Fletcher-2-rus (1185919), страница 72
Текст из файла (страница 72)
2 х=а Ух» янз =агс( —,',;.,— т ос!р...)»- (=! ~х+! х((! 1 * Х~ х((! +0;,~„~ —,ихх»ь — ~„бах», р(, + ! — ! ии.»- ! "и((! 1 ° х "и((! + 0а(п ~а! о(, ! ~„0(, ри + нг -! ми»-! " и ((! 1 1 ° Х~ " и ((! + Оа, аг +! — о(ч «р +! — 7 0«г +(, рг ! Разделение суммирования в (17.39) проведено с целью обособления некоторых граничных величин. При помощи СРЬМ представления (17.23) правая часть КНЬв может быть заменена выражением «((! х».! ггх((! иве! жН3и и! "(,а 1 ('х"' "х»ь г«! Ы Все значения скоростей на границах в уравнении (17.40) определены граничными условиями. Уравнения (17.39), (17.40) применимы во всех внутренних узлах.
Следовательно, значения и' и о* на границах не нужны. Однако в (17.39) присутствует граничное значение р, поэтому требуется граничное условие для р. Оно получается из уравнений (17.23) и (17.1), Для ! = 1 и Л', + 1 можно получить (17. 41) 4!2 Гл. !7. Несжимаемые вязкие течения описано решение задачи о движущейся полости при числе Рейнольдса порядка 1О' и У, = А7и = 31.
Для получения стационарного решения понадобилось от 15 000 до 30 000 шагов по времении. Наряду с уравнениями (!7.43) и (17.44) для формулировки граничных условий для давления в работе [Кп е! а)., 1987а[ использовался также более распространенный способ определения градиента давления на границе нз уравнений импульса (!7.2) и (17.3). Для термически движущейся полости два способа задания граничных условий дают аналогичные решения при числах Рэлея порядка 10'. Однако при числе Рэлея порядка 10' использование формул (17.43) и (17.44), которые позволяют более точно обеспечить выполнение уравнения неразрывности, позволяет получить и более точное решение.
В работе [Ки е! а!., 1987Ь[ описанный метод был обобщен для расчета трехмерной задачи о движущейся полости при числах Рейнольдса до 1000 на сетке 31 Х 31 Х 16 (рассматривалась симметричная относительно плоскости г = 0.5 задача). С вычислительной точки зрения основная модификация заключалась в введении разложения по собственным функциям, что позволило свести решение трехмерного уравнения Пуассона к последовательности одномерных задач, Это резко уменьшает объем памяти, который понадобился бы при прямой факторизации трехмерного уравнения Пуассона. Из расчетов, представленных в работе [Кп е! а1., 1987Ц (рис.
17.7), следует, что течение в трехмерной движущейся полости существенно отличается от течения в двумерной полости. Различие меньше при меньших числах Рейнольдса. В рассмотренной задаче движущаяся крышка полости располагалась в плоскости у = 1 и занимала по пространству интервал 0 ( х ( ( 1, 0 ( г ( 1. В работе [Кп е! а!., 1987а[ рассмотрено также применение СРВМ в обычном методе МАС (п. 17.1.2) на неразнесенной сетке. Глобальная неявная связь производных от давления в дискретизации СРЬМ препятствует появлению двух внутренне однозначных, но не связанных из-за использования центральных разностей на неразнесенной сетке (и, 17.1.1) решений для давления.
В работе [Кп е! а1., 1987а[ отмечается, что если граничные градиенты давления исключаются за счет ди/д! и дп/д! из уравнений импульса, то получающийся маршевый по времени алгоритм устойчив. Этого оказывается достаточно для подавления неустойчивости явного псевдоспектрального метода, в котором градиенты давления определяются из стационарных уравнений импульса [Мо!п, Кпп, 1980]. 6 17.1. Исходные переменные. нестационарные течения 413 о.в 0.4 о. о -0.6 -0.4 -0.2 0 0,2 0.4 0.6 0.6 1.0 ч 06 04 0.2 -0.2 -04 О.В 1.О 0 0,2 ОЛ 0,6 Рис. 17.7.
Сравнение двумерного и трехмерного распределений скорости при Не = 1000. (а) Профили скорости на вертикальной центральной линии, х = = 0 5, г = 0.5; (Ь) профили скорости на горизонтальной центральной линии, у = 0.5, г = 0.5 ([Кц ег а1., 1987Ь); печатается с разрешения Асаг)егп)с Ргезз). лась неявная аппроксимация уравнения (17.22), то из-за нелинейности (17.22) при решении понадобилось бы производить факторизацию плотной матрицы на каждом шаге по времени. Для реальных двумерных и трехмерных задач это сделало бы алгоритм крайне неэффективным. Основной недостаток подхода СРоМ при расчете стационарных или слабо меняющихся течений заключается в сильном ограничении на шаг по времени (17.45). Если бы использова- но 414 Гл. 17.
