверхности, так и в следе. Как показано на рис. 18.2, грубая сетка используется в направлении, параллельном телу (направление $).
На такой грубой сетке вязкие члены, связанные с производными по $, не могут быть представлены достаточно точно. Следовательно, все производные по ~, связанные с членами (х и 8 в уравнении (18.109), следует опустить, Очевидно, что приближение тонкого слоя вводится в расчетной области, а не в физической. В приближении тонкого слоя (!8.109) заменяется уравне- нием 806 Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения После подстановки выражений, определяющих т„и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
