Fletcher-2-rus (1185919), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Однако, по-видимому [ОЛ!а е1 а!., 1981), такая процедура будет все же существенно экономнее, чем решение полных уравнений Навье — Стокса (гл. 17 и 18)„ если области возвратного течения невелики. 3 16.3. Внешние течения Для изолированного тела течение вдали от него хорошо аппроксимируется уравнениями Эйлера (11.21).
Вывод КХЬ- уравнений (3 16.1) обеспечивает их совпадение с уравнениями Эйлера, если вязкие члены пренебрежимо малы. Следовательно, в принципе для расчета внешних течений можно эффективно использовать ц!ч Б-уравнения. Как видно из табл. 16.1, цг!5-приближение непосредственно применимо для расчета сверхзвуковых внешних течений.
После 346 Гл. 16. Течения, описываемые й1ЧЯ-уравнениями Навье — Стокса введения соответствующего дополнительного приближения для учета дозвукового поверхностного слоя (п. 16.3.1) решение К(иЗ-уравнений может быть получено в результате одного маршевого прохода вниз по потоку. Для дозвуковых (п. 16.3.2) и несжимаемых (п.
16.3.3) течений 1ср43-уравнения в дальней зоне являются эллиптическими. Это приводит к необходимости проведения повторных маршевых проходов, даже при отсутствии возвратных течений. Однако решение в чисто невязкой области можно получить более эффективно методами расчета невязких течений (гл. 14). Это приводит к введению разделения области расчета на ближнюю и дальнюю зоны. КЫЯ-уравнения решаются только в ближней зоне. 1тешение в дальней (невязкой) зоне используется как граничное условие. Аналогичный подход применяется в более традиционном методе вязко-невязкого взаимодействия (п.
16.3.4), за исключением лишь того, что в этом случае области вязкого и невязкого течений перекрываются. !6.3.1, Сверхзвуховыв течения Из анализа, проведенного в п. 16.1.3, следует, что устойчивое решение за один проход по пространственной переменной может быть получено, если поток локально сверхзвуковой. Слабое взаимодействие давления с вязкими членами, отмеченное в табл. 16.1, обычно преодолевается путем выбора шага маршевой переменной, который не оказывается слишком малым (п. 16.3.2).
Для чисто невязкого течения маршевый алгоритм описан в п. 14.2.4. В случае вязкого течения у неподвижной поверхности (рис. 16.17) из-за обращения в нуль скорости на поверхности вблизи стенки всегда должна образовываться область локально .дозвукового течения.
Чтобы избежать экспоненциального роста решения при проведении маршевого счета в направлении, параллельном поверхности, в дозвуковом подслое необходимо ввести дополнительное предположение. Как правило, это дополнительное предположение связано с градиентом давления др/дх в маршевом направлении, который имеется в уравнении х-компоненты импульса. Один из методов модификации уравнений в дозвуковом подслое, позволяющий получить устойчивое маршевое решение, заключается в пренебрежении изменением давления поперек подслоя (др/ду — 0 на рис.
16.17) [1.1п, тхцЬ(п, 1973]. Для течений, параллельных или почти параллельных поверхности, дозвуковой подслой является частью поверхностного пограничного слоя. Для течений у тонких тел пограничный слой тонкий и 347 $16.3. Внешние течения условие др/дп ж О справедливо для всего пограничного слоя ($ 11.4).
Таким образом, условие др/ду — О внутри дозвукового подслоя (рис. 16.17) согласуется с теорией пограничного слоя. На практике условие др/ду = О используется для определения давления в дозвуковом подслое путем экстраполяции Иелллллтичллккл НИЗ. урлллеллн Т 1 р,1 Ьр/Оп=О на<1 44лв~ х,п ими=О(М=Я Рис. 16.17. Геометрия нояслоя. значений из прилежащего сверхзвукового слоя, т. е. Р„= Р„л (рис.
