Fletcher-2-rus (1185919), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Параметры 6 и е — положительные константы, 6, е «1. Уравнение (16.18) — стационарное двумерное уравнение переноса Я 9.5). Из сравнения его с (2.1) и (2.2) следует, что уравнение (16.18) эллиптическое. Типичные граничные условия для этого уравнения приведены на рис. 16.3. Во втором случае члены одТ/ду и одр/ду в (16.!0) малы. Однако их следует сохранить, чтобы в невязкой области получить уравнения Эйлера.
Если пренебречь изменением плотности и зависимостью вязкости от температуры, вид уравнения (16.13) для х-компоненты импульса в случае сжимаемого течения совпадает с уравнением (16.5) для несжимаемого течения. Члены в правой части уравнений (16.14) и (16.16) порядка 0((6/С)е), если предполагается, что 1/Ке порядка 0((6/Е)е). Следовательно, как и для уравнения (16.6), правая часть уравнений (16.14) и (16.16) может быть отброшена.
Однако с точностью до 0((6/Е)е) уравнения (16.14) и (16.16) можно привести к виду, эквивалентному (16.6), т. е. до до др Г ! 1 дхо ри — +ро — + — = ~ — ) —, дх ду ду ~ Ке) дух ' 302 Гл. 16. Течения, описываемые й)Ч5-уравнениями Навье — Стокса Предполагается, что решение уравнения (16.18) можно представить комплексным рядом Фурье, т. е. Т = —, ~ ~~~ Та;ехр(1 (о,)ух) ехр(1(а„)ау), (16.19) а- — / — — о Однако, поскольку уравнение (16.18) линейное, для определения качественного поведения решения достаточно рассмотреть лишь 'у=! т(х,1) =0 т(о,у)и =т (у) дт/дх(оо,у) =О у=п Х Х=О д~/ду(х,п)=О Рис. 16.3. Типичные граничные условия для уравнения (16.18).
одну компоненту разложения (16.19): Т = —, ехр (! (а„) х) ехр (1 (а„) у), т (16.20) где Т можно рассматривать как преобразование Фурье Т. Подстановка этого выражения в (!6.18) позволяет получить следующий полинам относительно а и а„: 6а' + уио' + во' + инт = О. (16.21) Уравнение (16.21) иногда называется символом (16.18). Уравнение (16.21) будет использовано для определения зависимости а от произвольного вещественного а„.
Подстановка этой зависимости в (16.20) определит соответствующее поведение решения. Будет ли конкретная мода (16.20) фигурировать в решении, зависит от граничных условий. В результате решения уравнения (16.21) можно получить и и / ео„+ гоо„т ~~ а = — 1 — ~ 1 — )ч1+ 46 26 26 ч и' ) Поскольку 6 « 1, это выражение можно упростить: и и ( ео„ + 1ооа 2 а = — ! — -~-ю' — 1+26 " "). 26 — 26 иа 5 !6.1. Введение Таким образом, еи-„вин в /и ео~! и а =1 —" — —" или — 11х — + — в(+ о —.
(16.22) и и Хй и ( ии' При заданном вещественном значении ои первый корень соответствует решению Т, которое, как следует из (16.20), согласно члену — о„о/и, осциллирует в направлении х и, согласно (во~/и, экспоиенциально убывает по х, если и больше нуля. Если и меньше нуля, имеет место экспоненциальный рост решения. Второй корень соответствует осциллирующему экспоненциально возрастающему при положительном и решению. Таким образом, из рассмотрения двух корней следует, что Т осциллирует по х и экспоненциально увеличивается при любом знаке и. Однако, поскольку уравнение (16.18) эллиптическое, соответствующее граничное условие при х = ео, изображенное на рис.
16.3, не допускает появления в решении экспоненциально нарастающей моды. Приближение, приводящее к укороченным уравнениям Навье — Стокса (п. 16.1.1), эквивалентно отбрасыванию члена бдеТ/дх' в уравнении (16.18). В результате получится параболическое по х уравнение (5 2.3), для которого не требуется граничного условия при х = оо. После подстановки (16.20) в укороченное уравнение вместо (16.21) получится уравнение ви„ и„в (ио + ео„'+ !ой„= 0 или о„=( —" — — ", (16.23) что совпадает с первым корнем в (16.22). Соответствующее решение для Т, согласно (16.20), будет осциллирующим и затухающим по х, если только и и е одного знака.
Если это не выполняется, имеет место осциллирующее нарастающее решение, что исключает возможность использования для его определения одного маршевого прохода в направлении х. Параметр е эквивалентен коэффициентам вязкости или теплопроводности, которые всегда положительны. Таким образом, для устойчивости решения необходимо, чтобы и везде было больше нуля. Поскольку при б = 0 уравнение (16.18) параболическое, положительное значение и соответствует переносу информации в положительном подобном времени направлении. Из приведенного выше примера видно, что анализ Фурье позволяет точно определить, какого типа решение можно ожидать и какие члены ответственны за данный тип решения. В частности, применительно к укороченным уравнениям Навье— Стокса этот анализ позволяет определить возможность появления экспоненциально нарастающего решения, при котором 304 Гл.
!6. Течения, описываемые ЙХБ-уравнениями Навье — Стокса невозможно получить устойчивое решение за один маршевый проход вниз по потоку. Существует очевидная параллель данного метода с применением анализа Фурье для определения характера решения дискретных уравнений (п. 9.2.1). Можно ожидать, что решение дискретных уравнений будет сходиться к решению задачи, описываемой уравнениями в частных производных, если в результате анализа Фурье исходных уравнений получится поведение решения, сравнимое с поведением, определенным на основе анализа Фурье разностных уравнений.
