Fletcher-2-rus (1185919), страница 56
Текст из файла (страница 56)
В результате при тех же затратах энергии, необходимых на возмещение вязких потерь, можно получить большее восстановление давления в диффузоре. Данная задача описывается несжимаемыми турбулентными уравнениями Навье — Стокса [Агш()е!б, Р1е!серег, 1986). В уко- роченной форме они имеют вид ди до в — + — + — =О, дк дг г ди ди др Н ! /дги ! ди'т а — +о — + — = — — + —— дх дг дх йе чдгг г дгг' — — — (16.64) д (и'е') (и'е') дг г 323 4 16.2. Внутреннее течения Уравнения (16.63) — (16.67) и (16.57) образуют систему из пяти уравнений для определения пяти неизвестных и, о, ео, р,п и р', зависящих от х и г.
При проведении расчетов в диффузоре использовалась сферическая система координат (Апп(1е!б, Р!е1- с(тег, 1986]. Анализ Фурье, описанный в и. 16.1.2 и 16.!.3, показывает, что система уравнений (16.63) — (16.67), (16.57) является неэллнптической по отношению к направлению х. Таким образом, «начальные» условия следует определить лишь в одной плоскости хе, расположенной вверх по потоку, т. е. следует задать и(хе, г) = ие(г), ш(хе, г) = ме(г). На стенке диффузора (г = г ): и(х, г ) =о(х, г ) =ео(х, г ) =О. Вдоль центральной линии (г=О): ди/дг=о = го =О. Расщепление давления (16.54) позволяет получить из уравнений (!6.63) — (16.67) две практически независимые системы. После представления в разностном виде из уравнений (16.63), (16.64) и ограничения на поток массы (!6.57) можно определить и"+', р"+' и о"+'.
По заданным значениям и"+' н о"+' из урав/ ' еи / пений (16.65) и (16.66) можно определить вячч и р' "+'. Расчетная область и сетка приведены на рис. 16.9. Дискретизация уравнений (16.63) — (16.67) осуществляется в два этапа. Сначала производные по г в уравнениях (16.64) н (16.66) заменяются выражениями де — = Е,ф+ 0(Лге) = '!" '-' +0(Лг'), дг г! ~ — г! — — = 7,„(~ф) + 0 (Лг') = (16.68) ='2 ~о!+не( ~~ ~) — т; Пе( ! ) !((г1е, — г!,)+ + 0 (Лге), где ф н т означают переменные, а 1 соответствует положению точки сетки в радиальном направлении. Дискретизацию (16.68) можно использовать и на неоднородной сетке.
В рассматриваемой задаче необходима сгущающаяся у стенки канала в направлении г сетка, поскольку в этой области можно ожидать появления больших радиальных градиентов. Для решения уравнений (16.63) и (16.65) в радиальном направлении строится маршевый алгоритм. Соответствующие дискретные представления радиальных производных задаются формулами (16.74) и (16.79). 324 Гл. 16. Течения, описываемые К!чу-уравнениями Навье — Стокса «оорд««мм ««ля В) и-1 и и+1 О«ь, г и"! л и+1 )-1 з+! !зис.
16.9. Область расчета ч сетка лля внутреннего закрученного течения. Разностное представление производных по х в уравнениях (16.64) и (16.66) осуществляется таким образом, чтобы можно было построить эффективный маршевый алгоритм их решения. Уравнение (16.64) записывается в разностаом виде а л+~ а +~ $16.2. Внутренние течения 325 где Лин+/ ин// ич ине~/т — 0 5 (ил + инт/) I 1 1' 1 ' ( l 1 о"+'/е = (1 + 0.5г ) о" — 0.5г о". / ( ' к) / ' я / У« — — — ~У.„и/+ Я Ути/~ + У.„(т,и)/ + + ( — ') У,,и/ — о/У.,и/. (16.70) (16.71) Уравнение (16.69) в этом случае принимает вид л/,~ и" — 0.5бх — «~1 Линч / =ЛхУ /ин о"+'1' г 1 — Лрн+/ (16,72) / ' ди / / «( / / // е// ° Уравнение (16.72) образует трехдиагональную систему уравнений, которая при известном Лрч/)' может быть решена обычным образом, например, как в п. 6.2.2. Уравнение (16.72) используется для определения Лр,"' .
Здесь, как и для уравнений (16.60) †(16.62), используется ограничение на поток массы. Изменение давления вдоль центральной линии тока, таким образом, определяется выражением где 0 и 1.— верхний и нижний треугольные множители левой части системы (16.72). Для совместности с (16.68) интегралы в уравнении (16.73) вычисляются по формуле трапеций / МАХ вЂ” ! ~ Р/Уг = ~~ 0.5(Р/+ Р/+/)(г/т/ — г/)+ О (Кге) « 1-! В уравнении (16.69) Лр,"+/ = р,",+' — р," „а ч'„'ч'//е экстраполируется по значениям в точках, расположенных вверх по потоку, так же как и о"+'/'.
Отношение нарастания шагов сетки г определяется формулой / — (ХЯЕ! ХЯ)У(ХЯ ХЯ /) АХ«+ /У~ ~Я При экстраполяции о"+'/т и т„я+//' по значениям в точках, расположенных вверх по потоку, и неявном представлении и"+'/' из уравнений (16.69) можно получить скалярную систему уравнений относительно Лин/т/. Для этого У«(и"+'), как в уравнении (8.19), разлагается в ряд Тейлора У (ил+/) =У„(ин) + ЭУ' А нт/+ О (АХЕ) 626 Гл. 16. Течения, описываемые йМ$-уравнениями Навье — Стонса По полученным из уравнений (16.72) и (16.73) значениям и" +' и р" +' радиальные компоненты скорости о" ь !определяются из с/у уравнения неразрывности (16.63), которое в дискретной форме имеет вид / а-1-!/2 а+!/21 Г аца+! Г/+!/2(а/+! а/ / ! на+ив — /+'/2 /+!/2 (16,74) /2Г '/+ ! + ~/+!/2 Ьх где он+!/2=0.5/он+!/2+ с"+'/2).
