Fletcher-2-rus (1185919), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Для стационарных задач итерации (17.123), (17.124) достаточно проводить три-четыре раза на каждом физическом шаге по времени Лй Сходимость к решению уравнения (17.92) достигается прн приближении решения (17.93) к стационарному состоянию. На каждом шаге по времени Л! для решения уравнений (17.!23) н (17.124) можно непосредственно применять 29 К. Флетчер, т, в 460 Гл.
!7. Несжимаемые вязкие течения на втором шаге (17.128) Дополнительные члены )(о) и д(и) возникают при применении теоремы Грина к деф/дхе и дезр/дуе для узла Галеркина, расположенного на границе (п. 8.4.2). Для поверхности РЕ на рис. 17.!4 7(о) =0 и д(и)= и,и/Ау. Если расчетная граница совпадает с поверхностью уступа, то или = О. Однако, чтобы избежать трудностей, связанных с сингулярностью завихренности в точке Е„Флетчер и Сринивас ввели поверхностный слой. В результате или не равно нулю. При применении метода Галеркина с конечными элементами вблизи границы используются два четырехугольных элемента, а не четыре, как во внутренней области. Следовательно, вид массового и разностного операторов по нормали к границе отличен от операторов (17.115), используемых внутри.
Однако массовый и разностный операторы по касательной к границе имеют тот же вид, как и внутри. Например, на поверхности РЕ (рис. 17.14) — = й Ф 'Г (17. 129) алгоритм Томаса (п. 6.2.2) вдоль линии сетки в направлениях / и й соответственно. Уравнения (17.91) устанавливают связь между полем скорости и функцией тока. Применение одномерного метода Галер- кина к уравнениям (17.91) позволяет получить следующую зависимость решения для скорости от решения для функции тока: Мии = Еизр, М„о = — Е„зр.
(17.! 25) Эти уравнения трехдиагональные вдоль направлений линий сетки й и ! соответственно. Следовательно, после того как найдено решение для функции тока, эти уравнения могут быть легко решены, в результате чего определяется поле скоростей (и, о). Постановка граничных условий требует введения дополнительных процедур. На твердой поверхности для определения граничных значений ~ используется псевдонестационарная форма (!7.92): (17. 126) Применение метода Галеркина с конечными элементами и приближенной факторизации позволяет получить двухшаговый алгоритм, аналогичный (17.120) и (17.121).
На первом шаге (у+ в(зЖ) М„Лэ =аЛ7(Ми 9 5„„+ М„Э Ьии) ф" + + аЛ7(Ми! (и) + М„й(и)), (17.127) $17.3. Переменные завикренность — функция тока 45! Для решения уравнений (17.125) требуется определить гранич- ные условия Дирихле для о на АР. Это условие при помощи уравнения (17.91Ь) определяется через значения ф внутри об- ласти где точки с 1 = 1 совпадают с границей АР. На выходной границе (ВС на рис.
17.14) функция тока рассчитывается из уравнений (17.123) и (17.!24) с добавлением — ЛтМковс/бх. Вид операторов М„и Л„в в (17.!23), (17.!24) приведен в (!7.115). Операторы М, и Е„„определяются выра- жениями 5»»= ~„т (1, — 1, О), (!7,132) -=й~Ч После того как значения ф на ВС определены, овс определяется через значения ф внутри области при помощи выражения, аналогичного (17.13!). На границе ВС ставится граничное условие: да~/дха = 0; следовательно, 1.„„Ь = 0 на ВС в (17.120). Кроме того, операторы М, и Л„имеют вид ̻— = ( г, з, 0~, 5»= д ( — 1, 1, О).
(17.133) Соответствующие операторы в направлении у приведены в (17,115), 29» Уравнения (17.127) и (17.128) трехдиагоиальные и совместно с уравнениями (17.120) и (17.121) образуют трехдиагональную систему, решение которой позволяет определить новое значение завихренности ~»+'. Для устойчивости параметр релаксации сс должен быть ограничен условием: са (0.1. Для других зависимых переменных и, и и ф на твердой поверхности ставятся условия Дирихле. На входной границе (АР на рис.
17.!4) значения и соответствуют профилю скорости в пограничном слое вблизи Р. От верхней границы пограничного слоя до точки А значение и = 1, что соответствует скорости набегающего потока. Функция тока на АР при этом определяется из уравнения (17.91а). Уравнения (17.127) и (17.128) при )(о) = пав/Лх и ат(и)=0 используются для определения завихренности иа АР. Операторы М„и в (17.127) и (!7.128) имеют такой же вид, как в уравнениях (17.115). Операторы М, и /.„имеют вид М„=~о, —, — ~, 7.»» — —,(0, — 1, 1). (17.130) Гл. 11. Несжимаемые вязкие течеиия На удаленной границе (АВ на рис.
17.14) и=1 и ~=0. Функция тока получается из уравнений (17.123), (!7.!24) с добавлением члена ЛтМиилв/Лу к правой части (17.!23). Операторы М, и Ьии имеют вид Ми — (О' з' ~ ' Е л ' [О' 1 1)г (17134) 1 зг 1 ии дуя Как показано на рис. 17.14, расчетная граница смещается на тонкий слой от твердой поверхности. При помощи анализа порядков величин [Р1е!с)зег, Ьг!п!ттаз, 1983] значения и, и и тр на границе слоя выражаются через завихренность ~ на границе слоя.
