Fletcher-2-rus (1185919), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Задача о закрученном течении в диффузоре рассматривалась также в работе [НаЬ, !983) методом, аналогичным рассматриваемому в п. 17.2.3. 1б.2.2. Течение е прямом канале прямоугольного сечения В отличие от задачи о внутреннем течении закрученного потока в данной задаче в поперечном направлении имеются две Пноеноот еоноретното !вторн нога! те енн еее ~еЪ„ чн ото, ее тет ее Рис, 16.12. Трехмерный канал и определение точек сетки.
независимые переменные (у, я). При выводе укороченных уравнений Навье — Стокса предполагается, что вторичные (поперечные) компоненты скорости о и и малы по сравнению с первичной (в направлении течения) компонентой и. В этом случае кривизна канала должна быть невелика.
На рис. 16.13 и 16.14 представлены результаты расчета течения в прямом канале,полученные при помощи способа, изложенного в данном разделе. Предлагаемый метод пригоден для расчета несжимаемых ламинарных течений; возможно обобщение на сжимаемые и турбулентные течения. Геометрия течения и связанные с ней параметры сетки приведены на рис. 16.12. Предполагается, что имеется предвари- Ззо Га. !6. Течения, описываемые и!ЧЗ-уравнениями Навье — Стокса тельное невязкое решение, из которого известно «невязкое» распределение давления р'""(х,у,г).
Укороченная форма безразмерных уравнений Навье — Стокса в случае трех переменных имеет вид ди ди ды + — + — =о, дк ду да (16.80) ди 1 /ди ди! и — = — ( — + — )— дк йе ч ду» да» / ди ди /др!а» др' ! о — — си — — +— ду да (, дк дк !' (16.81) (16.82) до ! /дао да» ! дк йе ч дуа дк» / + д св) дв дсв (дров» + др» ) (! 6.83 дэ ! /дсе и — = — ( дк ме ч дуа Число Ке определено на рис. 16.7.
В уравнениях импульса (16.81) — (16.83) содержится «вязкая» поправка к давлению р", равная разности между давлением в вязком и невязком р'"" течениях. «Невязкое» давление считается известным. Аналогично задаче о внутреннем течении закрученного потока (п. 16.2.1) поправка р" расщепляется на две части: р"(х, у, г) = р,",(х) + р' '(х, у, г). (16.84) В результате подстановки этого расщепления в уравнения (16.81) — (16.83) можно получить, что др»»/дх в (16.81) порядка 0((6/Ь)в), и этим членом можно пренебречь по сравнению с остальными, порядок которых равен 0(1).
Кроме того, для однородного невязкого течения в прямом канале значение р'"" постоянно и его градиент равен нулю. Следовательно, в дальнейших выкладках члены с роа» в уравнениях (16.81)— (16.83) пропадут, а для р",, и р" будут использоваться обозначения р,л и Р'. После введения расщепления давления система уравнений становится незллиптической по х, и ее решение может быть.
получеко в результате одного маршевого прохода. Поскольку осевая координата х играет роль времени, в исходной плоскости хо необходимо определить граничные условия. Таким образом, и = ио(у, г), р = ро(у, г); начальные значения поперечных скоростей оо, сио выбираются в соответствии с и„ ро и алгоритмом расчета. Граничными условиями являются условия прилипания на стенках канала; например, и = о = и! = 0 при у =- -!-0.5Н. $16.2. Внутренние течения 331 На выходной границе области расчета не требуется и не допускается постановка каких-либо граничных условий. Три уравнения импульса могут быть записаны в виде и — =АВ+8, да дх (16.85) где где лв"" = в" +' — в" в""" =0.5 (в" + в"') А"В"ч-ит=/ 1 '1 7 В""и — о"( В"+ит АхВе+цт=У 1 17 Вя+ця ыя( Вя+ге ~не/ ех .~ и Ъ'равнение (16.86) может быть линеаризовано аналогично (16.71).
В результате получится 1и" — 0.5 ьх (Анн + А~)~ лв"+' = лх (УД -1- (,д) в" + лх 8". (16.87) Эта система линейная, однако структура левой части (16.87) не позволяет построить эффективного алгоритма решения. Вместе с тем, если к левой части (16.87) добавить член +0.25ЛхЯА~3АйЬВ"+',~ возможна факторизация, подобная (8.22). В= — (и, о, тн)г, 1 т' дЧ1 дев 'т да да АВ= — ( — + — ) — о —— йе т. дуе дхт ) ду дх ' дры1 др др 1~ ( е дх ' ду ' дх Поперечные производные в АВ аппроксимируются трехточеч- ными центральными разностями ЕВ=(91чи 91 ' )+О(Л ), Т.
В 1 ' ' 1+'~) + О (Луе) уу ауе и аналогично для 7.,0 и 7.„0. Эти формулы справедливы при однородной в поперечном направлении сетке. Если использует- ся неоднородная сетка, аппроксимация определяется форму- лами (16.68). Дискретное представление уравнений (16.85), пригодноедля маршевого решения вдоль канала (в направлении х), может быть записано в виде и" = А~нВ"+и~+ Анй"+ц'+8Р, Ьх ЗЗ2 Гл. 16.
Течення, описываемые КЫ5чуравненнямн Навье — Стокса В результате можно построить следующий двухшаговый алгоритм: (и" — 0,5 ЛхАЙ ЛО' = Лх (Ав л+ Ал) 0" + Лх Ьр, (16.88) (и" — 0.5 ЛхАл) Лй"+' = Лй*. (16.89) Уравнения (16.88) и (16.89) имеют ту же трехдиагональную структуру, что и уравнения (9.88) и (9.89), и могут быть решены теми же методами, т. е. при помощи подпрограмм ВАРГАС и ВАХЗОЕ (п.
