Fletcher-2-rus (1185919), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Численный расчет таких течений наиболее эффективно может быть осуществлен на основе 11ХБ-уравнений. Исторически сложилось так, что вопрос о том, можно ли для данной )тХ8-системы получить устойчивое решение за один проход по маршевой переменной, решается эмпирически. Проводится некоторая аппроксимация и изучается численное решение. Если получается физически реальное решение, система ЙХВ-уравнений считается устойчивой. В работе [Вгйеу, МсРопа16, 1984[ более систематично исследован вопрос о том, является ли )сХ8-система уравнений эллиптической по маршевой переменной. Как отмечено в гл. 2, такой подход требует построения расширенной системы уравнений в частных производных первого порядка, которая может иметь сингулярную характеристическую форму. Это обстоятельство делает рассмотрение неубедительным.
В данной главе предпочитается другой более прямой подход, основанный на анализе Фурье (и. 2.1.6), примененном к системе уравнений. В п. 16.1.2 он будет использован для того, чтобы априори определить, можно ли для данной тсХВ-системы получить устойчивое решение за один проход по маршевой переменной.
Как и анализ на основе характеристик (гл. 2), метод Фурье устанавливает формальный тип уравнений. Однако анализ Фурье имеет значительное преимущество, заключающееся в том, что он точно указывает, какой член ответствен за эллиптическое поведение. Может оказаться, что потребуются дополнительные предположения, часто связанные с давлением, обеспечивающие неэллиптическое поведение (например, п. 16.2.2). Практическое применение тсХ8-подхода рассматривается в п. 16.1.4 на примере задачи о распределении температуры на входе в канал. 16.1.1. Анализ порядков величин В данном разделе тсХБ-уравнения будут выведены из уравнений Навье — Стокса для двумерных стационарных сжимаемых и несжимаемых ламинарных течений.
Для описания турбулентных течений цХВ-уравнения необходимо модифицировать. Однако метод вывода ЙХЯ-уравнений для осредненных параметров турбулентного течения по существу остается тем же, т. е. основан на сравнении порядков величин. Вывод укороченных уравнений Навье — Стокса в основном совпадает с выводом уравнений пограничного слоя [СеЬес1, ВгабзЬаь., 1977]. Эффекты вязкости здесь также считаются су- 5 16.1. Введение щественными лишь в слое, толщина которого 6 (рис. 16.2) мала по сравнению с характерным размером в направлении потока Е. Для ламинарных пограничных слоев величина 6/Е порядка 0(йе-ыа). Для типичных чисел Рейнольдса Ке = 10', это означает, что 6/Е = 0.001.
Одна из причин необходимости вывода КХБ-уравнений связана с рассмотрением вязких слоев, толщина Невязнеа (Ь) Рис. 16ен Типичная толщина вязкого слоя (а) во внешнем течении и (Ь) во внутреннем течении. которых больше толгцины пограничных слоев. Так, для значений 6/Е в диапозоне от 0.1 до 0.01, по-видимому, следует использовать КНБ-уравнения.
В свою очередь это означает, что в полных уравнениях Навье — Стокса можно опустить члены порядка 0((6/Е)'), но необходимо оставить члены порядка 0(6/Е). Вывод уравнений пограничного слоя основан на пренебрежении членами порядка 0(6/Е). Для стационарного ламинарного несжимаемого двумерного течения уравнения Навье — Стокса (11.81) запишутся в безразмерной форме — + — =О, ди до дх ду (!6.1) до до др 1 т дзо дзо т и — +о — + — = — ( —,+ —,), дх ду ду )(е (, дхз дуз ) ' где число Рейнольдса Ке=р(/ Е/р. Безразмерная форма урав- нений (16.1) — (16.3) получена аналогично (!!.42). Для определения относительной величины различных членов в уравнениях (16.1) †(16.3) предполагается, что для и и о д/дх порядка 0(1), д/ду порядка 0(Е/6) и дя/ду' порядка 0((Е/6)а).