Введение поверхностного слоя позволяет изолировать угловые точки (с! и Е на рис. 17.14) от расчетной области. Это важно, поскольку завихренность ведет себя сингулярным образом на острой кромке. Для локального определения и, и и тр вблизи острой кромки используется аналитическое решение для завихренности [1 цп(, Зс!зчт1с[егзЫ, 1965[. Детали приведены в работе [Р!е!с!зег, Ьг!п!ттаз, 1983). Вся процедура определения решения на новом временнбм слое состоит из следующих шагов. В результате решения уравнений (!7.120) и (!7.12!) находится Ь"+'. После этого для определения зр"+' три-четыре раза решаются уравнения (17.123), (17.!24).
Значения ил.~' и ия.~' определяются из (!7.125). Процедура повторяется до тех пор, пока решение не перестает изменяться. В результате получается стационарное решение. Описанный метод использовался для расчета ламинарного течения за двумерным уступом, изображенным на рис. 17.14. Характерные результаты, касающиеся длины отрывной зоны за уступом, приведены на рис.
17.!6, Очевидно, имеется хорошее совпадение с экспериментальными данными [3!п)за е! а!., 1981; Оо1бз!е(п е! а1., 1970[. Поток отрывается от острой кромки (Е на рис. 1?.14), и за поверхностью ЕР образуется отрывная зона с медленно вращающейся жидкостью. Граница отрывной зоны образуется разветвляющейся линией тока, которая сходит с кромки Е и присоединяется к поверхности 7!С на расстоянии, зависящем в основном от числа Рейнольдса, рассчитанного по высоте ступеньки (рис. 17.!6), Расстояние от обратной поверхности уступа до точки присоединения х, слабо зависит от толщины пограничного слоя набегающего потока вблизи точки Е на рис.
17.14. В этом причина различия двух наборов экспериментальных данных. Наиболее мелкая сетка используется вблизи точки Е на рис. 17.14. Размер шагов возрастает в положительном и отрицательном направлениях х до тех пор, пока шаг Лх не станет равным Лх,„; после этого г„= 1. В направлении у Лу = Лувия $17.3. Переменные аавихренность — функция тока 453 от 0С до Р'С' (граница набегающего пограничного слоя). Между Р'С' и АВ Лу нарастает с геометрическим отношением г„. Для более мелких сеток г < 1.04, гн < 1.07, Для более грубых сеток г„г„< 1.15.
В зависимости от числа Рейнольдса сходимость к стационарному решению требуется от 500 до1000шагов 24Я О случай А ) сема 111 Х67 Ф слууак В 20.0 слу ай С а слу»аа О сеуке 5 9 Х 5 9 14.00 йч 12.00 15 лла сс ак ева!1 ):.=:: л Юсыас л ее ам енуО! Ваап О.ОО 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 не„ Рис. 17.16. Положение точки присоединения прн обтекании уступа, по времени. Состояние считается стационарным, если остаток, т. е. КНЯ в (1?.117), становится меньше 10-'.
В результате применения массовых операторов в уравнениях, подобных (17.114), точность метода конечных элементов выше точности эквивалентных конечно-разностных методов. Эквивалентные конечно-разностные методы могут быть получены в результате сборки массовых операторов. Например, М„ в (17.115) заменяется оператором М„~о, —, 0~. Таким образом, путем сквозного деления на 0.25(1+гл) (!+г„) можно избежать явного появления массовых операторов в конечно-разностной форме уравнений, подобных (17.93). Влияние сборки массовых операторов на точность, устойчивость и вычислительную эффективность алгоритма исследовалось в работе [Р1е1с)1ег, ЬНп)паз, 1984] . На грубой сетке Гл.
17. Несжимаемые вязкие течения (29;к', 18) для получения устойчивого решения массовые операторы необходимо сохранять вблизи расчетных границ. Сборка во внутренних точках не влияет на устойчивость и не приводит к значительному снижению точности. В двумерном случае массовая сборка во внутренней области дает небольшой (18 $) выигрыш в экономичности. Если соответствующая формулировка в переменных скорость — завихренность (п.
17.4.2) используется в трехмерном случае, из оценки числа операторов Рис. 17Д7, Область расчета при обтекании полости, обращенной вниз по потоку. следует, что внутренняя массовая сборка позволяет получить экономию порядка 40 с)о. Рассмотренный метод может быть использован для расчета течения около обращенной по потоку полости (рис. 17.17). Полость образуется путем добавления кромки ЕО к уступу, Наличие полости сдвигает первичную область вращающейся жидкости вниз по потоку, а внутри полости могут возникнуть вторичные циркуляционные зоны. Для изменения картины циркуляционного течения по нормали к 0Е вводится вдув и отсос жидкости. Уравнения и граничные условия для этой задачи имеют тот же вид, что и в случае обтекания уступа. Функция тока тр полагается равной нулю на ЕСтЕ.
Распределение функции тока фпл получается в результате интегрирования известной скорости вдува и отсоса жидкости мол. На отрезке 0С значение функции тока постоянно, т(зпс = зрп. $17.3. Переменные завихренность — функция тока 455 Завихрениость в точке 6 (рис. 17.17) неоднозначна. Для преодоления этой трудности вводится поверхностный слой, локальное аналитическое решение внутри которого сшивается с численным решением вне слоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
