Fletcher-2-rus (1185919), страница 83
Текст из файла (страница 83)
В настоящее время моделирование турбулентных сжимаемых течений в основном осуществляется на основе введения турбулентной вязкости, т. е. напряжения Рейнольдса в (18.2) и (!8.3) связываются со средними параметрами течения соотношениями !' дй! дй! 2 дйа ~ 2 — ри".и" = 1х ~ — + — — — б . — !! — — б ри", (! 8.4) г[,дх дх! 3 с! дх ) 3 т! — соТый.' = !и дх $18.1. Физические упрощения 47 и дч др дб — + — + — =О, д1 дх ду (18.6) где р ри ро Е ри ри'+ р — туу Р= рио — т,у (Е + р — т„„) и — т„уо + (,1„ (18.7) рио — т„у Ро +Р туу (Е + р — туу) о — „уи + Яу Для идеального газа р = (у — 1) !Š— 0.5р (и'+ ое)!.
(18.8)з где йы в уравнении (18.4) — турбулентная кинетическая знер. гия (й в (11.95)). В уравнениях импульса член, содержащий, й", комбинируется с давлением. Турбулентная теплопроводность йг связана с турбулентной вязкостью соотношением йг = су!сг/Ргг, где Ргг — турбулентное число Прандтля. Для воздуха Ргг =0,9. Введение турбулентной вязкости и теплопроводности позволяет использовать ту же форму уравнений, что и для описания ламинаРных течений, заменив лишь и и й на (1е+ 1сг) и (и+иг).. В рамках турбулентной вязкости применимы обе алгебраические модели (п. 11.4.2) и модель, описываемая двумя уравнениями (п. 11.5.2).
В работах [НаМ!пЬ е! а!., 1986; Чапс1гопппе, НаМ!пЬ, 1986! использовано полное замыкание рейнольдсовых напряжений в сжимаемых уравнениях Навье — Стокса, т. е. в систему уравнений включалось полное уравнение переноса напряжений Рей. нольдса. В настоящей книге такой способ замыкания не рассматривается. Уравнение, описывающее двумерное сжимаемое турбулентное течение в предположении, что напряжения Рейнольдса могут быть связаны со средними параметрами течения уравнениями (18.4) и (18.5), имеют вид (если отбросить значки — и означающие средние значения) 472 Гл.
1В. Сжимаемые вязкие течения Напряжения в уравнениях импульса определяются соотноше- ниями т.,— 2(р+ И) —,— З (1а+ ди 2 дв 2 тки — — 2(И+ 1хт) З (Р+ т ду т*к — (1х+1ат) Х дя + дх ) — Зр 2 се цт) Ы вЂ” з рй", (18.9) и потоки тепла — соотношениями Ртт Открытые границы, т. е. границы, через которые протекает жидкость, полезно подразделять на входные и выходные.
Для внешних течений около тел в однородном потоке вязкие и турбулентные члены обычно пренебрежимо малы на удаленных (открытых) границах. Следовательно, уравнения, описывающие течения, сводятся к уравнениям Эйлера, а число и вид граничных условий могут быть определены на основе теории характеристик (п. 14.2.8). Для внутренних течений или внешних течений с открытыми границами, расположенными вблизи твердой поверхности, (турбулентными) вязкими эффектами и эффектами теплопроводности пренебречь нельзя.
Теоретически обоснованные граничные условия в этом случае еще не установлены, Некоторые вопросы обсуждаются в работах [Кцбу, 8(г1кхегба, 1981; Вау!1зз, Тцт)ее1, 1982]. Число граничных условий, необходимое для уравнений Навье — Стокса, приведено в табл. 11.6. На входной границе необходимо определить все зависимые переменные; на выходной должны быть определены все зависимые переменные, кроме одной. Обычно на выходной границе используются нулевые условия Неймана (д1/дх = О, где х — на- В (18.9) Ы вЂ” дилатация, т. е. Ы = ди/дх+ до/ду. Для нестационарных задач в уравнении (18.6) необходимо в качестве начальных данных определить вектор зависимых переменных 9. Граничные условия нужно определить и для стационарных, и для нестационарных течений.
Граничные условия для уравнения (18.6) рассматривались в п. 11.6.4. На твердой поверхности ставятся граничные условия прилипания и необходимо определить температуру или поток тепла. Таким образом, на неподвижной поверхности и=в=О, Т=Т или А — = — 1)„. (1811) дт Я дн 4 18.1. Физические упрощения 473 правление вытекания жидкости).
На выходной границе также часто можно привести уравнения к более простой форме с соответствующим уменьшением числа граничных условий (гл. 16). 18.!.1. Модели турбулентной вязкости В большинстве расчетов турбулентных уравнений Навье— Стокса !Маги!п, 1983] используется алгебраическая модель для определения турбулентной вязкости рт в уравнениях (18.9) и (18.10). Достаточно точные значения осреднениых параметров отрывных сжимаемых течений могут быть получены на основе обобщения формул (11.77) — (11.79) для турбулентной вязкости в несжимаемом пограничном слое. Турбулентная вязкость для пограничного слоя (11.77) обобщается следующим образом: (18.12) (! 8.151 где 1 — длина перемешивания, определяемая уравнением (11.78).
Описание через длину перемешивания используется вблизи твердой поверхности. Во внешней части пограничного слоя и в следе вязкость описывается формулой Клаузера !зт — — 0.0168риеб 1, (18.13) где и,— скорость в направлении потока на внешней границе вязкой области. Толщина вытеснения определяется выражением 6 = ~ (1 — — ")ду. (18.14) иоз Здесь 6 — внешняя граница вязкой области, уоз — внутренняя граница. Для пограничного слоя уоз совпадает с твердой поверхностью; для течения в следе уоз — разделяющая линия тока между областями циркуляционного (рис.
