Fletcher-2-rus (1185919), страница 92
Текст из файла (страница 92)
18.3.2) данный алгоритм практически без изменений может быть обращен на многомерный случай. В работе [тее, 1987] обсуждается возможность диагонализации левой части уравнения (18.169), в результате чего стационарное решение может быть получено более экономным образом. Для течений в нерегулярной расчетной области описанный алгоритм может быть реализован в обобщенных координатах ['т'ее, Наг!еп, 1985[.
В результате получается алгоритм, аналогичный описанному в п. 18.4.1, в котором диссипативные добавки к конвективным членам строятся по схеме ТУР. По описанному алгоритму йи (т'ее) на сетке 163 Х 49 рассчитал стационарное невязкое течение у профиля НАСА-0012, расположенного под углом атаки 7', при М =!.2. Было проведено сравнение с расчетом по алгоритму АЙС2Р [Рп!Наги, 5!едег, 1985[, ио существу совпадающему с алгоритмом, описанным в и. 18.4.1. Как и следовало ожидать, описанный алгоритм дает лучшее решение в окрестности головного скачка н возникающего на верхней поверхности профиля хвостового скачка. Отличие результатов, полученных двумя методами, становится больше при $ 18.5. Численная диссинацин 525 увеличении числа Маха набегающего потока до М =1.8. Отличие возникает непосредственно вблизи скачков и обусловлено локальным увеличением их интенсивности.
Вдали от скачков оба метода дают практически совпадающие решения; в частности, распределение давления по поверхности оказывается одинаковым. Следует заметить, что определение численной диссипации в соответствии со схемой ТЧР, даже если оно проводится лишь в правой части уравнения (18.169), значительно увеличивает время счета. Для нестациоиарных течений более точные результаты по.лучаются по явной схеме, т.
е. при 8 = 0 в уравнениях (18.169) — (18.174). В работе [Уее, 1986] рассмотрена дифракция плоского скачка на профиле НАСА-00!8, расположенного под углом атаки 30'. Скорость скачка М, = 1.5, решение получено на С-сетке размером 299 Х 79.
На рис. 18.13 приведено сравнение с экспериментальными иитерферограммами плотности из работы [Маиде!!а, ВегзЬабег, 1987]. Очевидно хорошее совпадение с экспериментальными данными. Можно отметить, что интерпретация схем ТЪ'Р как алгоритмов введения дополнительной численной диссипации в центрально-разностную аппроксимацию невязких потоков позволяет .легко модифицировать существующие алгоритмы [Уее, 1987]. Для осуществления этой модификации необходимо рассмотреть локальные градиенты, и если эти градиенты оказываются большими, т.
е. вблизи скачков, вводить ТУР-диссипацию. Дискретизация ТУР невязких членов легко комбинируется с центрально-разностной аппроксимацией вязких и турбулентных членов в уравнениях Навье †Сток. В результате получаются алгоритмы, аналогичные (18.169), с блочно-трехдиагональиыми матрицами. Решение многомерных сжимаемых уравнений Навье — Стокса методом установления с аппроксимацией ТУР может быть получено при помощи приближенной факторизации [Уее, 1987], блочной бидиагонализации [1отЬагб е! а!., 1986] или по схеме релаксации [СЬа(сгачаг!Ьу, 1987].
Кроме того, алгоритмы Т'17Р могут быть построены на основе расщепления вектора потока, подобного рассмотренному в и. 14.2.5. В работе [Жа!(егз е! а1., !986] описан алгоритм, в котором методом установления решаются сжимаемые уравнения Навье †Сток. В алгоритме используется расщепление вектора потока [чап 1.еег, 1982] в сочетании с приближенной факторизацией или релаксацией. Схему расщепления потока также можно интерпретировать [МасСогтас(с, 1984] как модификацию численной диссипации в центрально-разностной аппроксимации невязких потоков.
Искривленный скачок Плоский скачок Интерферограммы Симметричнач схема Ттгп 2.го порядке Рис, 18,13. Профили плотности при прохождении ударной волны профиля ХАСА-0018 при угле атаки 30' 1'гес, 19861. э 18.8. Заключение 9 18.6. Заключение 827 Численное решение полных сжимаемых уравнений Навье— Стокса в достаточно сложных расчетных областях встречается довольно редко. В работе [Реуге1, Ич)апд, 1975] приведен анализ алгоритмов, разработанных до 1975 года. Большая часть алгоритмов явные. За последующие четыре года [МасСоггпасК Еотах, 1979] ситуация изменилась: появилось много эффективных неявных алгоритмов (и.