Поскольку и — величина порядка 0(1), а о порядка 0(6/Е), уравнение (16.1) упростить нельзя. Все члены в левой части УРавнения (16.2) порядка 0 (!). В правой части уравнения (!6.2) дзи/дх' порядка 0(1), а д'и/дув порядка 0((Е/6) ); поэтому членом дзи/дхе можно пренебречь. (16.3) 298 Гл, !6. Течения, описываемые Й!чо-уравнениями Навье — Стокса В классической теории пограничного слоя величина 1/Ке порядка 0((6/Е)а).
В приближении КМ3-уравнений предполагается, однако, что 1/Ке « 0((6/(.)а); а именно что 1/Ке порядка 0 ( (6/1 ) а), и поэтому (1/Ке) д'и/ду' порядка 0 ( (6/1 ) ). Все члены в левой части уравнения (16.3) порядка 0(6/1,). В правой части (16.3) порядок члена (1/Ке)дао/дх' равен 0 ((6/1.)'), а порядок члена (1/Ке)д'о/дуа равен 0((6/Е)а). Поэтому производной д'о!дх' можно пренебречь. Таким образом, К(ч!Ь-уравнения имеют вид ди до — + — =О, дх ду (! 6.4) ди ди др ! даи и — +и — + — = — —, дх ду дх ке дуа ' (16.5) до до др ! дао и — +о — + — = — —,.
дх ду ду ке ду' ' (16.6) дх (Ри) + д (ро) = О д д ди ди др ! Г дтхх дтхв 1 ри — +ро — + — = — ! + — 1 дх ду дх Пе ь дх ду (16.7) (!6.8) В классической теории пограничного слоя уравнение (16.6) упрощается до др/ду = О. Однако в случае более толстых вязких слоев, для описания которых требуются КИЬ-уравнения, необходимо сохранить все члены в уравнении (16.6). При значительной кривизне линий тока в (16.6) следует также включить дополнительный центробежный член. При использовании обобщенных криволинейных координат (гл. 12), что обычно делается в случае областей расчета сложной формы, этот член возникает естественным образом. Согласно проведенному анализу, порядок члена (1/Ке)д'о/дуа равен 0((6/Л)а), и, как рекомендует Рубин [КцЫп, 1984), им можно пренебречь.
В данной исходной форме КХ8-уравнений этот член сохранен, поскольку он не приводит к эллиптическому взаимодействию (п. 16.1.3). Связанная с ним дополнительная диссипация может быть полезна для численных расчетов. Уравнения (!6.4) — (16.6), если пренебречь вязкостью, сводятся к уравнениям Эйлера, которыми описывается практически невозмущенное течение вдали от тела.
Граничные условия для несжимаемых КМЗ-уравнений зависят от типа системы (16.4) — (16.6); данный вопрос будет рассмотрен в п. 16.1.3. Двумерные стационарные сжимаемые ламинарные уравнения Навье — Стокса в безразмерной форме имеют вид $16!. Введение де де др 1 Г дтих дтвв ! ри — + рп — + — = — [ + — ~, (16.9) дх ду ду Ке ь дх ду 1+ тМ' р = рт. (16.11) Обезразмеривание, использованное при выводе уравнений (!6,7) — (!6.1!), аналогично приведенному в п. 11.2.5, за исклю- вФ И и чением лишь того, что здесь р =(р — р )/р (/ .
В уравнениях (16.8) и (16.9) т, и т. д.— вязкие напряжения; они связаны с градиентами скоростей соотношениями (!1.27), форма которых в безразмерном виде сохраняется. В уравнении (!6.10) вязкая диссипация Ф определяется соотношением (! 1.39). Оценка порядков величин различных членов в системе (16.7)— (16.11) проводится аналогично тому, как зто было сделано для уравнений (16.1) — (16.3). Порядок компонент скорости и и и и производных от и, и и р такой же, как и для несжимаемого течения. Порядок Т, дТ/дх, р и др/дх равен 0(1). Если определена температура стенки Т, то дТ/ду и др/ду порядка 0(ь/б). Однако, если стенка адиабатическая, т.
е. дТ/ду),=е = О, и течение дозвуковое или трансзвуковое, более правильно считать, что средние значения дТ/ду и др/ду поперек слоя порядка 0(1) или даже 0(б/~). Следовательно, при выводе укороченных сжимаемых уравнений Навье — Стокса необходимо рассмотреть два случая: (1) Определена температура )( зт зр стенки или течение сверхзвуковое 1 ду ' ду п р " ('/')' (2) Адиабатическая стенка и ( дт др течение до- или трансзвуковое 1 ау ' ду п Р - (1). Случай (1) соответствует большим изменениям температуры в расчетной области, связанным с большой разницей температур стенки и набегающего потока или с существенным сжатием, обусловленным большими скоростями (большие числа Маха).