Нееаеимаемые вязкие течения В работе [Оо11!!еЬ е1 а!., 1984] проведен обзор методов, в которых используется интегрирование по времени для расчета вязких несжимаемых течений, и предложено расщепить решение уравнений, подобных (17.22), на два этапа. На первом этапе рассматриваются лишь конвективные члены, которые аппроксимируются явным образом. Второй этап включает в себя учет вязких членов, для которых возможна неявная аппроксимация.
Поскольку такая система линейная, в СРВМ-методе понадобится лишь одна факторизация на первом шаге по времени. Такое расщепление в псевдоспектральном методе использовалось в работе [Мо!п, Кпп, 1980) и в смешанном спектрально- псевдоспектральном методе в работе [Огэгап, КеПэ, !980]. В последней работе для конвективных членов использовалась частично неявная аппроксимация, полученная в результате их приближенной лииеаризации на каждом временнбм шаге. Однако в работах [Мо!п, Кпп, 1980; Огэхад, Ке!1з, 1980) полиномы Чебышева применялись лишь по одному направлению; периодические граничные условия позволили использовать ряды Фурье в двух других направлениях.
Кроме того, в обеих работах применялся метод ЕГТ, а не матричные операции, как в работах [Кц е1 а!., 1987а, Ь]. Спектральные методы используются для исследования основных неустойчивостей, приводящих к переходу от ламинарного течения к турбулентному. В работе [Огзхай', Ке!1э, 1980) показано, что для плоских течений Пуазейля и Куэтта переход происходит при числах Рейнольдса порядка 1000. В работе [Огзхап, Ра1ега, 1983] показано, что для перехода в сдвиговых течениях необходимы трехмерные возмущения. При изучении переходов в сдвиговых течениях высокое временнбе разрешение важнее пространственного.
Однако при прямом моделировании турбулентности [Огэхап, Ра1ега, 1981; ВгасЬе1 е1 а1., 1983] высокое пространственное и временнбе разрешения одинаково важны. Наиболее широко спектральные методы применялись для решения задач, в которых границы расчетной области совпадали с линиями постоянного значения независимых переменных. Для расчета течений в областях более сложной формы можно преобразовать уравнения к связанным с границей обобщенным криволинейным координатам (гл.
12) и использовать какой- либо спектральный метод уже в однородной в обобщенных координатах области. Однако для сохранения высокой точности спектральных методов параметры преобразования $, и т. д. должны также вычисляться спектральными методами [Огэхай, 1980) . Для конечно-разностных методов высокого порядка $ 17.1.
Исходные переменные; нестационарные течения 415 точности для параметров преобразования достаточно использовать формулы второго порядка ($ 12.2). Использование полиномов Чебышева для определения точек коллокации (5.152) приводит к мелкой вблизи границ и сравнительно грубой во внутренней части области сетке. Это особенно удобно при рассмотрении вязких течений, поскольку появляется возможность хорошего разрешения тонких пограничных слоев, возникающих вблизи стенок при больших числах Рейнольдса. Для задач с большими градиентами внутри области (например, вязкие сжимаемые течения или задачи с движущимися фронтами) распределение точек, обусловленное полиномамп Чебышева, может оказаться менее эффективным.
Один из эффективных путей преодоления этой трудности, одновременно позволяющий рассматривать спектральными методами сложные геометрии, состоит в разделении всей области на несколько 0(10) подобластей. В каждой подобласти используется спектральный метод.
Для течения за уступом !Ра1ега, 1984! вся область (рис. 17.4) разделялась на семь подобластей. Для довольно точного решения в каждой подобласти достаточно использовать от шести до семи полиномов Чебышева по каждому направлению. Использование отдельных спектральных разложений в каждой подобласти приводит к новой задаче обеспечения непрерывности решения при переходе из одной подобласти в другую.
Для несжимаемых уравнений Навье — Стокса (!7.1) — (17.3) при переходе через границы подобластей должны быть непрерывны давление, компоненты скорости и первые производные от компонент скорости в направлении нормали к границе. Данные условия непосредственно используются в работе [Кц, На!х1ачгаш1- б!з, 1987) при рассмотрении течения у входа в трубу в переменных скорость — завихренность. В работе 1Ра1ега, 1984) удалось избежать явного наложения условия непрерывности производных скорости.
Патера применил спектральный элементный метод, в котором используется лагранжева интерполяция узловых неизвестных, основанная на чебышевских полиномах и точках коллокации. Модифицированный метод проекции, эквивалентный (17.22) — (17.24), использовался для перехода с временнбго слоя и на п+!. Промежуточное поле скоростей получается из явной аппроксимации конвективных членов в уравнении импульса. Эти промежуточные значения скорости используются в качестве источника в уравнении Пуассона, эквивалентном (17.24). Полученные значения давления используются в уравнении, эквивалентному (17.23), для дальнейшего уточнения значений скорости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
