Fletcher-2-rus (1185919), страница 64
Текст из файла (страница 64)
В каждой точке вниз по потоку уравнения (16.191) — (16.193) рассматриваются как нелинейная система уравнений для 91" а, /а=1, Ф„, где п=(и, о, р)г. Эта нелинейная система линеаризуется и решается итерационно методом Ньютона — Рафсона (п. 6.1.1). Якобиан получается блочно-трехдиагональным, и каждая стадия итераций Ньютона — Рафсона может быть эффективно проведена методами, описанными в п. 6.2.5. После 366 Гл. 16.
Течения, описываемые к1Ч6-уравнениями Навье — Стокса сходимости итераций Ньютона — Рафсона на )чм слое вниз по потоку процесс повторяется на (1+ 1)-м слое. Каждый марш вниз по потоку составляет одну итерацию в процессе релаксации (п. 6.3.1). Рубин и Редди (йцЬ1п, кеИу, 1983] провели анализ по Нейману (9 4.3) линеаризованной (т. е. 4 4в Ф 4мнх Рнс. 16.23. Граничные условия для симметричного аэродинамического нро- филя. с замороженными коэффициентами при производных) системы (16.191) — (16.193). Максимальное собственное число имеет вид Л-)-С,( "~" ) ( — "-"), где С~ — константа порядка единицы.
Область расчета лежит В пределах 0 » (х » ~хтах 0 (» й » (угнан. Поскольку Л ( 1, про цесс релаксации устойчив, но становится очень медленным, когда Л близко к единице. Это имеет место при больших значениях йгоах или малых Лх и хмам Особый интерес представляет член (паях/у,„). Для дозвуковых вязких течений было показано (16.176), что устойчивое решение за один маршевый проход может быть получено, если (пЛх/у „) ) ацэ. При оэ = 1 в случае несжимаемого течения св = 1. Таким образом, хотя.
благодаря использованию повторяющихся маршевых проходов, удалось избежать ограничений, следующих из условия устойчивости (16.176), попытки проведения расчетов при птах/у „« 1 делают алгоритм крайне неэкономным, так как релаксационный процесс в этом случае сходится очень медленно. В соответствии с условием (16.176) можно ожидать, что для более сжимаемых течений скорость сходимости повторных маршей может быть увеличена в результате э 16.3.
Внешние течения применения метода Виньерона. Данное утверждение подтверждается в работе' [тсцЫп, 1985]. Для улучшения сходимости процесса релаксации Рубин и Редди применили многосеточные итерации (п. 6.3.5). Для адекватного представления в тонком вязком слое вблизи стенки требуются сильно сжатые в направлении т! сетки. Это уменьшает эффективность многосеточного подхода, в первую очередь из-за трудностей, связанных с интерполяцией. Поэтому Рубин и Редди использовали многосеточный алгоритм в направлении $. Разиостные уравнения (16.!91) — (16.193) могут быть записаны в виде ( еци рь (16.196) где 4!л(=[и, о, р)т) — решение на сетке типичного размера п(нм Л$). Предполагается, что значение А$ вниз по потоку постоянно или меняется слабо.
Правая часть гл содержит все члены с предыдущего (и — 1)-го маршевого прохода, т. е. гл содержит р" — ' и ин — ', вн — ' в отрывной зоне. Как и в (6.84), л-й маршевый проход вниз по потоку можно интерпретировать как сглаживание или релаксационный процесс. После того как получено сходящееся решение (!6.196), р" = р" — ' и т. д., Рубин и Редди для решения (16.196) применили многосеточный алгоритм РАБ (п.
6.3.5). В работе [ццЫп, тхет!бу, 1983) использовались сетки четырех уровней. На каждой сетке осуществлялось два или три релаксационных прохода, которые сопровождались переходами по сеткам в обоих направлениях. После того как достигалась наиболее мелкая сетка, для окончательной сходимости использовались лишь две наиболее мелкие сетки. Для безотрывных течений применение многосеточного метода позволяет на два порядка уменьшить число требуемых итераций и время счета, даже при малом значении (пйх/у „).
Однако в работе [тхцЬ!и, тсеббу, 1983) отмечается, что если в течении возникает зона отрыва или сильно меняется значение Ач, многосеточный алгоритм становится не столь эффективным. Типичная конформная сетка для расчета течения у профиля, расположенного под нулевым углом атаки, приведена на рнс. 16.24. Для лучшего отображения характера сетки увеличен масштаб по у. Было рассчитано ламинарное течение при Ке = =10000. Линии тока вблизи задней кромки изображены на рис. 16.25.
