Fletcher-2-rus (1185919), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Та же задача здесь будет использована для иллюстрации механизма постановки и решения эквивалентной «укороченной» формулировки. При использовании обезразмеривания (9.91) данная задача описывается низкоскоростным двумерным уравнением энергии д д деТ деТ (иТ)+ д (оТ) — а„дхе ав д, — — О, (16.4!) 3!2 Гл.
!б. Течения, описываемые Я!ЧЗ-уравнениями Навье — Стокса быть записаны в виде «+1 — 0.55 )(оТ)";+ (оТ)";+'1 (16.44) где и, 1 — индексы сетки в направлениях х и у соответственно. Операторы (.а и Т.аа — трехточечные центрально-разностные операторы: (! 0 !)г ~и=" 2Д " (16.45) 2 ау ̄— массовый оператор, определяемый в конечно-разностной и конечно-элементной формулировках выражениями <! 2 !!г Мя = ~ б, з, — ~ длЯ конечно-элементного пРедставлениЯ, (16.46) Мв — — (О, 1, 0]г для конечио-разностного представления. Представляется, что поле скоростей (и, о) известно. Следовательно, после соответствующей линеаризации относительно Т! для ЬТ!+~( — Т!+~ — Т;) можно получить следующую линейную систему уравнений: ]Май!+' + 0.5 Лх (т'.яо!+ — ав~.ив)1 ЬТ!+ =Ьха 5 Т; "— ЛХЕ.
(01+ ~ Т,") — МвТ! Ли!+ . (16.47) Лля сравнения с полуаналитическим решением Брауна 1Вготуп, 1960] предполагается следующее распределение скорости: и = 1.5 (1 — у'), (16.48) При таком выборе распределения скорости, которое не зависит от осевого (х) положения, уравнение (16.47) упрощается: !Мии!+ 055х(7 во! — аа1аа)] ХТ,"+~ = = Лх [ав1.ааТ," — 1.и (о;Т,".)1. (16.49) Уравнение (16.49) решается по программе ТНКЕР (рис. 16.4). Основные параметры этой программы описаны в табл. 16.2. Чтобы избежать разрыва в значении Т(0, -~-!), имеющемся в условиях (16.42), в программе ТНКЕР используются следующие «начальные» данные при х=О: Т(0, у) у (16.50) 9 16.1.
Введение 1 С ХС эс 4 5 б 7 4 9 )О 11 12 13 34 С 15 1$ 17 1В 19 20 И 22 С 23 га 25 2$ 27 2$ 29 эо 31 32 33 34 эб с эб с ЮС эа 39 40 41 бг 43 44 4$ С 4$ С ° )С ба 49 50 51 52 53 $4 $5 5$ 57 ба 59 С твакв боьукв тнк кююско Роаи ог тнк твкаиаь китат Раовыз вт с.и. иаасиэиб В1НЕИ510И Т(41),ОТ[6Ы.0[411,У(41),а[65),В($,65),кн(31 1,АЬР(10),ВЧРЬ[10) ВАТА АЬР/1.6$159$3,$.6696573,9.$6$2425,1Э.6676614,17.6$73736, 121.6672053.25.6670965,29.6670210,33.6669661,37.6664Э27/ РАТА ОУРЬ/-0.9904370,1.1791073,-1.2$62447,1.3620196."1.4213257, 11.4704012,-1.5124603.1.5493060.-1.5$23В02,1.6122503/ ОРеи(1,71ье 'тиаев.нат') ОРЕМ[6.г1ЬЕ 'ТВЯЕО.ООТ') икаю(1,1)ит,июзах,не,ах,охР,хнах,РА 1 РОАЗВТ(31$,4Е10.3) ИУР ИУ вЂ” 1 Н7Н ИУ/2 + 1 НТРР ИУ - 2 ИГУ ИТР ВТ 2./АИУ И Т 1.6/РА СА 0.$*ВХ/ОУ ССА " АЬУ*ВХ/ОУ/ВУ 1Р(ИЕ .ЕО.
11КН(И 1./б. ЗР[ик .Ео. 2)ЗИ(Ю ° 0 ЕН(21 1. " 2.*ЕИ(1) Ен(31 ЕЗЗ(1) 005 Х 1,ВТ Ки 1-1 У -1. + АХ*ОТ ОСЮ 1.5*[1. - У*Т) ЧЗХ) О. 5 ТЗХ) Та*32 ВЕТ Н,Т АНВ Т 1М1Т1АЬ ВАТА бкт НР та101100ИАЬ СОВРУ(01тлтб Авв РАСТОХ1$Е В 00 6 Х 2,ИТР ХН Х-1 ХР к+1 В [1, КН) О.
