Fletcher-2-rus (1185919), страница 76
Текст из файла (страница 76)
понент скорости. Это приводит к сравнительно плотным матрицам $, А и В в (17.86), с чем связано большое число итераций в последующем итерационном алгоритме [Р!е1сЬег, 1984[. В (17.84) и (17.85) было проведено интегрирование по частям вязких членов с весами; для простоты изложения предполагается, что расчетная область прямоугольная и хс < х < хя, ув < < у < уг. Подстановка (17.82) в (17.83) — (!7.85) приводит к системе уравнений, которая может быть записана в виде 4 !7.2, Исходные переменные: стационарные течении 433 Вычислительная эффективность повышается, если использовать линейную интерполяцию компонент скорости и постоянное значение давления иа каждом элементе. Однако такая комбинация для определенных областей расчета и граничных условий может привести к осцилляциям в поле давления. Проблема осцилляций давления, возникающих при различных комбинациях интерполяций, в общем виде рассматривалась в работе [8ап! е1 а!., 1981].
Осцилляции могут быть значительно уменьшены или совсем устранены путем специального подбора дополнительных вычислительных граничных условий, связанных с используемой интерполяцией. Необходимо всегда для давления использовать интерполяцию более низкого порядка, чем для скоростей. Если при этом все еще остаются осцилляции давления, для получения полезной информации решение можно сгладить или отфильтровать. В работе [Ьап! е1 а!., !98!] теоретически обосновано и чис. лепно подтверждено, что поведение скорости всегда хорошее, даже если давление осциллирует. Необходимость использования интерполяции более низкого порядка для давления, чем для скорости, следует непосредственно из подстановки (17.82) в (17.83).
В работе [5с!гпе!бег е1 а!., 1978) показано, что если в методе вспомогательного потенциала (п. 17.2.2) используется дискретизация методом Галеркина с конечными элементами, то для интерполяции скорости и давления можно применять формулы одного порядка. Такой же результат получается при использовании группового метода конечных элементов [Е!е1с)тег, 1982; Ьг!и!чаз, Е!е1с)тег, !984) для расчета сжимаемых вязких течений при малых дозвуковых числах Маха. По сравнению с алгоритмами типа 8!МРЕЕ на разнесенных сетках квадратичная интерполяция для скорости и линейная для давления позволяют получить очень точное решение для скорости, если только пограничные слои, образующиеся при больших числах Рейнольдса, разрешены соответствующим образом [Саз1го е1 а!., 1982].
Если этого не сделано, в решении появляются осцилляции, связанные с сеточным числом Рейнольдса (п. 9.3.1). В появлении осцилляций есть и положительный момент, поскольку они указывают иа то, что физически важные свойства течения не учитываются соответствующим образом. На практике в методе конечных элементов используется сравнительно небольшое число элементов (или узловых точек), покрывающих расчетную область.
Возникновение осцилляций при умеренных и больших числах Рейнольдса в решениях, полученных общепринятым методом конечных элементов, привлекло интерес к методу Петрова — Галеркина [Е!е1с)тег, !984], позволяющего учитывать направление потока при рассмотрении 23 К. Флетчер, т. а Гл. 1?. Несжимаемые вязкие течения ар + (ф+ — ~) =0 (17.87) где е — малый параметр, обычно 10-в < е (10-'. Данный подход имеет некоторую аналогию с методом искусственной сжимаемости (п. 17.2.1), но не требует применения метода установления. Уравнение (17.87) в точной или дискретной форме используется для исключения давления из уравнений импульса. В дальнейшем уравнение (17.87) вновь используется для определения давления.
Метод штрафных функций широко применяется в сочетании с методом конечных элементов. Для эквивалентной задачи Стокса, т. е. для уравнений Навье — Стокса без конвективных членов, показано [Вакег, 1983], что метод штрафных функций может быть получен из задачи минимизации функционала, в котором одновременно выполняются уравнения неразрывности и импульса. Обобщение на уравнения Навье — Стокса следует из замены вариационной формулировки формулировкой Галеркина (взвешенных остатков) (в 5.1).
Использование штрафных функций в методе конечных элементов производится двумя способами. В первом уравнение (17.87) подставляется в стационарную форму уравнений (17.2) и (17.3). Далее к полученным уравнениям применяется метод Галеркина с конечными элементами. Такой подход использовался в работе [Нид)тез е1 а1., 1979], где для скоростей применялась линейная интерполяция на четырехугольных элементах. Однако при численном определении интегралов в уравнениях, эквивалентных (17.84) и (17.85), используются квадратуры конвективных членов Я 9.3). В работе [Вгоо)сз, Нцдйез, 1982] такой подход использовался вдоль каждой локальной линии тока, в результате чего удалось избежать численной поперечной диффузии (п.
