Fletcher-2-rus (1185919), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Полученное решение хорошо согласуется с решением, определенным методом установления [81ейег, 1978], которое также использовалось для определения начальных данных при х/с = 0.1 (с — длина хорды профиля). Однако, если шаг маршевой переменной (Л$ = Лх) сделать слишком маленьким (Лх/с (0.005), маршевый алгоритм расходится. Данное свойство связано со слабой эллиптичностью, обусловленной вязкими членами в (16.38).
Расходимость можно устранить, если применить повторяющиеся (итерационные) проходы в маршевом направлении, при этом для рм следует использовать некоторую взвешенную комбинацию значений с предыдущих итераций, т. е. необходимо построить сходящиеся глобальные итерации. Шифф и Стегер получили, что достаточно точное решение получается в результате трех-четырех итераций. Необходимо подчеркнуть, что для достаточно больших чисел Рейнольдса корректное решение получается в результате одного прохода на достаточно грубой сетке, не приводящей к расходи- .мости решения. 352 Гл.
!6. Течения, описываемые К!Ч$-уравнениями Навье — Стокса Основываясь на том же алгоритме, Шифф и Стегер [ЯсЫ!1, 5!еиег, 1980] получили решение трехмерной задачи. На рис. 16.!9 и 16.20 представлены распределения давления и профили скорости на сферически затупленном цилиндре, расположенном под углом 5' к набегающему потоку. Маршевое решение получено на интервале 3.07 ( х/)тн < 40.0, где Яв — радиус затупления. На подветренной и наветренной сторонах для давления и продольной скорости имеется хорошее совпадение с расчетами методом установления [Рп!Иагп, 5!ейег, 1980] и экспериментальными данными [Нз!е!!, 1976].
Шифф и Стегер отмечают, что в методе установления в диапазоне 9.0 ( хан ( 14.0 используется слишком грубая сетка, в результате чего теряется точность решения. Другой способ расчета дозвукового слоя у поверхности заключается в домножении градиента давления в уравнении импульса в направлении маршевой переменной на некоторый параметр в, в результате чего устраняется экспоненциальное нарастание решения при одном маршевом проходе. Возможный выбор в определяется уравнением (16.153). Если и ) а, градиент давления учитывается обычным образом. Такой подход использовался для расчета сверхзвуковых вязких течений у крыльев дельтообразной формы в работах [Ч!ппегоп е! а1., 1978; Таппейб!1 е! а1., 1982] и для расчета сверхзвуковых вязких течений у конусов под углом атаки в работе [Вас!с!с)! е! а!., 1982]. Метод Виньерона будет здесь продемонстрирован применительно к укороченным уравнениям Навье — Стокса, описывающим сверхзвуковое вязкое течение, т.
е. к уравнениям (16.12), (16.13), (16.15) и (16.17), в которых лишь р"~=ра/р (/', п поэтому скорость звука определяется выражением аа = Тр/р, а не (16.33). Уравнения могут быть записаны в виде идр/дх+одр(ду и ) да + да !+ ди + до 0 (!6 !48) а ч дх ду / дх ду ди ди др ! д и ри — + ро — + в — — — — = О, (16,149) дх ду дх ке дуе до до др ! д'о Ри — + Ро — + — — — —, =О, (16 150) дх ду дх !!е дуе Г ди доХ е др о др р !ч — + — х!+ви — + — — = (,да ду) дх у ду где в' = 1 — (Т вЂ” 1)в/Т. Для проведения анализа Фурье (см.
(п. 16.1.2)) производные от плотности и температуры заменены $16.3. Внешние течения Понаетреннан сторона 12 8 а 1.О 0.8 О 4,8 12 16 ш[вн Рис. 16.19. Распределение давления по поверхности цилиндра со сферическим затуплением, расположенного под углом атаки; М = 1.40, Ке(Рн) = 2 рс 10' (турбулентное течение) ([ЗсЫ(1, 8(е8ег, 1980); печатается с разрешения А1АА). 1.10 '!.0 нан 1 ОО О 02 Он4 0 6 0.6 143 н/и Рис. 16.20. Профили скорости в вязком слое на цилиндре со сферическим затуплением, расположенном под углом атаки; М = 1.40, йе» = 1.40 )4 1Ое (турбулентное течение, хЯи —— 6.98).
([8сЫ11, 8(еОег, 1980); печатается с разрешения А1АА). 23 Х. Флетчер, т. 2 664 Гл. 16. Течения, описываемые Кма-уравнениями Навье — Стокса производными от давления р и скорости звука а. Зависимости 1ь(Т) и й(Т) ие учитываются. Анализ Фурье используется для выбора ограничения иа о2, обеспечивающего корректность решения системы (16.148)— (16.151) или эквивалентной ей, записанной через и, о, р, р и Т, за один маршевый проход. Недиффереицируемые члены в (16.148) — (16.151) замораживаются, а для и, о, р и а, как и в (16.24), вводится разложение в ряд Фурье вида и— - й ехР (чос х) ехР ((оаУ) . Уравнение для собственных чисел о„имеет несколько более простой вид, если о = О. Таким образом, предполагается, что поток локально направлен по оси х.
Данное ограничение позволяет получить простое аналитическое выражение для вели- ЧИНЫ Ог,о ОТДЕЛЯЮЩЕЙ ЭКСПОИЕИЦИаЛЬИО НаРаетаЮЩИЕ (т. Е. ИЕ- устойчивые) решения (при го ) ог„) от устойчивых (при о2 ( ( Отсг) ° В приближенной форме уравиеиие для собственных зиачеиий п„может быть записано в виде Р— ' (о'„([у — (у — 1) о21 ит — отав) — аеоа )— 1ой — — (от ([1 + 0.5у — 0.5 (у — 1) от) ит — агат) — атот) = О, (16.152) Вдали от поверхности тела течение ведет себя как иевязкое, и вторым членом в уравнении (!6.152) можно пренебречь (т, е.