6.2.3). Порядок аппроксимации уравнений (16.88), (16.89) равен 0(Лх, Лув, Лгв). Значения и"+', о"+' и ш"е' получаются весьма экономичным образом. Первая компонента и"+' получается из Ли"+' совместно с поправкой давления на центральной линии Лр,"+' следующим образом.
Ограничение на безразмерный поток массы, аналогичное (16.57), можно записать в виде Лтк" = ~ ~ Ли".+' ду Ыг = О, ьь (16.90) где Ли"+' получается из решения уравнений (16.88) и (16.89). Однако для произвольного р,"+' и, следовательно, произвольного Зл(1) уравнение (16.90) не будет выполняться. Если 5л(!) записать в виде и+! л 3 (1)= — "' ен +0(Лхв) (16.91) и представить Лтв+' как )(рф'), то можно построить итерационный алгоритм, в результате работы которого получится такое значениер",+', что условие (16.90) будет выполнено. Например, дискретный аналог метода Ньютона позволяет получить я+Ь т я+к 0 Этот процесс обычно сходится за две-три итерации по т [ВН!еу, 1974). Для каждой итерации необходимо из уравнений (16.88) и (16.89) определить новые значения Ли"+''".
После того как будет достигнута сходимость решения уравнений (16.92), (16.88) и (16.89), будут определены значения р,"+' и и,".+'. Значения поперечных компонент скорости и и ы, найденнйе из (16.88) и (16.89), можно рассматривать лишь как предварительные, поскольку не выполнено еще уравнение неразрывности (16.80). Поэтому производится расщепление по- $16.2. Внутренние течения 333 перечных компонент: Ол+~ Ср (,л „л+~ р (,л (16.93) где предварительные значения ил и ил получаются из решения уравнений (16.88) и (16.89). Поправки н' и 1н' рассчитываются так, чтобы выполнялось уравнение неразрывности (16.80).
Как и в п. 17.2.2, поправки предполагаются безвихревыми н можно ввести потенциал ф так, что ду ' дк ' (16.94) Если соотношения (16.93) и (16.94) подставить в уравнение (16.80), то для ф получится уравнение Пуассона ди ден дмл ~7тф = — — — — — — = 7 дк ду дя (16.95) которое записывается в дискретной форме (7, ! 7, )ф"+' — (~" ! й нл ( 1,,шл)=14 (16.96) Поскольку правая часть известна из решения уравнений (16.88) и (16.89), уравнение (16.96) может быть решено методами, описанными в $ 6.2 или 6.3. Могут быть легко построены быстро сходящиеся при соответствующем выборе ф" итерационные процедуры БОК или АР! (9 6.3). Если сетка однородная, можно использовать прямой метод решения уравнения Пуассона (п. 6.2.6). Если поперечное сечение канала вниз по потоку остается постоянным, левую часть (16.96) необходимо факторизовать лишь один раз при условии, что имеется достаточный объем памяти.
Решение уравнения (16.96) в различных точках вниз по потоку требует матричного умножения с различными правыми частями, что может быть осуществлено весьма экономным образом. При решении уравнения (16.96) на стенках канала используются однородные условия Неймана, т. е. дф/дл = О. Однако в общем случае дф/дз Ф 0 на стенках канала. Следовательно, хотя ш' = 0 на стенке г = сопи! и н' = 0 на стенке у =сонэ!, граничные условия прилипания не полностью выполняются. В работе [Вг(!еу, !974) рекомендуется решать уравнения (16.88) и (16.89) с условиями прилипания для сл и 1нл.
Контроль ошибок при выполнении условия прилипаиия для о"+', ш"+' посредством разложения (16.93) позволяет, если это необходимо, уменьшать шаг Ьх. Иначе говоря, можно обратить в нуль и' и 1н' при решении уравнения (16.96), или, как в п. 17.!.6, 334 Гл. !6. Течения, описываемые К!Чя-уравнениями Наине — Стокса можно так подобрать граничное условие для оя и шя, что значения о' " и сс' " обратятся в нуль.
При решении уравнения (16.95) должна выполняться интегральная теорема Грина [Пцз1а(зоп, 1980], т. е. 1 1 (А — 1 дФ (8=0, А с (16.97) где с — контур, ограничивающий площадку А, г измеряется вдоль с, а и — внешняя нормаль к с. Таким образом, А — площадь поперечного сечения канала, с совпадает со стенками канала. Дискретное представление (16.96) не удовлетворяет точно условию (!6.97).
Следовательно, 1 в (16.96) следует заменить выражением !а=Та+,4 ~ ! !(А — ~ д с(з~ ьл Невыполнение условия (16.97) обычно приводит к медленной расходимости итераций [Вг!11еу, 1974]. Поперечная поправка давления р' в (16.84) находится путем решения уравнения Пуассона, полученного из уравнений (16.82) и (16.83). В разностной форме оно имеет вид (16,98) (~на+ Т.„) (р')"" = ~ярд+ ~.«Рд = [„ (16.99) где Рв «(о — о) ] А «е! Ьх Рд= — и + Аду а«(ы — з) «+1 Ьх (16. 100) Значения с"+' и шл+! в (16.100) находятся из (16.93), а оператор А, определен после формулы (16.85).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