Случай (2) соответствует меньшим температурным изменениям в области расчета, обусловленным лишь сжимаемостью. При Уменьшении числа Маха в случае отсутствия внешних источников тепла производные от р и Т стремятся к нулю. В случае (1) все члены в уравнении (16.7) порядка 0(1) н их необходимо сохранить. В уравнении (16.8) все члены в левой части порядка 0(1). В правой части (16.8) член т,„порядка ЗОО Гл. 16. Течения, описываемые й!ЧЯОравиеииями Навье — Стокса —,' (ри)+ д' (р)=6, (16.12) ди ди др 1 д Г ди т ри — + ро — + — = — — ( !х дх ду дх йе ду (, ду ) ' до ди др 1 Г 4 д Г до т и д'и 3 — +р~ — + — — 1ь — (1х )+ — ), (!6 !4 дх ду ду йе 13 ду (, ду ) 3 дхдуз' ( — 1)М д В данных уравнениях сохранены все «невязкие» члены из уравнений (16.7) — (16.11).
Уравнения справедливы при больших изменениях температуры в расчетной области. Во втором случае (адиабатическая стенка в дозвуковом или трансзвуковом потоке) основное отличие заключается в правой части уравнения (16.14). Можно заметить, что одр/ду в (16.7) мало, если др/ду порядка 0(1). Следовательно, если в тии подставить Я из (16.7), та (16.14) заменится следующим уравнением: (16.13) (16.16) 0(1). Безразмерная вязкость ведет себя примерно как безразмерная температура.
Порядок компоненты тензора сдвиговых напряжений т,„= р(ди/ду+до/дх) равен 0(Ь/б) и обусловлен членом ди/ду. Следовательно, членом до/дх, порядок которого 0(б/Е), можно пренебречь. Таким образом, в правой части уравнения (168) остается лишь член (1/Ке)д(рди/ду)/ду. В левой части уравнения (16.9) все члены порядка 0(б/С). В правой части т„- рди/ду. Отдельные части других членов можно сгруппировать, записав их в виде соответствующих производных от скорости. При умножении на (1/Ке) порядок многих членов в правой части уравнения (16.9) оказывается равным 0((б/С)а). В левой части уравнения (16.10) все члены порядка 0(1).
Исключение составляет лишь член одр/ду, порядок которого равен 0((б/Е)а). Однако и его следует сохранить, поскольку в не- вязкой области он может стать порядка 0(1). В правой части уравнения (16.10) членом д(идТ/дх) /дх/Рг Ке можно пренебречь. В вязкой диссипации единственным членом порядка 0((б/Ц) оказывается !т(ди/ду)а/Ке. Таким образом, согласно сказанному, укороченные уравнения Навье — Стокса имеют вид зо! э !б.!. Введение (16.17) За исключением члена, связанного с вязкой диссипацией в уравнении (16.15), все диссипативные члены в уравнениях (16.13), (16.15) и (16.17) имеют одну и ту же форму.
Из рассмотренных выше примеров ясно, что К(чБ-уравнения отличаются от полных уравнений Навье — Стокса только диссипативными членами. 16.1.2. Анализ Фурье качественного поведения решений Чтобы решение укороченных уравнений Навье — Стокса можно было получить за один проход в направлении х, необходимо, чтобы система уравнений, например (16.4) — (16.6), была неэллиптической по отношению к направлению х. Это может быть определено методами, описанными в п. 2.1.4, для чего необходимо построить систему уравнений первого порядка, эквивалентную системе (16.4) — (16.6). Однако больше информации о качественном поведении решения можно получить, если разложить зависимые переменные в комплексный ряд Фурье. Такой подход можно проиллюстрировать на упрошеином уравнении энергии дТ дТ деТ деТ и — +о — — 6 — — е — =О, (16.18) дх ду дхх дух где и и о — постоянные порядка 0(1), но могут быть и положительными, и отрицательными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