9.5.3). Весьма эффективный путь построения точных неосциллирующих при больших числах Рейнольдса конечно-элементных методов основан на том, что осцилляционные ошибки связываются с членами разложения высокого порядка в ряд Тейлора по времени соответствующего метода установления. Такой подход является развитием идей, изложенных в $ 9.2 — 9.4.
Данный метод впервые был предложен Бейкером [Ва(сег, 1983]. В дальнейшем этот метод развивался под названием слабая тейлоровская трактовка (Т%8) метода Галеркииа с конечными элементами [Ва'кег е1 а!., 1987]. Применив метод штрафных функций [Тегпат, 1968], можно исключить явное наличие давления в уравнениях импульса. В этом методе уравнение неразрывности (17.1) заменяется урав- нением 4 17.2. Исходные переменные: стационарные течения 438 Гаусса [Л!еп(с!ечг!сг, !977]. При определении штрафных членов, заменяющих давление, необходимо использовать квадратуры сокращенного или более низкого порядка. Все остальные члены вычисляются по квадратурам достаточно высокого порядка.
В работе [Бап! е! а!, 1981] показано, что использование сокра- Рис. 17.11. Естественная конвекция в крыловом трубопроводе горючего. (а) Конечно-элементная сетка; (Ь) контуры температуры; (с) векторы скорости; (д) линии тока ((Еппе1тап, 19821; публикуется с разрешения Р!цм Оупат!с !п1егпа1!опа1). шенных квадратур эквивалентно более низкому порядку интерполяции давления. Во втором способе — согласованном методе штрафных функций [Епде1шап е! а!., 1982] — уравнение (17.87) приводится к дискретному виду в соответствии с обычным методом Галер- кина, но для давления и штрафной функции используются интерполяции более низкого порядка. После этого при помощи дискретного представления (17.87) исключается дискретное поле давления в уравнениях (17.84) и (17.85).
Для четырехугольных элементов с линейной интерполяцией скорости и постоянным давлением обе формулировки идентичны на дискретном уровне. 28ч Гл. 17. Несжимаемые вязкие течения 436 Применение штрафных функций приводит к сглаживанию поля давления [Бап( е! а!., 1981[, хотя может понадобиться и дополнительное сглаживание [Ниц(зез е! а!., 1989). Метод штрафных функций обычно значительно экономичнее смешанной интерполяции (и, о, р).
При квадратичной интерполяции скорости на элементах с искривленными (для удобства описания нерегулярных областей) границами согласованный метод штрафных функций более точен [Евое!тап е! а!., 1982[, чем метод сокращенного интегрирования, н лучше обоснован теоретически. Метод конечных элементов пригоден для разработки универсальных программ расчета связанных задач: течение жидкости и перенос тепла в областях сложной геометрической формы. Примером такой универсальной программы является программа Р!ПАР (Р1нЫ Рупагп!с Апа!уейз Ргодгат) [Епде1гпап, 1982[, Пример задачи, успешно моделируемой программой Р!!!АР, приведен на рис. 17.11. В трубопроводе, проходящем через бак для горючего в крыле, имеются три электрических провода разной температуры.
По программе НВАР рассчитана естественная конвекция воздуха в промежутках между проводами. На рис. 17.11 приведены конечно-элементная сетка, изолинии температуры, векторы скорости и линии тока; число Рэлея равно 800000. Можно видеть тепловые лики, поднимающиеся от горячей проволоки и отклоняющиеся к холодной. В сетке 2654 узла и 624 девятиточечиых четырехугольных элементов. й 17.3. Переменные завихренность — функция тока Вместо того чтобы решать уравнения в исходных переменных, можно, по крайней мере в двумерном случае, избежать явного наличия давления в уравнениях, если ввести в качестве зависимых переменных завихренность и функцию тока (п.11.5.1).
В двумерном течении в векторе завихренности в=го(с! имеется лишь одна компонента, которая обычно определяется как ди дв ду дх ' (17.89) Уравнение переноса завихренности (11.85) с учетом уравнения неразрывности (17.1) может быть записано в виде $ !7.3. Переменные завихренность — функция тока 437 где число Рейнольдса 1се = (7 !./~. В двумерном случае функция тока определяется уравнениями и= —, с= —— дф дф ду' дх' (17.91) Подстановка этих выражений в уравнение (17.89) позволяет получить уравнение Пуассона для функции тока дхф дхф (17.92) Уравнения (17.90) — (17.92) описывают несжимаемое вязкое ламинарное течение в переменных завихренность — функция тока. Прямой подстановкой выражений (!7.9!) в уравнение (17.90) можно исключить явное наличие переменных и и о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
