Fletcher-2-rus (1185919), страница 47
Текст из файла (страница 47)
15.3.3) и методом конечного объема ЯТАИ5 (Гхеупо!дз, 1976[. Результаты расчетов по программе ООцОО других течений с обратным градиентом давления, описанных в трудах Стэнфордской конференции 1968 г., приведены в работе [Р(е!серег, Р!ее1, 1984Ь). 15.о.З. Спентральньгй метод в подходе Дороднш!анна Уравнение Дородницына турбулентного пограничного слоя (15.57) при определенном выборе весовых функций 1» и функции В, аппроксимирующей решение, можно интерпретировать как спектральный метод Галеркина.
В применении к (15.57) спектральный метод может быть записан в виде ь ! в г нм г й(» — з! и)»В йи = — ' з! — (1 — и') В с(и— д$ иь З ин о о — и, [[ — ») / Т~[а о — и, ~ — „» [ ! + — ~) Т с(и. (! 5.73) о (15.74) Коэффициенты е„получаются в результате процесса ортонормирования Грама — Шмидта [1заасзоп, КеИег, 1966[.
Функции и; удовлетворяют следующему свойству: 1 ~ дь (и) дг (и) ш(и) ь(и 4 ' ' (15.75) ( =О, если 1чь /. Функция и(и) в (15.75) зависит от класса рассматриваемых задач. Конкретное выражение, соответствующее (15.73), будет приведено ниже. Коэффициенты е»и и, следовательно, ортонормированные функции д; необходимо определять лишь один раз. В (15.73) вводится следующее приближенное решение 0: (15.
76) 15» Построение спектрального метода зависит от способа введения ортонормированных функций д,(и), заменяющих весовые и аппроксимирующие функции 1» и 9. Ортонормированные функции дг(и) могут быть получены из весовых функций 7»(и) в следующем виде: д; (и) = )' е»ь)» (и). Гл. !о. Течения в пограничном слое 276 Здесь для обеспечения правильного поведения еа на внешней границе пограничного слоя выделен коэффициент Ьо. Подста- новка (15.76) в (15.73) с заменой !» на»г» приводит к соотно- шению 1 М вЂ” ! — ~ Ье+ ~~' Ь;а!(и)а»(и) — Ни=С», 1=1, ..., У, (15,77) о где 1 С» = [и,,~/и») ~ ( — „" )(1 — и') Е!ди — и,[ — „» — ~ о ',гг — иа ~, » (! + чтЩВ ди.
(15,78) о Из сопоставления (15.75) и (15.77) следует, что для использования ортогональности д,(и) следует положить га (и) = и/(1 — и). (15.79) Уравнение (15.77) тогда принимает вид 1'» — + — =С», Ь=1, ..., Ь7 — 1, (15.80) пь, пь» » н»е нее» где !㻠— — ~ д»(и) ге(и)с(и. о (15.81) При А =а! г!Ь вЂ” = С„7)г г!$ (15.82) и уравнение (15.80) можно представить в виде — =С» — ф—, 4=1, ..., Ж вЂ” 1. (15.83) ль» дй У Уравнения (15.82) и (15.83) представляют явную систему уравнений для определения коэффициентов в (15.76). Для решения данной системы в работе !Оеаг, 19711 предложена весьма эффективная схема предиктор — корректор переменного порядка с изменяющейся величиной шага.
Типичные решения, полученные по методу Дородницыиа в спектральной интерпретации (!)ОКОР-ЗРЕС), приведены на рис. 15.10, 15.11, 15.19 и 15.20. Данные решения получены зтт $ !5.4. Течение в трехмерном пограничном слое 8 15.4. Течение в трехмерном пограничном слое При расчете трехмерных пограничных слоев возникают две основные трудности, Во-первых, хотя уравнения, описывающие течения, преимущественно параболические, наличие двух (поверхность) координатных направлений, по которым развивается пограничный слой, вводит в задачу «гиперболичиость». Во-вторых, поскольку трехмерные пограничные слои образуются, как правило, на искривленных поверхностях, необходимо введение системы координат, связанной с поверхностью.