18.3.2 и 18.4.!). Это в сочетании с развитием методов использования обобщенных координат (п. 18.4.1) позволило получить решения в областях довольно сложной формы, например было рассчитано течение около двумерного профиля [5(едег, 1978]. Десятью годами позднее работы [Реуге1, 17)ч)апб, 1975] вработе [5Ьапд, 1985] отмечалось, что в первую очередь в результате развития компьютеров (гл. 1) появилась возможность рассчитать течение около любого отдельного элемента самолета. Можно ожидать, что расчеты сжимаемых турбулентных течений около полного самолета [Апоп, !986] вскоре станут достаточно экономными и их можно будет брать за основу при проектировании. Кажется вероятным, что такие крупномасштабные расчеты будут базироваться в основном на методах, описанных в этой главе, в частности в п.
~8.4.1. Схемы Т'170 и, возможно, адаптивные сетки [Тпогпрзоп, 1984] позволят получить скачки с достаточно резкимн границами. Для стационарных течений основные улучшения могут быть получены в результате ускорения сходимости к стационарному состоянию.
Несмотря на успешное применение многосеточных методов, не ясно, будут ли они эффективны для решения уравнений Эйлера, поскольку в этом случае, в частности при использовании зонной стратегии [Но!з! е1 а!., 1986], имеется более широкий диапазон сеточных маси.табов. Итерационные или сглаживающие схемы, подобные методу Ньютона ($ 6.1), могут оказаться более эффективными прн определении стационарного решения, чем схемы приближенной факторизации. Однако эффективность подобных методов зависит от используемой дискретизации, которая должна приводить к усилению диагонального преобладания. Другой важной областью дальнейших исследований является улучшение моделей турбулентности.
В настоящее время основные разработки в этой области связаны с несжимаемыми течениями. Алгебраические модели турбулентной вязкости (п.!8.1.1) позволяют получить достаточно точные для целей проектирования распределения осредненных характеристик течения, таких, как давление на поверхности, если течение безотрывно. Но Гл. !8. Сжимаемые вязкие течения 828 8 18.7. Задачи Физические упрощения ($18.1) 18.1. Покажите, что уравнение неразрывности лля двумерного турбулентного течения может быть записано в виде (а) при использовании обычного осрелнения по Рейнольлсу — + — + + — + =О, др д (ри) д (р'и') д (ро) д (р'о') дт дх дх ду ду (18.178) (Ь) при использовании взвешенного по массе осрелнения по Рейнольлсу др д (ра) д (рв) д( дх ду (18.176) 18зд Примените модель Куэтта к двумерному турбулентному'несжимаемому уравнению х-компоненты импульса и покажите, что вблизи твердой стенки др т — тн = — у' дх (18.177) гле локальное слвиговое напряжение т = (ч + чг)ди/ду, а значение др/дх считается постоянным поперек слоя.
Введите длину перемешнвания в выра- жение т, = (иу)' [ ди/ду( и в предположении чг ъ ч покажите, что ди др Пт ну — = [тм+ — у) (18.178) для течений с большими отрывными зонами и (или) нестационарных течений при решении сжимаемых уравнений Навье— Стокса требуются более сложные модели турбулентности, основанные на прямом определении напряжений Рейнольдса. При этом структура дополнительных уравнений, описывающих турбулентность, оказывается аналогичной структуре уравнений Навье — Стокса. Поэтому учет этих эффектов не должен приводить к существенному изменению численных алгоритмов. Более сильное влияние на оптимальный выбор алгоритма, по-видимому, будет оказывать развитие архитектур вычислительных машин.
В настоящее время все более распространенными становятся компьютеры с параллельными, возможно по одному на каждую точку сетки, процессорами [Ог(еда, Чо(й(, 1985]. Применение таких компьютеров делает экономически выгодным использование простых явных алгоритмов (9 18.2). В этой главе была описана дискретизация, основанная на конечно-разностных методах и методе конечных элементов. Однако методы конечных объемов являются также весьма эффективными и применяются широко [Ое(туег1, 1984]. Менее широко, в первую очередь из-за трудностей, связанных с ударными волнами, используются спектральные методы [Нцзза(п1, Уапд, 1987].
529 3 18.7. Задачи Явные схемы ($18.2) !Вчй Проведите разложение в ряд Тейлора значений Г и 6 в явной схеме Мак-Кормака (18.35), (!8.36) и покажите, что основные члены в ошибке аппроксимации имеют порядок 0(ЛГз, Лхз). 18.6. Постройте явную схему Мак-Кормака для уравнения (18.49) и покажите, что из анализа устойчивости по Нейману (6 4.3) получается следующее ограничение на шаг по времени М: дхз 51» ~2Н+ и пх ' 18.7. Применив схему расщепления по времени Мак-Кормака к уравнению (18.6), получите уравнение (18.43) в соответствующей форме предиктор — корректор. 1В.В. Рассмотрите применение схемы Вамбека (тт'ашЬесй) (18.47) к уравнению диффузии ди дзи — — м — -О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