В(2,Ю[1 Ен(1)*0(Ю[1 — О.РСА"У(КН) - 0.$*ССА В(Э,КИ) Киа)*0(К) + ССА В(4,ЮЗ) 'Еи(3!*О(ХР1 + 0.5~СА Ч[ХР) — О.РСОА В[5,КЗЗ! О. б СОНТ13ЮЕ В(2,1) О. В(4,ЮЗ) = О. Рис. 16.$. Распечатка программы ТНЙЕ() [начало). ТР(ик .Ео. 1)УА1ТВ[6,21 ЗР(НК .КО. 2)ВАУТК(6,3) 2 РОЮ[АУ[' Вевосев тиВанбь еитау РВОВьен Ву с.и.-ткн',/) 3 Роанбт(' Вююсав тиеани айтау РяОВьен Вт с.н."Р(и'./) ха)та[6,4)иу,июих,вх,юмх.та 4 Роаю[т(' ит ',13,' ихнах ',1$.' Ох ',В10.3,' Хнах ',Т$.3,' РВ ' ° 13'6.3. Л В)4 Гаь )6. Течения, описываемые )()(5-уравиеииями Навье — Стокса САЕ ВАИРАС (В, ИТРР, 1! Х = О. ХРВ = О. ИСТ = 0 5ОНТ О. 7 НСТ ИСТ + 1 6ЕНЕВАТЕ К.Н.Э. САьь ВАИ506(А,ОТ,В,НТРР,1) Оо 9 к = 2,ИТР 9 Т(К) Т(Н) + ОТ(К-1) х= К+Ох ЕХЯСТ С/Ь ЭОЬОТ10И сАьь техов(х,тех,та,кьг,вттц Рис.
(6.4 (окончание). Полученное решение вдоль центральной линии (у =О) сравнивается с полуаналитическим решением Брауна [Вготвп, 1960). Браун получил разделение переменных в уравнениях (16.43) и (16.48), основанное на экспоненциальио затухающем в направлении х решении и разложении по собственным числам/собственным функциям по у. Первые десять членов решения Брауна на центральной линии вычисляются в подпрограмме ТЕХСЕ (рис.
16.5). В результате работы этой подпрограммы определяется точное решение ТЕХ. Типичное решение при Лх = 0.05 и Лу = 0.2, полученное по программе ТНРЕ(3, приведено на рис. 16.6. Рассчитанное распределение температуры симметрично относительно у = О, поэтому значения температуры приведены лишь в области — 1 ( 60 61 С 62 63 64 65 66 67 С 68 С 69 С 70 71 72 73 74 С 75 76 С 77 78 79 80 С В) С 82 С Вз 84 С 85 86 87 ва 89 90 91 92 93 94 95 96 97 Эа 99 Оо 8 к = 2,ИТР КН К-1 КР=К+1 8 В(кю ссх*(т(кн)-х.ьт(к)+т(ХР)) - саь(т(ХР)*т(КР) "т(хн)вт(ем)) ОнР т(нтн) - тех 17(ИСТ .ОТ. 2)ЭОИТ = 5ОНТ + ВИР*ОИР 18(Х .ЬТ. ХРВ)СОТО 11 081те(6,10)х,(т(к),к=1,итн),тех 10 РОВИАТ(! х ',94.2,( т=',6Р6.3,' Ткх ',та 3) ХРВ ХРВ + ОХР— 0.0001 11' 1Р(Х .6Е. ХНАХ)60ТО 12 ХР(ист .Ое.
ИХИАХ)0070 12 ООТО 7 12 АИСТ = ИСТ " 2 ВИ5 ЭОВТ(ЭОНТ/АИСТ) 081ТЕ (6, 13) НСТ, ВН5' 13 РОВИАТ!' Нет ',16,' Ека=',Е10.3! 14 АТОР ЕНО 5 16.!. Введение < у < О. Крайний правый столбец температур Т соответствует значениям на центральной линии (у = 0), и значения в нем можно сравнить с полуаналитическими значениями ТЕХ. На сравнительно грубой сетке в решении, приведенном на рис. 16.6, заметны осцилляции вблизи точки х ж О, у — — 1.0.
Эти осцилляции связаны с быстрым изменением Т в граничных условиях Таблица 16.2. Параметры, используемые в программе ТНмЕВ Описание Параметр вблизи точек (О, ~-1). Амплитуда осцилляций уменьшается с увеличением х. На более мелких по х или у сетках осцилляции не возникают. Можно заметить, что в решениях, например АР-ГЕМ, полученных по программе ТНЕРМ (рис. 9.13), на сетке 1! 'зс', 11 (Лх = 0.20, Лу = 0.20) нет существенных осцилляций вблизи точек (О, -1-1). Однако программа ТНЕРМ основана на решении уравнения (9.90), в которое входит член дзТ(дхз. Этот член обладает сглаживающим свойством и противодействует появлению осцилляций вблизи точек (О, -1-1).