16.17). Описанное выше приближение подслоя будет продемонстрировано на двумерном стационарном вязком (ламинарном) сверхзвуковом течении у твердой поверхности. Безразмерные уравнения, эквивалентные (11.6), могут быть записаны в виде ду до ди ди (16.131) дк + ду дх + ду где компоненты вектора зависимых переменных 41 равны и (р ри ро Е)г (16.132) Здесь Š— полная энергия на единицу объема (11.118). Компо- ненты г н С определяются выражениями Компоненты К и 8 связаны с вязкими напряжениями (п. 11.6.3). Для удобства рассмотрения искривленных поверхностей вводятся обобщенные криволинейные координаты (гл. 12).
Поскольку в настоящем примере рассматриваются течения у тонких тел, предполагается, что $ = $(х) и т) = т1(х,у). Физическая ориентация $ и т1 показана на рис. 16.18. лм Исток — и — и г — (ри, рие+ р, оии, (Е+ р)п)г, — ©„Я+ (Е ( ) о)г (16.133» о48 Гя. 1б. Течения, описываемые йМ8-уравнениями Навье — Стокса (16.134) (/о Рис. 16.!8. Обобщенные координаты 1 = в(к), Ч = Ч(я, у). иатных линий (линий постоянного значения Ч) с направлением течения.
Следовательно, основное предположение при выводе укороченных уравнений Навье — Стокса о малости диссипации в направлении потока по сравнению с поперечной диссипацией эквивалентно отбрасыванию члена дй/д$ в уравнении (16.134) и производных по в в 8. Данное приближение совпадает с приближением тонкого слоя (п. 18.1.3 и 18.4.1). Компоненты вектора $ равны О )т (Ч„'+ Чт) ич+ ()т/3) [Ч„ич+ Чиоч! Ч„ р(Ч'„+ т)„') о + ()т/3) [Ч„и„+ Ч„оч] т)„ (Чт + т)') [0.5)т(ит+ о') +(ат) й/(у — 1)/Рг) + + ()т/3) (т)„и + Чво) [Ч„ич + т)„о„] 1 8=— )(е (16.
! 37) Уравнения (16.!1) принимают вид дГ дп д(( дн +ч= +ч дй дп д$ дч ' .где Ч =т(/Х, а якобиан У = $„Ч„. Простой вид якобиана связан с предположением $ = $(х), вследствие чего в уравнении (!2.49) $т — — О. Векторы Р и тя определяются выражениями ен ~» Р (р0, ри0'+ йьр, ро0с (Е+ р) 0с)г У У к к в Ч Р+Ч О (ррс, р рс+Ч ори+я (Е+ ) Ре)г (16.136) .Здесь введены контрвариантные компоненты скорости 0'=в„и, )т'=т)„и+ т)во.
(!6.136) Введение обобщенных координат позволяет получить лучшее хто сравнению с декартовыми координатами совпадение коорди- $16.3. Внешние течения 349 где и„= — ди/дт! и т. д. Данная структура $ связана отчасти с отбрасыванием производных по $, отчасти с упрощенным видом обобщенных координат (рис. 16.18) и выбранным способом обезразмеривания. Скорости обезразмерены по а (скорость звука в набегающем потоке), плотность — по р , полная энергия Е— — по р а'. Таким образом, число Рейнольдса Ке = р а ь/р , где Š— характерная длина.
После введения основного предположения укороченных уравнений Навье — Стокса уравнение (16.134) удобнее записать в виде де дз дп дй дч дч ' (! 6. 138) Чтобы учесть описанное выше приближение подслоя, следует заменить Р в (16.135) в подслое выражением Р,1=+~~ Р,1=+(ри, рин+р,ь рио, и(Е+рм))г, (!6.139) где р,| — давление в подслое. Если и ) а(1+ е.), значение рм выражается через полную энергию на единицу объема по формуле рм =(у — 1)(Š— О.бр(из+ ое)1.
(16.140) Малый параметр е, вводится для того, чтобы избежать случай и = а. Если и ( а(1 + е,), то принимается р,| = р„„ т. е. давление экстраполируется вдоль линии постоянного значения $ из прилежащей сверхзвуковой области. Чтобы получить решение за один маршевый проход в направлении течения $, на поверхности $ = $е необходимо определить начальные значения зависимых переменных. На поверхности тела и = о = 0 давление получается из условия др/дт) = = О, значения Т или дТ/дт! задаются. Следовательно, р можно определить из уравнения состояния. На удаленной границе 41 = т1,„ значения зависимых переменных равны параметрам набегающего потока.
