Fletcher-2-rus (1185919), страница 59
Текст из файла (страница 59)
В декартовых координатах оно имеет вид уз+да= — (,д + д + д ). (16.114) д~ф дззз т' ди д)т' дйгз ъ Как и можно было ожидать из (16.107), вихревое поле скорости че ие появляется в уравнении (16.114). Уравнение (16.114) эквивалентно уравнению (16.95), и для его решения пригоден тот же метод (описан после формулы (16.95) ). Предположение (16.111) о малости скалярного потенциала позволяет упростить уравнение (16.113). Конвективный опе- ратор и у= — — + — — + —— и д о д зв д (16. 115) Ь! д1 Лз дп аз дь остается без изменений.
Однако вектор ц, на который он дей- ствует, заменяется на вектор и', определяемый в виде и' — = (и, )т'+ пе, )Г' + пзе), (16.116) т. е. в соответствии с оценкой (16.111) можно отбросить поперечные потенциальные составляющие скорости. Выражение для вязкой силы Г можно записать в виде Г = узп= — туХ и, (16. 117) где завихренность И = з) Хи. Анализ порядков величин позволяет отбросить дви/дха из Рз и производные по х в поперечных составляющих вектора ЧХЯ.
Таким образом, выражения для Рз и Рз приводятся к виду д("пз) йй Р д("") (!6 !!8) дт з з а дп $16.2. Внутренние течения 34Г где направленная по потоку компонента завихренности Й~ равна 411 =(йзнз) ( д (йз(йу +тоеП дт узз(т + оеН) . (16.119) В декартовых координатах это выражение сводится к формуле (16.105) . Если уравнения (16.116), (16.118) и (16.119) подставить в (16.113) и провести анализ Фурье уравнений (16.113) и (16.114) (см. п. 16.1.2), то получится полипом (от+а,')(ио,+оп„+во,— 1 " *) =О. (16.120р для поперечной поправки давления Р =Р Рог Численное решение уравнения (16.123) осуществляется так же, как и уравнения (16.99). Давление на центральной линии определяется из ограничения на поток массы (16.90) по формуле (16.92).
В описываемом методе не делается никаких дополнительных предположений для определения давления по формуле расщепления (16.124). После подстановки вихревых компонент скорости, определенных выражениями (16.107), в уравнение (16.119) для получается уравнение Пуассона (в декартовых координатах) дезу дзЧ дуч датз — + — = — Й,— — + —.
дуг дгз дг ду (16. 125) (16. 124) При положительном значении и ни один из множителей не дает мнимого корня со знаком минус. Следовательно, маршевое решение в направлении х будет устойчивым. На практике уравнения для поперечных составляющих импульса (Мз = 0 и Мз = 0) не решаются непосредственно. Вместо этого рассматриваются их следующие комбинации (в декартовых координатах): — — — =О, — + — =О. (16.121) дМз дМз дМз дМз дг ду ' ду дг Первое уравнение сводится к уравнению переноса для Яп дГЗ~ АЗ~ дП~ ! / дзй~ дзп~ Х и — + о — + зо — — — ( — + — ) =О. (16.122) дг ду дг йе (, ду' дг' ) Второе из уравнений (16.121) сводится к уравнению Пуассона — + — = — — (и ° Чое) — — (и ° Чш ) (16,123) дзр' дзр' д д дуз дгз ду " дг 242 Гл.
16. Течения, описываемые ййо-уравнениями Навье — Стокса Чтобы обеспечить выполнение условия прилипания о = = ш = О, следует, используя разложение (16.!03), связать уравнения (16.!22) и (16.125) путем задания определенного значения Й~ на стенке. Решения уравнений (16.114) с условием дф/да = 0 на стенке и (16.125) с условием ф = 0 обеспечивают обращение в нуль нормальной составляющей скорости.
На стенке при постоянном значении а (~ на рис. 16.15) касательная скорость равна о=У + — + — =О. дФ д~р ду дя .Завихренность на той же стенке й,= — — — —. д1г~ даф дг дяа ' (16.127) При конечно-разностной аппроксимации (подобно используемой в п. 16.2.2) выражение (16.126) преобразуется к виду т +~!~на ~1-~ а+~ьа~ь ~ьа-~ О, (16.128) 2Ьу 2Ьа где точка (1, й — 1) лежит за пределами расчетной области. Уравнение (16.127) записывается в следующем разностном виде: й + ~ + ' ' ь ь а+' — О.
(16.129) дя ~н Ьаа ,Для аппроксимации дйч/дг~ в (16.129) можно использовать .одностороннюю трехточечную конечно-разностную формулу (гл. 3). На стенке трь е — — О. Уравнение (16.128) используется .для определения значения ф; а ~ в (16.129), т. е. (16.130) Равенство (16.130) обеспечивает выполнение условия непротекания для компоненты о на стенке с постоянным значением г. Можно получить эквивалентное выражение, обеспечивающее выполнение условия в = 0 на стенке с постоянным значением у. Аналогичные выражения могут быть получены в ортогоиаль.ных координатах. Значения ф берутся в известных точках х".
Различные уравнения приводятся к дискретному виду так же, как в п. 16.2.2. Поскольку приближение малости потенциала (!6.111) позволяет получить неэллиптическую систему, решение, как и в п. 16.2.2, может быть вычислено за один маршевый .проход в направлении течения. В каждой точке, расположенной $ !6.2. Внутренние течения 34в вниз по потоку, решение определяется следующим образом. Сначала уравнения (16.122) и (16.125) решаются как связанная система.