В данном параграфе будут рассмотрены стационарные трехмерные пограничные слои. Обобщение представленных методов на нестационарные трехмерные пограничные слои можно найти в работе [Рхчуег, 1981[, а также в приведенных в этой работе ссылках на литературу. Стационарное несжимаемое ламинарное течение в трехмерном пограничном слое описывается уравне- ниями ди до дгн — + — + — =О, дх ду да ди ди ди ! дне и — +и — +в — = — — — '+ дх ду да р дк дм дм дю 1 дре и — + о — +гп — = — — — '+ дк ду дв р да (15.84) ди т —, дуа ' дага т —, дуа ' (15.85) (! 5.86) где х и г — декартовы координаты, локально параллельные трехмерной поверхности, а у — нормальная координата.
На поверхности тела при у =0 необходимо поставить граничные условия прилипания: и = и = ги = О. Известное давление или соответствующие ему скорости, определенные из уравнения Бернулли (!1.49), обеспечивают граничные условия на внешней границе пограничного слоя. Начальные условия могут понадобиться либо в одной точке, как при обтекании тонкого наклоненного тела вращения, либо на линии торможения, что имеет место при обтекании крыла конечного размера. В принципе необходимо распределение всех при Л! = 6 в (15.76), шаг маршевой переменной изменялся в пределах 0.000015<15<(— = Лх)<0.14.
Из результатов видно, что данный метод позволяет получить высокую точность при сравнительно малом числе неизвестных в аппроксимирующей функции (15.76). Метод использовался для расчета несжимаемых [Р!е1с)!ег,, Но!1, 1975] и сжимаемых [Р1е1с)!ег, Но!1, 1976[ ламинарных пограничных слоев и для расчета несжимаемых турбулентных пограничных слоев [Уецпп, Уапд, 1981; Р!е1с!тег, Р!ее1, 1984Ь[. 27В Гл. 1б. Течения в пограничном слое трех компонент скорости. Как правило, они получаются из ре- шения укороченных уравнений, пригодных для определения на- чального положения [В!о1!Пег, 1975а].
15.4.1. Квазихарактеристическое поведение Из уравнений (15.84) — (15.86) следует, что вдоль направлений х и г существует лишь конвективный перенос; вдоль направления у — конвекция и диффузия. Формально (т. е. согласно процедуре, описанной в гл. 2) уравнения (15.84) — (15.86) Обла аавнсн Предельная ловерхностная лнння т Поверхность тела Рис. !5.21. Области влияния и зависимости.
являются неэллиптическими. Кроме того, возможно ввести квазихарактеристики, связанные с конвективным оператором (в пренебрежении нормальной компонентой о скорости течения) д д д д — =и — +ш —. дв дк дг ' (15.87) Квазихарактеристическое направление определяется проекцией линии тока на плоскость, касательную к поверхности тела, т. е. дг/с(х = те/и. Но в/и изменяется поперек пограничного слоя. Поскольку при заданных (х,г) возмущения в направлении у распространяются по всей области, необходимо определить области зависимости и влияния (рис. 15.2!). Возмущения в некоторой точке Р внутри пограничного слоя будут воздействовать на всю область, расположенную вниз по потоку и ограниченную плоскостями, проходящими через нормаль к телу, проведенную через точку Р; причем одна плоскость проходит через предельную линию тока на твердой поверхности, а другая $ !5.4.
Течение в трехмерном пограничном слое через проекцию линии тока, расположенную на внешней границе пограничного слоя. Гиперболичность задачи в плоскости (х, г) существенно ограничивает область, в которой по заданным начальным данным может быть найдено решение. Если начальные данные ио(д) и тве(у) определены на поверхности 5ь перпендикулярной стенке (рис. 15.22), решение вниз по потоку может быть Рнс. 15.22.