Решение на центральной линии ()1Е1)-РЕМ), полученное по программе ТНРЕР, сравнивается в табл. 16.3 с решением, полученным по программе ТНЕЯМ, и с полуаналитическим )чу ЫХМАХ ПХ, ПУ ПХР ХМАХ Рк А1.У ЕМ Т, 11, У В ц кМБ ТЕХС1. А1Р, ПУРЕ =1, линейный метод конечных элементов =2, трехточечный конечно-разиостный метод Число точек в направлении у Максимальное число точек в направлении х Лх, Лу Увеличение Ьх при выводе температуры на печать Протяженность области расчета вниз по потоку Число Прандтля Рг аа = ! 6/Рг Ме Температура, компоненты скорости в направлении х, у Трехдиагональная матрица; левая часть (16.49) Правая часть (16.49) 1 Тос — ТЕХ 1,, Рассчитывает ТЕХ по заданным х и Рг Массивы, необходимые для подпрограммы ТЕХЕ 316 Гл.
16. Течения, описываемые й!т)5-уравнениями Навье — Стокса 80ВЕООт1не техсй1х.тех,ра,дьг,втгь! гоа 61тгл х ано Ра сонгптк гласт сквтак-ьхвк тю3гкаатпак 018ТВ18071ов 01вев61ов аьгпо!.втгьпо! гв -3.2 Еггагэ.о тв о. ПО 1 1 ХПО впн ев*аьгп!*Вьг!и Хгпвон .ьт. -Хо.!бото 1 ВОН КХР!Ма! сг = -Е.гаьгп!гвтгыг! тв = тв + сг*оок совт1вок ткх = ш - тв ЕЕ!пан ВВВ Рнс. 16.5.
Распечатка подпрограммы ТЕХС!.. аеппскв ткемтаь кнтат Раовькн вт с.н.-РВВ Вт 11 ВЕВВХ 50 ВХ .500Е"01 ХнаХ 2.000 РВ .700 х .об т 1.ооо Х .20 Т 1.000 х .Яо т 1.ооо .х .Яо т 1.ооо х .Во т 1.ооо х 1.оо т ыооо х 1.20 т 1.ооо 2-1.4о т 1.ооо Х 1.60 Т 1.000 х=1.8о т ыооо х Х.оо т 1.ооо вот 41 аиб- Рис. 16.6. Типичная выдача программы ТНКЕ0. Таблица 16.3. Решение на центральной линии для задачи ввода тепла, Ьу =0.20 Средне- квадратинное откао. пенне о.ооо 0.400 0.600 3.000 !.200 3.600 0.910 (Полу)- точное АР-РЕМ, Ьх = 0.20 КЕВ-РЕМ, тах = 0.05 КЕ!)-РЕМ, Бх = 0.0 10 0.984 0.993 0.984 0.994 0.984 0.993 0.984 0.993 0.493 0.786 0.962 0.997 0.999 0.000 1.000 1.000 0.462 0.794 0.910 0.963 0.997 0.003 0.000 0.999 0.999 1.000 0.997 0.0035 0.495 0,793 0.000 0.913 0.963 0.999 !.000 1.000 0.497 0.912 0.789 0.999 0.000 0.963 0.997 1.000 !.000 0.0019 1 2 30 ЯС 5 С ВС 7 а 9 10 11 12 13 14 15 16 37 18 19 1.076 .477 .701 .767 .868 .917 .937 .972 .969 .992 .984 .999 .992 1.001 .995 1.001 .997 1.001 .999 1.001 .999 1.000 .35ОК-О2 .188 .074 .046 .614 .520 .495 .827 .801 .793 ПЕЯ ПЦВ Лн .966 .967 .963 .985 .987 .984 .993 .995 .993 .997 .998 .997 .998 .999 .999 .999 1.000 .999 1.ООа 1.ООО 1.ООО ткх .оьа ткх .693 ткх= паб ТЕХ .909 ТЕХ= .962 ТЕХ .984 ТЕХ .993 ТЕХ= .997 ТЕХ .999 ТЕХ .999 ткх 1.ооо з17 $16.2.
Внутренние течения решением Брауна [Вготчп, 1960). В среднеквадратичной ошибке, рассчитанной для решения ЙЕО-ГЕМ, опущен вклад от точек х = О. Величина Лх должна быть согласована с процедурой, принятой для программы ТНЕКМ (п. 9.5.2). При достаточно мелкой в направлении х сетке решение ГхЕ0-ГЕМ может стать более точным, чем решение, полученное методом конечных элементов с приближенной факторизацией (АР-ГЕМ). Однако более существенна экономичность решения КЕО-РЕМ, связанная с тем, что решение получается за один проход в направлении течения. Решение ГхЕ0-РЕМ при Лх =0.05 примерно на порядок экономичнее решения АГ-РЕМ при Лх = 0.20, причем достигается та же точность решения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