При этом вместо (16.88) и (16.89) получается (2 Р', 2)-блочно-трехдиагональная система уравнений. Лля решения используется алгоритм, описанный в п. 6.2.5. Если уравнения (16.122) и (16.125) решать последовательно как скалярные уравнения, граничное условие (16.130) привело бы к очень. сильному ограничению на размер шага по оси. При дискретизации (16.122) значения конвективных множителей и, и и ш берутся со слоя х". Уравнение Пуассона для поправки давления р' решается так же, как и уравнение (16.99). Значения членов в правой части берутся со слоя х", за исключением пе и ше, которые определяются через чрл.~' из (16.107).
Уравнение (16.113) для компоненты М, и ограничение на поток массы (16.90) решаются итерационно, как в п. 16.2.2, в результате чего определяются значения ил+' и рл+'. В комбинации с решением для поправки ап к давлению р' полное давление определяется из (16.124). Наконец, из решения уравнения неразрывности определяется ф"+'. значение и"+' — по формулам (16.107). В работе [Вг(!еу, Мс0опа16, 1984] приведены соответствующие уравнения, описывающие сжимаемые вязкие течения в ортогональных системах координат.
В этой же работе обсуждается предшествующая маршевому решению вниз по потоку специальная итерационная процедура измельчения шага, позволяющая получить согласующиеся со схемой начальные условия. Это устраняет развитие нефизических осцилляций вниз по потоку. Типичные результаты расчета течения в канале квадратного сечения, ось которого разворачивается на 90' вправо, приведены на рис. 16.16. Радиус поворота !г/Ол = 2.3. Изображено шесть сечений, значение 90' соответствует концу поворота.
Внутренняя сторона изгиба находится справа. Число Рейнольдса. йе = 790 (рис. 16.7), толщина пограничного слоя в начале поворота Ь/Рл = 0 4. Решение симметрично относительно оси г, поэтому ячейку вращающейся жидкости следует отразить относительно прямой линии у = О. При прохождении поворота эта ячейка смещается к внутренней стенке. Максимум поперечной скорости равен0.73' и достигается при угле 60'. Сильное вторичное поперечное течение связано с существенным поперечным градиентом давления др/дг. Подобные течения не могут быть рассчитаны иа.
основе расщепления давления, описанного в п. 16.2.2. Для расчета таких течений пригодны методы, которые будут описаны, 344 Гл. 16. Течения, описываемые кЫ6-уравнениями Навес — Стокса в п. 17.2.3. Однако в этих методах необходимы повторные маршевые проходы, что делает их менее экономичными, чем рассмотренный однопроходовый метод. Можно отметить, что в работе [ВП1еу, МсРопа!д, 1979] разработана более ранняя версия настоящего алгоритма, предназначенная для расчета течения в искривленном канале, подобном каналу у лопаток турбины.
В указанном алгоритме для Пс =790 46' 30 60' 76ч 90 Рис. !6.16. Изваянии поперечного давления (вверху) н векторы поперечной скорости (виизу) для течения в канале с углом поворота 90'. давления использовалось приближение, аналогичное описанному в п. 16.2.2. В других отношениях более ранний алгоритм соответствует описанному в настоящем разделе. В работах [Кгез)соуз)су е! а1., 1984; Роу!пе!1у, Апг)егзоп, 1984] данный алгоритм использован для исследования течения в выхлопном канале турбины. Результаты расчетов очень хорошо согласуются с экспериментальными данными. Физические свойства течений, в основном ламинарных, в искривленных трубах рассматривались в работе [Вегдег е! а1., 1983].
Ламинарное течение в прямоугольном канале, разворачивающемся на 90', методом, аналогичном описанному в п. 17.2.3, рассчитывалось в работе [НпгпрЬгеу е! а1., 1977]. Наиболее существенное отличие их алгоритма от алгоритма работы [ВП!еу, МсРопаЫ, 1984] заключается в необходимости проведения повторных (итерационных) маршевых расчетов в направ- 343 $16.3. Внешние течения ленин потока. Расчет турбулентного течения тем же методом в аналогичном прямоугольном канале, разворачивающемся на 90', можно найти в работе [НшпрЛгеу е! а1., 1981). Результаты расчета ламинарного течения в трубе, разворачивающейся на 180', можно найти в работе [НцгпрЛгеу е! а!., 1985).
Использовался алгоритм, аналогичный описанному в и. 17.2.3, за исключением лишь того, что для аппроксимации конвективных членов использовались разности против потока более высокого порядка [1еопагд, 1979). Эта аппроксимация описана в п. 1 7.1.5. Внутренние течения с большой кривизной линий тока рас. считывалнсь также в работе [Рга1ар, Бра!б(па, 1976), в которой используются повторяющиеся маршевые проходы в направлении течения. В этом методе, как и в методе, описываемом в п. 17.2.3, значения давления в каждой поперечной плоскости получаются сильно завышенными. Однако после каждого марШевого прохода вниз по течению делается глобальная одномерная (в направлении линий тока) коррекция поля давления.
Обобщение на случай сжимаемого течения сделано в работе [Мооге, Мооге, 1979). Более позднее обобщение для расчета сжимаемых турбулентных течений в каналах и диффузорах, основанное на использовании обобщенных криволинейных координат и неразиесенных сеток, описано в работе [Р4Л(е, 1985) В общем случае модификация 14Х5-уравнений ($16.1) на основе расщепления давления (16.52) или поперечных компонент скорости (п. 16.2.3) позволяет получить довольно точное решение для внутренних течений в результате одного маршевого прохода, если только величина скорости и, направленной вдоль оси, остается положительной. Если возникают возвратные течения в направлении оси, необходимо проведение повторных маршевых проходов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