устремить Ке к оо). Для получения устойчивого решения за один маршевый проход необходимо, чтобы ие было корней со знаком минус при мнимой части. Из (16.152) можно получить следующее критическое значение кс Отсс, Г = 2 . (16.153) 1+ (т — 1) М', Другими словами, если ог ( ог„, то получается устойчивое решеиие.
При М, ) 1 член др/дх можно сохранить полностью (ы = 1), Экспоненциального роста по х ие происходит. Если вязкие эффекты учитываются, то, как следует из (16.38), можно ожидать появления слабой неустойчивости. Одиако приближенное условие иа основные неустойчивости можно получить из уравнения (16.152), если записать его в приближениом виде (,. рио„ои 2 — — 1 р„) [Со-'„— ачпе] = О, (16,154) где С = [0 5+0 75(т — (Тг — 1)о2)] ив — гоат и равно среднему от двух коэффициентов при ов в уравнении (!6.152).
Из (16.154) 355 $15.3. Внешние течения следует, что не будет корней со знаком минус при мнимой части, если и и С больше нуля. Таким образом, для того чтобы выполнялось условие С ) О, 0.5+ 0.75тМх 1+ 0.75(т — 1) Ме (16.155) 16.3.2. Дозвуховые течения Метод Внньерона учета части градиента давления в маршевом направлении используется для устойчивого расчета дозвукового слоя, возникающего в сверхзвуковом вязком течении у твердой поверхности (п. 16.3.1). Такой же подход может быть использован и при рассмотрении полностью дозвуковых течений, Однако при использовании КИЯ-уравнений для описания внешних дозвуковых течений возникают существенные отличия 23» Можно заметить, что в,и, ) шеь ь Следовательно, ограничение на ш, полученное с учетом вязких членов, не столь жесткое, как в случае невязких течений.
Однако приближение, при котором получено (16.155), не исключает возможность слабого эллиптического влияния, обусловленного влиянием вязких членов при ш ( езеп» В Работе [Ийпегоп е! а!., 1978] также полУчено выражение (16.153), но из характеристического анализа. Если для описания дозвукового подслоя не вводится никакой специальной процедуры, устойчивое решение за один маршевый проход по потоку может быть получено при Лх) (Лх) Этот факт был обнаружен эмпирически в работах [Е!п, йпЬ!п„ 1973; ЕпЬагд, Не!!Ме11, 1974] при расчете сверхзвукового течения у наклонного конуса. В работе [ЕпЬагд, Не!!Ме11, 1974] из анализа устойчивости показано, что (бх) ~н Лу,и Таким образом, для достаточно тонких подслоев Лум правильное решение может быть получено без введения дополнительных приближений.
В работе [Не!!!ше11 е! а!., 1981] приведен соответствующий алгоритм в обобщенных координатах. Экономичность, присущая одиопроходовым КЫЗ-методам, позволяет рассматривать сложные геометрии, требующие подробных сеток. Так, в работе [Кап!, СЬапззее, 1985[ в приближении подслоя рассчитано турбулентное гиперзвуковое течение у опытного самолета Х-24С на сетке 6!,и',30 в каждой плоскости вниз по потоку. Хорошее совпадение с экспериментальными данными отмечается в работе [Ыешпапп е! а1., 1978]. Обсуждение дополнительных вопросов, связанных с маршевым решением ЙЫ3-уравнений для сверхзвуковых течений, можно найти в работе [СЬапззее, 1984]. 366 Гл.
16. Течения, описываемые йХЯ-уравнениями Навье — Стокса Течение вдали от тела, помещенного в однородный поток, ведет себя, как невязкое. В дозвуковом невязком течении эллиптиче- ский характер уравнений отражает физическую роль давления, обеспечивающего распространение возмущений вверх по потоку. Следовательно, даже если применить метод Виньерона, ко; торый стабилизирует каждый маршевый проход вниз по по- току, для получения правильного решения необходимо прово- дить повторные (итерациониые) маршевые проходы по прост- ранственной переменной. При этом решение, полученное за один проход, довольно точно.
Следовательно, если повторяющиеся маршевые итерации устойчивы, для получения решения доста- точно нескольких итераций. Для дозвуковых течений без внешнего подвода тепла темпе- ратурные изменения сравнительно невелики, и достаточно точ- ное решение можно получить, если уравнение энергии заменить условием сохранения полной энтальпии (11.104). Для двумер- ного дозвукового вязкого течения КХ8-уравнения с учетом при. ближения Виньерона имеют вид и — +о — +р — +р — О, др др ди до дх ду дх ду (16.156) еае др ди да ы(у — 1) Г ди до у 1 деа — — +ри — +ро —— у дх дх ду у ь дх дх ) !(е дуа ' 1чРи — + Ро — ~ = — —, (16.157) аа др (у — 1) ди до рв до ! део — — — — ри — + ри — + — — = — —,.
(16.158) У ду у ду дх у ду йе дуа ' Здесь давление приведено к безразмерному виду с помощью значения р"~ =р~/р (7'. В выписанных уравнениях условие постоянства полной эи- тальпии в сочетании с уравнением энергии использовано для исключения давления из уравнений импульса. Уравнения (16.156) — (16.158) при со = 1 совпадают с (16.30) — (!6.32). Как и в п. 16.3.1, для определения ограничения на о1, при котором возможно устойчивое маршевое решение в направлении потока, будет использован анализ Фурье.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
