Fletcher-2-rus (1185919), страница 74
Текст из файла (страница 74)
достижения стационарного решения понадобилось около 800 итераций. Траектории частиц указывают на наличие сильной первичной вихревой структуры и на образование вторичных вихрей, которые переносятся по нормали к пластине (в сторону увеличивающихся значений г), прежде чем они сносятся основ. ным потоком (в направлении увеличения у). 17.2.2. Вспомогательная потенциальная функция Данный метод описывается здесь в контексте метода установления ($ 6.4) к расчету стационарных решений. Удобно записать систему (17.1) †(17.3) в векторном виде. Дискретизация по времени позволяет записать уравнения импульса в виде ( ча! ч) — (-!1 д! д, (няца н!) 1 ттрн 1 1!броч.! 1 1 ~яма . ! 0 ~ ке ) (17.56) где р" " = р" -1- бр" " '.
Гл. !7. Несжимаемые вязкие течения Для определения решения уравнение (17.56) разбивается на две части. Предварительная оценка значений и"+' получается в результате определения и" из уравнения и'+ Лг ° Ч (и "и*) — ( — ) Чзп* = и" — ЛЖЧр", (17,57) На второй стадии и" ~' = и* — Л! Чбр"+', (17.58) Из условия удовлетворения цие' уравнению неразрывности следует Ч и"~' = Π— Ч и — ЛГ Ч'Ьр"+' или Чз Ьрл+' = (1/Л!) Ч и . (! 7.59) Очевидно, что (17.59) — уравнение Пуассона для поправки к давлению. Это уравнение эквивалентно уравнению (!7.24) в методе проекций, отличие заключаегся лишь в величине ц'. Однако существует иной способ определения ц"+', удовлетворяющего уравнению неразрывности.
К скорости и* можно добавить безвихревую добавку ц', обеспечивающую выполнение закона неразрывности, т. е. Ч и"е'=Ч и'+Ч ° и'=О. ~ — е(з = ~ Чзф ЫА = — ') Ч и' азА. (17.63) На практике дф/дп полагается равным нулю на твердой поверхности, но на открытых границах эти значения выбираются так, чтобы удовлетворялось условие (17.63). Решение для ф не обязательно будет удовлетворять условию дф/дз =0 на границе. Поэтому рекомендуется при решении (17.57) использовать для Поскольку скорость и' безвихревая, можно ввести потенциал так, что н' = Чф. Уравнение (17.60) принимает вид Ч'ф= — Ч и*.
(17.61г Уравнение (17.61) есть уравнение Пуассона для ф, эквивалентное (17.59). Если используются эквивалентные граничные условия, то брп+! — ф/Л! (17.62) Таким образом, если в результате решения уравнения (17.61) определены значения ф, то ричл непосредственно находится из уравнения (17.62). Граничные условия для (17.61) обычно определяют значения дф/дп, подчиняющиеся глобальному ограничению, эквивалентному (17.4), 4 17.2. Исконные переменные: стационарные течения 423 а* на твердой поверхности граничное условие ":=-~Ф1 (17.64) Условие (17.64) с точностью до 0(А() обеспечивает выполнение равенства и",+' = О, где з — направление касательной к границе.
Таким образом, на (и + 1)-м временном слое обеспечивается выполнение условия прилипания. Для нестационарных задач уравнение (17.6!) необходимо решать на каждом шаге по времени. Однако для стационарных несжимаемых течений более эффективно заменить (17.6!) уравнением (17. 65) — чф+ч и о которое решается маршевым по времени методом совместно с уравнением (17.57). Обычно для решения (17.65) используется больший шаг по времени или же оно решается после того, как сделано три или четыре шага по времени для уравнения (17.57). Для малых времен уравнение (17.61) будет выполняться лишь приближенно.
Поэтому в давление необходимо ввести нижнерелаксационную поправку, т. е. заменить (17.62) на Р" =Р" Р 7!. (17.66) Выделение в поле скоростей безвихревой составляющей, т. е. составляющей, которая может быть получена из потенциала скорости, как в (17.61), лежит в основе метода проекций Чорина [СЬог!п, 1967] (см. п. 17.1.4). Впервые вспомогательная потенциальная функция явно была использована в методе РОМАС [Ашзбеп, Наг!отч, 1970].
Позднее такой подход применялся в работах [Рос(пе, 1977; Саха!Ьопц е! а!., 1983; К!т, Мо1п, 1985], где использовалась конечно-разиостная аппроксимация, и в работе [Кц е1 а1., 1986Ь] в сочетании с псевдоспектральным методом. В работах [Вг!1еу, 1974; ОЬ!а, Яо!сЬеу, 1977; т'азЬсЬ!и е1 а!., 1984; ВН!еу, Меропа!б, 1984] вспомогательный потенциал использовался для определения поля поперечных скоростей при моделировании течений в каналах (п. 16.2.2). В работе [КЬоз1а, ЯцЬ!п, 1983] применялась концептуально сходная идея расщепления скорости для расчета течений в вязких слоях большой толщины.
17.2.3. Метод 5!МРЕЕ В данном семействе алгоритмов используется дискретизация уравнений по методу конечных объемов (9 5.2) на разнесенных сетках (п. 17.1.1). Этот метод был предложен в работе 424 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения 1Ра1апкаг, Яра!йпд, 1972] и детально описан в работе [Ра1ап'каг, 1980]. Аббревиатура 81МР( Е происходит от Кепи(-1гпр!1сН Ме1Ьод 1ог Ргеззцге-11пкед ЕйцаНопз и описывает итерацион- и1тн аг,н-т 1в1 Уравни ие нарваривности "1,М-1 УНЗ и а+1 НЯ-!,М Рл в)+1,м ° т ° н.