Начальные н граничные данные. получено лишь в области, ограниченной квазихарактернстиками оа и За (и твердой стенкой и внешней границей пограничного слоя). Квазихарактеристические направления Яа и Яа определяются либо направлением предельных линий тока на стенке, либо направлением линий тока на внешней границе слоя. Попытки определить решение слева от Яе или справа от 5а (если смотреть против потока) нарушают принцип влияния Рэтца (Кгацзе, 1973), поскольку локальное решение в этих областях определяется данными, лежащими вне плоскости 5ь Как отмечено в п.
2.2.3, если определить дополнительные граничные условия, например на поверхностях Яч или Яа, решение можно получить в любой области вниз по потоку, ограниченной начальными и граничными условиями. С вычислительной точки зрения гиперболичность особенно существенна при построении явных маршевых алгоритмов в направлении х. Как и для двумерных пограничных слоев, для дискретизации в направлении у существуют практически универсальные неявные схемы. Чтобы численное решение было устойчиво, должно выполняться условие Куранта — Фридрихса — Леви (КФЛ) (п.
9.1.2), Гл. 18. Течения в пограничном слое '280 согласно которому расчетная область зависимости в плоскости (х, г) должна включать в себя физическую область зависимости, определяемую уравнениями в частных производных. Это существенно ограничивает относительные размеры шагов 1!х и (!г [Кгацзе, 1973[. При сравнении различных схем будет предполагаться, что х примерно совпадает с направлением невязкого течения,аз направлено поперек потока, например в направлении размаха ,1+1 4.
'~[я+1 Г[ У [ / / ) и,п+! (о) Рнс. 15.23, Точки сетки, задействованные в схеме; (а) схема Кранка — Ни- колсона, (Ь) схема загзаг Краузе. крыла. При рассмотрении х в качестве первоначального маршевого направления скорость и предполагается положительной, а ги может быть как положительной, так и отрицательной величиной. Прямое обобщение схемы Кранка — Николсона на случай трех пространственных переменных состоит в центральной дискретизации в точке (й — 1/2, и + 1/2) в плоскости х, г (рис. 15.23) и в построении двух трехдиагональных систем разностных уравнений для и и ш из уравнений х- и г-компонент импульса вдоль линий сетки (/з, и + 1), т.
е. в направлении у. Из условия КФЛ следует, что скорость гв должна быть положительна и Лх ограничено условием [и Лх/и Лг[( 1. Узлы сетки для трехмерной схемы Кранка — Николсона показаны на рис. 15.23. Проход по г осуществляется в направлении увеличения л. Если вн везде меньше нуля, проход по г осуществляется в направлении уменьшающихся значений )г. Таким образом, при- й !8.4. Течение в трехмерном нограничном слое 28 !' менение трехмерной схемы Кранка — Николсона ограничено областями, где ш не изменяет знака. Это ограничение можно преодолеть, если использовать схему зигзаг Краузе ]Кгацзе, 1973]. В этой схеме центральная дискретизация осуществляется в точке (и, и + !/2).
Однако производные по г аппроксимируются на шаблоне зигзаг (рис. 15.23), например л л л+~ л+! дв в!а ~ — в!в+в в — в!а (15.88т 15.4.2. Обобщенные координаты Из-за быстрого изменения скорости вблизи твердой поверхности и для учета эффектов сжимаемости удобно ввести преобразование координат. В работе ]В1оНпег, 1975а] рассмотрены преобразования типа Леви — Лиза, а в работе ]Ртчуег, 1981] рассмотрено модифицированное преобразование Блазиуса, применимое и для нестационарных течений в пограничных слоях. Однако, прежде чем вводить эти специальные преобразования, необходимо записать уравнения в связанной с телом системе координат. Здесь на поверхности тела (рис. 15.24) будут введены обобщенные неортогональные координаты (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