17.19) и внешнего течений. Ограничивающий множитель 1 определяется выражением 1= (1+ 5.5( Этот член приводит к снижению влияния турбулентности на среднее значение рт, Хотя в приведенных выражениях предполагается равновесие между турбулентными производством и диссипацией энергии путем введения релаксационной процедуры !з = а (рт) + (1 — а) 1зт', (18.16т .474 Гл. 18. Сжимаемые вязкие течения можно эмпирически учесть влияние областей, расположенных вверх по потоку.
В формуле (18.!6) значение !х' определяется уравнениями (18.12) нлн (18.13), а (рг)ав — турбулентная вязкость в точке пересечения линии, проведенной вверх по потоку в направлении вектора скорости в точке (1, й) с ближайшей линией сетки (рнс. 18.1). Параметр релаксации а обычно полагается равным 0.3. Другая алгебраическая модель турбулентной вязкости предложена Болдуином н Ломаксом [Ва!дтн!и, 1.ошах, 1978].
Вблизи твердой поверхности (18.12) заменяется вы- ражением й-! !хт=р!я[1[, (18.17) где ! о ( мах' ' чан~ мах)' 7-о= ! 6у~~ху . (18.19) (18.20) В уравнении (18.19) сыах = пзах( [Ь [!/м); длина перемешнвання ! н постоянная Кармана м определяются выражениями (!1.78). Параметр у,х равен значению у, прн котором имеет место Р,„. Величина доп равна разности между максимальным н минимальным по модулю значениями скорости. Ограничивающнй множитель Клебанова )а определяется выражением 7~ = [ 1 + 5.5 [ — '" ) 1 (18.21) Модель Болдуина †Ломак описывает течения в областях отрыва [Ре(хуег(, 1984[ лучше, чем формула Клаузера.
В обеих моделях турбулентное число Прандтля предполагается постоянным; для воздуха Ргг = 0.9. (й — в)-модуль турбулентности (и. 11.5.2) н другие модели, нспользуюшне два уравнения в сочетании с сжимаемыми уравнениями Навье — Стокса, использовались в работах [Соак!еу, Рис. 18.1.
Влияние течения вверх по н о ~ т о к у и а т у р о у л е и т и у м в в з к о е т ь д е з а в н х Р е н н ь = ди/ду — до/дх. Вдали от твердой поверхности вместо (18.13) используется формула 1аг = 0.0168р!' оЕо (!8.18) $18.1. Физические упрощения 47Ь 1983; Ногз11пап, 1986! и ряде других. Марвин !Матч(п, 1983] отмечает, что связанные со сжимаемостью дополнительные члены в (й — е)-модели несущественны при числах Маха, меньших пяти, и, следовательно, могут быть отброшены. В турбулентных течениях вблизи твердой поверхности имеют место очень большие градиенты скорости и температуры в направлении нормали.
Для турбулентного пограничного слоя у поверхности РЕ на рис. 17.14 удобно ввести локальное обезразмеривание у~= — ', и+ =— (18.22) О ич ' где у измеряется в направлении нормали, и,=(т /р)пз и сдвиговое напряжение на стенке т =1зди/ду~ Для правильного разрешения профиля скорости необходимо ближайшую к стенке точку сетки поместить на расстоянии уе(5, т. е. в ламинарном подслое. В сжимаемых течениях для правильного разрешения температурного профиля в направлении нормали может понадобиться расположить ближайшую к поверхности точку сетки на расстоянии у+ ( 2. Для того чтобы избежать столь мелких сеток вблизи стенок„ часто вводятся тонкие слои, внутри которых, пренебрегая градиентами скорости и температуры вдоль стенки, строят алгебраические пристенные функции.
Если др/дх и т. д. рассматривать как заданные внешние параметры, в полученное таким образом «течение Куэтта» входят лишь нормальные производные„ которые могут быть проинтегрированы, в результате чего определяется решение на внешней границе тонкого слоя.
Тонкий слой может быть использован как граница расчетной области, а пристенные функции определяют граничные условия. Толщина слоя выбирается так, чтобы расчетная граница попадала в интервал 30 < у+ < 200. Можно использовать и обычную сетку, т. е. заканчивающуюся на стенке, в которой ближайшая к стенке точка попадает в интервал 30 < узе < 200.
В этой точке решение определяется пристенными функциями. Для поверхности РЕ на рис. 17.14 пристенная функция совпадает с классическим «законом стенки», т. е. и+ =5,0+ я!ну+, (18.23) где обычно постоянная Кармана я=0.41. Для приведения и+ к физическим координатам необходимо знать т и, следовательно, ди/ду~ .
Это значение определяется через решение во внутренней части области при помощи односторонних разностей. Пристенные функции для течения не в пограничном слое, т. е. вблизи 1)Е на рис. 17.14, могут быть также получены из Гл. 18, Сжимаемые вязкие течения модели Куэтта. В работе Патанкара и Сполдинга [Ра1ап(гаг, Вра!6(пп, 1970] приведено полное описание такого подхода. По существу тот же подход использован для определения граничных условий в (й — е)-модели турбулентности [Ра1ап(саг, Ьра1- х)(пд, 1974]. 18.1.2. Течения с постоянной полной энтальпией Лля трансзвуковых вязких течений без внешних тепловых источников изменения температуры в расчетной области малы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