Однако при исследовании методом Фурье систем дискретных уравнений, т. е. при исследовании устойчивости по Нейману ($ 4.3), остается не ясным, связана ли появляющаяся неустойчивость со свойствами дискретной системы или же физическая неустойчивость присуща исходной системе уравнений и связанным с ней граничным условиям. Рассматриваемое применение метода Фурье позволяет определить возможность неустойчивого нарастания решения, присущего системе уравнений в частных производных. В принципе физические граничные условия могут быть введены в представление Фурье. В результате решение, эквивалентное (16.19), будет приближением Фурье действительного решения.
В этом состоит суть подхода, используемого для аналитического исследования различных течений (см., например, [81паг1, 1963] или [Огах(п, Рте!о, 1981]). Однако столь исчерпывающий метод не нужен для определения необходимой формы укороченных уравнений Навье — Стокса. Настоящий анализ Фурье можно сравнить с традиционным характеристическим анализом уравнений в частных производных (гл. 2). При традиционном методе характеристик сохраняются лишь высшие производные и уравнения приводятся к характеристической форме, т. е. получается характеристический полипом, например (2.36).
Можно заметить, что, если в проведенном анализе Фурье оставить лишь высшие производные, полипом по о, а„, например (16.21), совпадет с характеристической формой (см. также п. 2.1.5). Таким образом, характеристическая форма уравнения (16.18) может быть получена из (16.21) и имеет вид б,в+„'=6. к в Это уравнение имеет мнимые корни, поэтому (16.18) классифицируется как эллиптическое уравнение в частных производных.
Однако для рассматриваемых задач метод Фурье определения возможности появления точек экспоненциального нарастания решений уравнения предпочтительнее характеристического анализа по следующим причинам: $16.!. Введение и й ехр (1о,х) ехр (Ыру), о-5схр(Ест„х) ехр(1аеу), р р ехр (1олх) екр ((ару), где знак — означает, что подразумевается такая форма решения. После подстановки (16.24) в замороженные уравнения (16.1) — (16.3) можно получить | (а„ 1ар 0 1Л + (а,'+ а„')/Йе 0 ЕЛ + (о'„+ а'„)/)ке 1о„ б = О, (16.25) р где Л вЂ” = ио, + оа„.
20 К. Флетчер, т е 1. Учитываются все члены уравнений, а не только высшие производные. 2. Можно непосредственно определить вклад различных членов системы уравнений в возможно появляющееся экспоненциально растущее решение. 3. Метод более работоспособен в том смысле, что возможен анализ и вырожденных систем (п. 2.1.4). 4. Решение задачи на собственные значения, например (16.21), имеет больший физический смысл, чем решение характеристического полинома, например (2.36). 16.1.3. Качественное поведение решений укороченных уравнений Навье — Стокса Исследование различных приближенных уравнений Навье— Стокса может быть проведено, как это сделано для уравнения (!6.!8), после их локальной линеаризации.
То есть, значения и и о в конвективной части уравнений (16.5) и (16.6) предполагаются замороженными. Таким образом, настоящий анализ не учитывает явлений, связанных с нелинейными взаимодействиями. Так как уравнения (16.5) и (16.6) аналогичны уравнению (16.8) при 5=0, можно ожидать, что решение укороченных уравнений Навье — Стокса подобно решению уравнения (16.18) при 5 =0 будет нарастать (затухать) вдоль линий тока. Имеет .пи это место на самом деле, будет показано ниже.
При применении анализа Фурье к КХ5-уравнениям (и. 16.1.1), подобно тому, как это было сделано в п. !6.1.2, необходимо рассмотреть не одно скалярное уравнение, например (16.8), а систему уравнений. Обобщение анализа Фурье на системы уравнений будет сначала продемонстрировано на уравнениях Навье — Стокса (16.1) — (16.3), описывающих несжимаемое стационарное двумерное течение. Вместо (16.20) предполагается, что 306 Гл. 16.
Течения, оиисываемые ЯХ5-уравнениями Навье — Стокса Чтобы однородная система уравнений типа (16.25) имела решение, необходимо, чтобы де![ ]=О. Для (16.25) это позволяет получить полинам относительно а„: (ав + а'„')(г(ио„ + оо„) + — (а'; + а~~)) = О. (16.26) Вид второго множителя совпадает с (!6.21). Его корни равны о, = (а„'/(и Ке) — а„о/и, — с [и Ке + о„'/(и КеЦ + ст„о/и. Экспоненциальный рост связан с первым корнем, если и меньше нуля, и со вторым, если и положительно.
У первого множителя корни о, = -~-1а„. Мнимый корень со знаком минус после подстановки в (16.24) приводит к энспоненциальному росту по х. Система уравнений (16.1) — (!6.3) эллиптическая. Это можно установить путем введения дополнительных переменных для вторых производных и построением на основе этого эквивалентной системы уравнений в частных производных первого порядка. Для анализа этой системы пригоден метод, описанный в п.2.1.4, приводящий к характеристическому полиному (2.39). Настоящий анализ Фурье дает идентичный полинам, если в уравнении (16.26) отбросить член более низкого порядка !(ио + оа„). Это согласуется с классификацией уравнений в частных производных, основанной на наиболее высоких производных по каждой независимой переменной. Из (16.26) следует существование мнимых корней и при отбрасывании члена 1(иа„+ оа„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
