Fletcher-2-rus (1185919), страница 89
Текст из файла (страница 89)
д., перехода к координатам ($, Ч) и отбрасывания производных по $ вектор 8 принимает вид 0 р (Чз+ т!'„-) и + (р/3) 41„(т1„и„+ 41„о„) р (Ч'. + Ч'„) о„+ (р/3) Ч„(Ч„и„+ Ч„о„) (ч'„' + ч„') (/г/!(у — 1) Рг] (а')„+ 0.5р (и'+ о')„) + +(!4/6) [Ч'(и') +Ч'(о') + 2Ч Ч (ио) [ (18.1 !6) З=йе 'Х ' Для численного решения уравнения (18.115) используется ме- тод приближенной факторизации Бима — Уорминга, в резуль- тате чего получается Операторы Ь и /. являются центрально-разностными операторами второго порядка. Их вид задается выражениями (18.!45) при г =1. Якобианы А=дГ/дй и В=дб/дй получаются с использованием соотношений (18.113) из якобианов декартовых векторов потока А =дГ'/дй и В =до'/дй. Таким образом, 4 й - чк ч А = — А + — В, В = — А -1- — В. 7 7 ' Х 7 (18.1 18) Декартовы якобианы А и В выражаются соотношениями (!4.99) через зависимые переменные.
Якобиан М=дЬ/дт) возникает при линеаризации 8"е относительно $", т. е. так же, как и в уравнении (18.74). Якобиан М состоит из следующих элементов: 0 0 0 0 тз, аздр /дЧ аздр '/дЧ 0 тз4 аздр '/дт! аздр '/дт! 0 (18.119) т4 4 т42 441+ йбг/.1А — ат/ '/.В/) (1+ йбт/.ч — ))Агт'.ч/ 'М/— — е/ /, з)Лч = — Ь! [/.1Р'+ /,чб' — /чЧ" — и 7 '[(чела). + (ччб )') 741" (!8.!17) э 18.4.
Обобщенные координаты 807 где д д тм — — — а, — (и/р) — а — (о/р), дЧ дт) д д тз| = — аз — (и/р) — аз — (и/р) дЧ дЧ т„= — а, — [ — (Е/р ) + (и'+ оз)/р) — а~ — (из/р)— 2 2 з д д (18.120) — 2а, — (ис/р) — а — (пз/р) дч з дн д д пзкз = аз д (и/Р) ггтм та = а4 дч (и/Р) тм др тм = аз дЧ 74 Уравнения (18.121) получены в предположении ламинарности течения; эквивалентное представление с турбулентной вязкостью следует непосредственно из уравнений (18.9) и (18.10). При выводе выражения для М зависимость )ь и й от решения г) не учитывалась. Учет этих зависимостей значительно увеличивает число операций при решении системы (18.117) относительно Лй""' без существенного увеличения точности при рассмотрении иестационарных задач.
Для стационарных задач вообще не получается выигрыша в точности. В уравнение (18.117) включены явные диссипативные члены четвертого порядка (ТгйЛй)з и неявные члены второго порядка Ейы /.чч. Явная диссипация введена для подавления высокочастотных колебаний, возникновение которых на мелких сетках при больших числах Рейнольдса связано с нелинейными членами (эффект побочного воздействия (а!1аэ)пя) ) '1 (п.
18.5.1). При малых числах Рейнольдса для контроля нелинейной неустойчивости достаточно физической диссипации. Алгебраическая форма оператора (ТгйЛй)з приведена после формулы (17.51). и Термин езффект побочного воздействия (аиаз!пк) (см. т. 1, с. 431) вводится автором для характеристики процессов накопления ошибок при моделировании течений волнового типа. Такие процессы реализуются, когда волны, не улавливаемые дискретной моделью, так как их длина меньше размера ячейки, все же оказывают паразитное влияние на основное решение через посредство нелинейных конвективных членов определяющего уравнения.
— Прим. ред. 508 Гл. 18. Сжииаемые вязкие течения Если включить лишь явную диссипацию, схема будет устойчива лишь при выполнении условия ал) 1/16. Данное ограничение может быть полностью устранено путем введения неявной диссипации четвертого порядка в левую часть уравнения (18.1!7). Однако это приведет к пятидиагональной системе уравнений, решение которой требует значительно больших затрат, чем решение трехдиагональной системы, возникающей прн использовании трехточечных операторов.
Поскольку добавление численных диссипативных членов должно быть как можно меньше, в левую часть (18.117) удобно добавить неявные диссипативные члены второго порядка с ет = 2ии и еи = ЛГ. На поверхности тела и, и еи полагаются равными нулю. Вблизи границ явный оператор четвертого порядка заменяется оператором Лапласа второго порядка.