Поскольку координата $ играет роль времени, для дискретизации (16.138) удобно использовать полностью неявную трехслойную схему, описанную в п. 7.2.3. Тогда уравнение (16.138) заменится соотношением л ЛР"+' — — = ( — ~) КНЬ"+', (16.141) где ДРл"'=Р"+' — Р" и . д., (хН8=С,ч8 —,(.чтя, ~ч~ 01+г-61 | 350 Гл. 1б. Течения, описываемые й!чЬ-уравнениями Навье — Стокса Из выражения (16.137) видно, что (.а6 имеет форму Ьч(фЬччг).. Дискретизацию этого выражения можно провести по формуле т-ч(Нчф) =(Ф!+!М И!+! — $т) — Ф1-!М(фг — !РАЙ !))/Лт1', (16.142) где Фт+м=0.5(11!+Ф!+!) и т.
д. Индексы и и 1 в формулах (16.141)) и (16.142) определяют точки сетки в направлении $ и ч1 соответственно. Для построения эффективного маршевого алгоритма решения системы (16.141) удобно перейти к вектору зависимых переменных о и провести линеаризацию относительно известногсь на поверхности $" решения. Разложение в ряд Тейлора дает РФ-~-! Ра 1 Аао а !-! ~а+! ч Ь 1 Вао а~-! 8а+! Ва + МПЛ «+! где дР - дб дБ А чм!=, В в = =, М = — =.
(16.143) дч ' дч ' дя Знак — над символами означает, что компоненты о определяются на и-м слое, в то время как метрические коэффициенты — на (а+ 1)-м. При линеаризации Р,! в подслое следует заметить, что Рм = Р„(о, р„) при и ( а (1+ в,). Тогда и дР и = Р",!+ А,!Лй"+'+ Рр, (16. 144) где Г"-:м!Ьр"„(О, 1, О, и) Я,Я", а Лр,",!' заменяется на Лр"„ после экстраполяции из области вверх по потоку. Если и) а(1+в,), то А,!=А и Рр — — О. После подстановки (16.143) и (16.144) в (16.141) получается пе! следующая линейная система уравнений относительно Лй [А.!+ — (У.ч — У.пМ)] Ла"' = =1 — 1КНЯ" + —" — ЛА,"!с)" — ЛГр + Яй".
(16.145) 3 / 3 Дополнительные члены ЛА",! и ЛГр возникают из-за необходимости проведения линеаризациинаслоях л и л+ 1. Это обеспечивает консервативность, которая необходима для правильного $16.3. Внешние течения 361 сквозного счета скачков (см. гл. 14 и [ЬсЫП, 81епег, 1980] ). Для подавления высокочастотных осцилляций добавлен диссипативиый член четвертого порядка 999" (п. 18.5.1), который имеет вид Ыя = веАэ! (У ) (7чбч) (Уя) (16.146) где для устойчивости е, ( 1/8 и (17 Ьч)'е)" = д" — 4д" + 646 — 49"~, + д",. (16.147) Область вне подслоя также описывается системой уравнений (16.145), в которой только следует заменить А,1 на А" и положить Г„= О. При использовании центральных разностей для аппроксимации Сч система (16.145) есть (4 Х 4)-блочно-трехдиагональная при 2 ( 1'( ЗМАХ вЂ” 1 на каждом слое п+ 1 вниз по потоку. При определении правой части (16.145) используются лишь уже известные значения, расположенные по $ на и-м и (и — 1)-м слоях.
Граничные условия на твердой поверхности (1 = 1) н на удаленной (1 =,)МАХ) позволяют получить соответствующие значения Лй",+' и Айте+'„х. Для решения (16.145) применим метод решения блочно-трехдиагональных систем, описанный в и. 6.2.5. Шифф и Стегер [8сЫ11, 8(едег, 1980] использовали описанный выше алгоритм для расчета двумерных ламинарных и турбулентных течений у параболического профиля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