Таким образом, можно получить /+!/2 ' ( / /+! явное выражение для о"+'. /+! ' а аь! (16.75) где оач!/2 = 0 н о" +! = 2са+!/2 — са . При помощи уравнения ! у+1 /+! /+!' (16.75) можно получить значения о"+' за один одномерный маршевый проход в радиальном направлении. Уравнение окружной составляющей импульса (16.66) используется для нахождения иу ~! следующим образом.
Дискретизация (16.66) позволяет получить уравнение а„,а.у-! иа+!/2 / Я /,уль!/2 иаь!/2 иле!/2 Г 1+ 0(Лх2 ЛГ2) (1676) ахи+! и( / / ° / /) В сун входят дискретные представления всех радиальных про- изводных, т. е. б = — ~7-„ш/+ — 7.Гпу/ — —,)+5„(та )/ — (-Г~ — ) + е~, Г Г2) Г у + 2 — ~1.,ш/ — 2( ~, ) — о/(.,и/ — ( — ) . (16.77) у Разложение ш"+! в окрестности и!", как в случае (16.72), позволяет получйть следующую трехдиагональную систему для определения Лпу"+!1 аа„1 и" е' — 0.5 Лх — "1 Ава+! = / ' дк 1 / =ЬхОн(ува, и""/' с"+'/' Г)+0(Лха, Лгв), (16.78) решение которой может быть осуществлено при помощи подпро- грамм ВАМРАС или ВАМЯ01. из п. 6.2.3.
$16.2. Внутренние течения 321 Наконец, радиальная поправка к давлению р' получается из уравнения (16.65), которое записывается в разностной форме (16.79) (р) — 0, где иг+нз = 0.5(ит+ и;е1). Поправка к давлению (р')яе' определяется из уравнения (16.79) в результате прохода от центральной ливии к стенке канала. В результате работы всего алгоритма последовательно без итераций в радиальном направлении получается решение в Π— реэул гвтн Со 1.00 0.50 аоо 0.25 0.50 0.75 г Рис. 16.10, Профили осевой скорости для закрученного течения в диффузоре.
каждой точке вниз по потоку. Решение в направлении х получается за один маршевый проход. В силу этого метод весьма экономичен. Неоднородная сетка используется в радиальном и маршевом направлениях. Ошибка аппроксимации всей схемы О(Дхт, Дгз).
Для расчета течения в коническом диффузоре (рис. 16.9) используется решение описанной выше задачи в трубе, расположенной перед диффузором. В самом диффузоре используется сферическая полярная система координат. Эквивалентная форма описанного выше алгоритма в этой системе координат приведена в работе [Агш))е!о, Р!е1с!тег, !986). Типичные распределения осевой составляющей скорости приведены на рис.
16.10. Данные профили соответствуют тече- нию в семиградусном коническом диффузоре с числом Вйб Гл. 1б. Течения, описываемые КХ5-уравиеииями Навье — Стокса Рейнольдса 3.82 к', 10', рассчитанным по диаметру входного отВЕРСтни. СРЕДНЯЯ ЗаируЧЕННОСТЬ ПОТОКа На ВХОДЕ Ючт/Мал = 0.3 соответствует экспериментальным данным Со [Бо, 1964].
Численные результаты получены при 50 точках в радиальном направлении и 150 — в направлении х. Минимальный шаг в радиальном направлении у стенки равен 0.001Р, где Р— диаметр входного канала. Размер шага по радиусу увеличивается на 10 % при движении к центральной линии. В качестве исходных данных для расчетов использовались экспериментальные данные в сечении х/Р = 0.6 внутри диффузора. Сравнение с экспериментальными данными проводится 0,30 0.00 0.25 0.50 ОЛ5 г Рис.
1б.11. Профили окружной скорости в коническом диффузоре. при х1Р = 6.3. Для моделирования турбулентности использовались, как отмечалось выше, алгебраическая модель турбулентной вязкости и (л — в)-модель (п. 11.5.2). Обе модели дают хорошее совпадение с экспериментальными данными. Соответствующее распределение окружной скорости приведено на рис. 16.11. Как и для осевой составляющей скорости, хорошее совпадение с экспериментальными данными Со получается при использовании обеих моделей турбулентности. В целом укороченные уравнения Навье — Стокса (16.63)— (16.66) позволяют весьма точно и весьма экономичным образом получить решение о внутреннем течении закрученного потока.
Однако следует заметить, что слишком сильная закрутка потока на входе приводит к образованию возвратного течения у оси диффузора. При сильной закрутке при наличии или отсутствии возвратного течения у оси КучЬ-уравнения дают достаточно точное решение задачи, но лишь при многократных проходах в направлении течения. При этом в уравнении (16.64) сохраняется член др/дх и дискретизация этой производной осуществляется разностями вперед (как в п. 16.3.3).
Это приводит к необходимости хранить все поле давления от одного маршевого прохода до 329 $ !6.2. Внутренние течения другого. Кроме того, оказалось, что для сильно закрученных потоков, близких к образованию возвратного течения, давление необходимо определять из уравнения Пуассона, как это будет сделано в п. 17.1.2, а скорость о — из уравнения радиальной составляющей импульса. Если течение в осевом направлении становится локально возвратным, необходимо использовать разности против потока для осевых конвективных членов и хранить в памяти значения скоростей в области возвратного течения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