Уравнение (18.117), как и в алгоритме Бима — Уорминга (18.78), (18.79), решается в два этапа: (! + РбУУ,з А — втУ 'У,ВУ) Ай~, а = бт)~, ы (18.122) (! + ()бГУ.ч  — ~ЛГУ.чУ МУ вЂ” втУ У,ччУ) бй~.'а = Лпу, ы (18 123) где бйь и = — б! [У-!Г + Учтя — Уч81 виУ [(71б!) + (Ччгтч) 1 Уг) . (18.124) Уравнения (18.122), (18.123) являются (4 Х 4) -блочно-трех- диагональными системами, связанными с линиями сетки соответственно в направлениях $ и т!. Выбор р =0.5 и 1.0 позволяет получить схему второго и первого порядков по времени. Если для определения стационарного решения использовать метод установления (9 6.4), более работоспособным и эффективным является выбор р = 1.0. Применение алгоритма (18.122), (18.123) в обобщенных координатах незначительно менее эффективно применения алгоритма Бима — Уорминга (18.78), (18.79) в декартовых координатах.
В первую очередь это связано с тем, что приближение тонкого слоя и неучет зависимости р и й от 9 при образовании М существенно упрощает учет вязких членов, В более ранних применениях этого алгоритма (8(едет, 1978; РцП!ат, 8(ецег, !980) использовалась явная постановка гралз-1 л ничных условий, т. е. и + полагалось равным 9 на границах. Это приводило к появлению ошибки первого порядка по времени, что несущественно при определении стационарного решения.
Однако для нестационарных задач или если этот алгоритм используется как маршевый по пространственной переменной $ 18Л. Обобщенные координаты (п. 16.3.1), для сохранения второго порядка точности по времени постановку граничных условий желательно проводить неявным образом. На поверхности тела условие прилипания позволяет определить два граничных условия и = о = О. (18.125) Задаинаятемпература стенки или ее адиабатичность позволяют определить третье условие Т =Т„,и или дТ7дп= О, (18.
126) где и — направ,пение нормали к поверхности тела, Для сетки, локально ортогональной поверхности, что рекомендуется использовать в гл. 13, направление нормали п совпадает с направлением обобщенной координаты т! (рис. 18.7). Для течений с большими числами Рейнольдса из приближения тонкого слоя следует, что др др — = — =О, д~ дч если только кривизна поверхности не слишком велика. Комбинируя уравнения (18.125), (18.127) и (!8.8), можно получить„ что на поверхности — = — = О.
дЕ дЕ дп дт! (18.128) Если для аппроксимации этих выражений использовать односторонние конечно-разностные выражения первого порядка, то Е! а — Ег лч =0 или Еь, — — Е!ын (18.129) где точка (/, 1) лежит на поверхности. Для адиабатической стенки из условия дТ/дт) = О, уравнения состояния идеального газа р = рКТ и условия (18.127) можно получить, что др~дт! = О. (18.130) Данное условие реализуется в виде Рь ! =Рьь (18.
131) Если определена температура стенки, из уравнения состояния идеального газа следует (!8.132) 1' Ет.,м ' Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения 810 Приведенные граничные условия должны быть скомбинированы с алгоритмом приближенной факторизации (18.122)— (! 8.124) . Первая стадия — решение уравнения (18.122) — без я — чочк» присоединения 1 2 3 4 5 8 7 Х/Я Рис.
18.7. Распределение давления на цилиндре со сферическим затуплением при М = 1.2 и сз = 19' ([Рншаш, $1енет, 1980]; печатается с разрешения А!АА). каких-либо трудностей может быть реализована при й = 1 (т.е. вдоль поверхности тела), если только в уравнении (18.124) использовать односторонние разностные формулы для аппроксимации производных по т(.
На второй стадии блочное уравнение, й !8.4. Обобщенные координаты б! $ где — — у,!.), о 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 — У,!1, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 (О 0 0 0)т (18 134) Вид В, С и 0' соответствует аднабатической стенке. Если опре- делена температура стенки, 0' остается без изменений, а В и С могут быть записаны в форме 1 0 0 — ЦЮ чан 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (18.135) В= О 0 О -У,/У, 0 0 0 1 Уравнение (18.133) совместно с уравнениями во внутренних точках сетки образуют трехдиагональные системы вдоль каждой линии т! сетки (различные значения 1).
В удаленной зоне поток по существу невязкий и граничные условия могут быть определены в соответствии с теорией характеристик (п. 14.2.8). В алгоритме приближенной факторизации эти условия могут быть также реализованы неявным образом [Ка1, С)тацззее, 19841. Трехмерный вариант описанного алгоритма использовался для расчета течения около цилиндра с полусферическим затуплением, расположенного под углом атаки 19', для М =1.2 и числа Рейнольдса Яе = 222 500, рассчитанного по диаметру цилиндра. Распределение давления по цилиндру см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