Видно образование небольшой отрывной зоны. С использованием двухуровневой алгебраической модели турбулентной вязкости (п. 11.4.2) было рассчитано также турбулентное течение (Яе = 5 Х 1О'). В работе [тхцЫп, КесЫу, 1983[ 24 К. Флетчер, т. 2 370 Гл. 16. Течении, описываемые ВМ5-уравнениями Навье — Стокса еы з 2 ез 8 о й е.г аъ ед се г.е -се -е.в ее ее ые Горизонтальное расстоиниеХ Рис. 16.24. Конформная сетка для течения у профиля МАСА-0012 под нулевым углом атаки (11(иЬ(п, КеИу, 1983); печатается с разрешения Регйашоп Ргезз). ~е г ь т Рис.
16.26. Линии тока у задней кромки профиля МАСА-00!2; )те = 10000 ((КпЬ~п, йеййу, 1983); печатается с разрешения Регйагпоп Ргезз). 3 !6.3. Внешние течения 371 приведены распределения давления и поверхностного трения. Имеется хорошее совпадение с экспериментальными данными. В общем случае использование КХ8-уравнений для описания внешних несжимаемых течений требует для получения точного решения проведения большего числа итераций (маршевых проходов), чем при расчете дозвуковых или сверхзвуковых внешних течений. Однако для несжимаемых течений с выделенным направлением КХВ-подход все еще значительно экономичнее, чем решение полных уравнений Навье — Стокса методом установления (см., например, п.
!7.2.1). 1б.З.4. Вязко-невязкое взаимодействие В предыдуших разделах данной главы рассматривались за. .дачи, для которых уравнения пограничного слоя не позволяют получить даже локально правильного решения. Это может быть связано с тем, что толщина вязкого слоя становится больше толщины, допустимой теорией пограничного слоя [ВсЬ!!сЫ!пп, 1968], или кривизна линий тока может привести к значительным градиентам давления поперек вязкого слоя. Однако для тонких тел, таких, как аэродинамические профили или лопатки турбин, расположенные под малыми углами атаки, вследствие чего мала разность давлений на подветренной и наветренной сторонах, уравнения пограничного слоя с распределением давления, полученным из решения невязкой задачи, позволяют получить достаточно точное распределение локальных скоростей.
В свою очередь это решение может быть использовано для расчета толщины вытеснения (11.67), т. е. величины, на которую должен быть смещен контур тела с целью более точного пересчета невязкой задачи. Эта небольшая коррекция не- вязкого распределения давления обычно вдали от задней кромки и при отсутствии возвратных течений, связанных с отрывом потока, позволяет получить хорошее совпадение с распределением давления, наблюдаемым в эксперименте. Исторически делались попытки обобщить подход на основе толщины вытеснения на расчет течения в следе и улучшить точность комбинированного вязко-невязкого решения в окрестности задней кромки и в случае образования небольших отрывных зон [СеЬес! е1 а!., 1984]. Даже если вязко-невязкое взаимодействие рассчитывается общепринятым образом, влияние невязкого решения учитывается более эффективно, если использовать распределение толщины вытеснения для определения эквивалентной нормальной составляющей скорости на поверхности тела [1.оск, 1983]: в~ (х, 0) = — (иеб ), (16.197) 24» 372 Гл.
16. Течения, описываемые КХ$-уравненнямн Навье — Стокса где и,— скорость на внешней границе пограничного слоя. Это условие непосредственно следует из несжимаемого уравнения неразрывности и определения толщины вытеснения б" (11.67). В следе уравнение (16.197) используется как эффективный панельный источник (п. 14.1.1), расположенный на центральной линии следа. Преимущество использования (!6.197) при пересчете невязкого решения состоит в том, что расчетная сетка не меняется, а (16.!97) участвует как локальное граничное условие для уравнений, описывающих невязкую область. Непосредственное использование толщины вытеснения изменяет сетку в невязкой области на каждой итерации.
Описанная выше процедура вязко-невязкого взаимодействия может повторяться, в результате чего получится итерационный процесс, уточняющий на каждой итерации распределение давления на границе пограничного слоя и толщину вытеснения. Такой алгоритм называется методом прямой итерации (п. 14.1.4). Метод прямой итерации основан на концепции, что невязкое решение управляет решением в пограничном слое путем определения граничного условия, и,(х) или р,(х), на внешней границе пограничного слоя, а влияние решения в пограничном слое через толщину вытеснения на невязкое решение невелико. Вблизи точки отрыва характер взаимодействия коренным образом изменяется.
Попытки решения уравнений пограничного слоя перед точкой отрыва и за ней не удаются, если задается р,(х). По мере приближения к точке отрыва рассчитываемая в пограничном слое нормальная составляющая скорости о обнаруживает сингулярное поведение [Оо!бз!е!п, 1948], что не происходит в действительности. Эта трудность преодолевается при использовании так называемого обратного метода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