Ъ,М Н1+т,н-т н1,н-т а)тн-1 1с1 Уравнение иипуптсапо оспу 1Ы Уравнение иипттваса по оси и Рис. 17тн Контрольные объемы, иснользуемые в методе 5!МРьЕ. ную процедуру решения дискретных уравнений. Итерационная процедура здесь рассматривается как метод установления для решения нестационарных уравнений (17.1) — (17.3) в дискретном виде с целью определения стационарного решения.
Будет показана важная связь с методом вспомогательной потенциальной функции (и. 17.2.2). На разнесенной сетке для различных уравнений используются различные контрольные объемы (рис. 17.9). Кроме того, сдвинуты сеточные индексы, связанные с определенными зависимыми переменными (рис. 17.9). В результате физическое поло- ЖЕНИЕ ЗНаЧЕНИЯ Р;ЕЫЕ, Л СОВПаДаст С ПОЛОЖЕНИЕМ иг, Зо а РЬ а+Не совпадает с аь а. Приведенная ниже дискретизация соответст- 4 17.2. Исходные переменные: стационарные течения 42о вует однородной сетке. Более общий случай неоднородной сетки можно найти в $5.2 или работе [Ра!ап(саг, 1980].
Для контрольного объема, изображенного на рис. 17.9(а), применение метода конечных объемов (8 5.2) к уравнению неразрывности (17.1) позволяет получить дискретное уравнение (и"2> — и"", )Лу+(о"+' — о""' )бх=О. (17.67) Применяя метод контрольного объема к уравнению х-компоненты импульса (!7.2) с контрольным объемом, показанным на рис. 17.9(Ь), можно получить дискретное уравнение ( — У) (и"+' — и" ) + (рп>п, „— р>,.'), ) Ьу+ + (0п> Ои> ) Лх+ (ряе> рче>) Лу 0 (17 68) где рп'=и' — — — ", >хп>=ио — — — ". йе дх' йе ду' Таким образом, 1 н>,2 — и>е РД»2 х — — 0.25(и> „+и)ч> 2) йе хх 1 п>х > — и)2 О)1')е >)2=0.25(о + о, )(и +и.,) —— (~~У ) (рп+> „Е ) ( (Рп> Р(2> + (сх(2> — с>1".> ) Лх + (р".+' — р,".
е') Лх = О, (17.70) где Д2) о2 йе ду ' 1 до Р>2) — ио йе дх' Следовательно, (17.68) можно переписать в виде ( —" + а". ) ивч ' + ~ апеи'„'еч' + Ьн + бу (р" > >> „— р" "') = О, (17.69) где 2 а„" и„"+> означает все конвективные и диффузионные вклады из соседних узлов. Коэффициенты а" 2 и а„" зависят от размеров сетки и значений и и о на и-м временнбм слое. Член "= — Лх Луи>, 2))Лг.
Можно заметить, что некоторые члены в Р>>) и Оч» вычисляются на п-м временнбм слое, в результате чего система (17.69) линейна относительно и"+'. При помощи контрольного объема, изображенного на рис. 17.9(с), дискретная форма уравнения у-компоненты импульса (17.3) может быть записана в виде 426 Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения Подстановка Р1з1 и 01з! в (17.70) позволяет записать его в виде ( » 1 н» ) оле1 ( ~~ и» о»+~ 1 Ь» ( Лх ( ае~ ~»е~) — 0 дхд Дс 1ь 1ь »ь »ь ь ь+~ ьь (17.
71) где различные коэффициенты имеют ту же интерпретацию, что и в уравнении (17.69). На любой промежуточной стадии итерационная процедура $1МРЕЕ осуществляет перевод решения с и-го временного слоя на (и+ 1)-й. Значения скорости определяются в два этапа. Сперва решаются уравнения импульса (17.69) и (17.71), в результате чего определяется аппроксимация и* величины и"+', которая не удовлетворяет уравнению неразрывности. Используя приближенное решение для скорости п', определяют поправку к давлению Ьр. При помощи этой поправки определяются новые значения давления р»е' = р" + бр и поправка скорости и'. С учетом этой поправки н»+' = и'+ и', где и"+' удовлетворяет уравнению неразрывности в дискретной форме (17.67).
Для определения и" уравнения (17.69) и (!7.71) аппроксимируются следующим образом: ( ~ +а" ) и' + ~ и„"ьи'„,= — Ь вЂ” Лу(р,"., +р" ), (17,72) ( +~» и)" ь+ ~~'., и ьа ь= Ь" — Лх(Р" +Р" ) (17.73) Вычитание (17.73) из (17.71) позволяет получить аналогичное уравнение для о'. Однако, чтобы сделать связь между н' и Ьр как можно более явной, в алгоритме 3!МРЕЕ используется следующая аппроксимация (17.74): и' =с( „(Ьр,. — Ьр, и), (17.75) Патанкар [Ра(ап)саг, 1980] рекомендует записывать уравнения (17.72) и (17.73) в виде скалярных трехдиагональных систем вдоль каждой х-линии сетки (й постоянно) и использовать для решения алгоритм Томаса (п.
6.2.2). Далее (17.72) и (17.73) записываются как скалярные трехдиагональные системы вдоль линий у (1 постоянно) и вновь решаются по алгоритму Томаса. Такая процедура похожа, но не идентична методу АР!, рассмотренному в п. 8.2.1. Для определения поправки и' уравнение (17.72) вычитается из (17.69). В результате получается ( дт +и~», ь) иг,ь= —,г' и ьи»ь Лу(брг+~ ь — ЬР1 и). (17.74) 4 17.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
