Fletcher-1-rus (1185917), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Как указывает Каллен, показанные на рис. 1.6 результаты были получены на сетке 192 Х 80 Х 15 с использованием явной расщепленной конечно-разностной схемы с продвижением решения во времени. Это позволяет полностью хранить всю сетку в основной памяти. Для получения трехдневного прогноза используется 288 шагов по времени, что требует 7'/з мин процессорного времени на компьютере Ст'ВЕц-205.
Как отмечает Каллен, основная трудность для проведения достаточно точного крупномасштабного прогноза на срок более 3 — 4 дней состоит в получении начальных данных, имеющих достаточно высокое качество. Что касается более тонких 24 Гл. 1. Введение в вычислительную гидроазродинамику Уис. 1.6. Сравнение кривых распределения и температуры при 850 мбар. (а) Измерения; (Ь) прогнозы (согласно (СпПеп, 1983); воспроизведено с разрешения Асаг(егп1с Ргезз). $ !.3. Структура уравнений местных прогнозов, то здесь возникают дополнительные трудности, связанные с необходимостью предотвращения «заглатывания» внутреннего решения возмущениями, идущими от границ, а также с необходимостью точного представления огромных местных градиентов, соответствующих фронтам. Для моделирования глобальной циркуляции, и в особенности для построения долгосрочных прогнозов, можно применить спектральный метод Я 5.6), хорошо согласующийся со сферической полярной геометрией.
Вообще говоря, спектральные методы являются более экономичными, чем конечно-разностные или конечно-элементные, при сравнимой точности расчетов, по крайней мере для глобальных прогнозов. Применение спектральных методов к прогнозированию погоды кратко обсуждается в книге Флетчера [Г!е1спег, 1984], а более подробно — в работе Бурке и др. [Воцгке е! а1., 1977].
Приведенные выше примеры дают наглядное представление о современном состоянии ВГАД. Что касается будущего, то Бейли [Ва!!еу, 1986] утверждает, что «для решения задач, связанных одновременно и со сложной геометрией, и со сложными физическими условиями, требуются более мощные компьютеры с большим объемом памяти». 9 1.3. Структура уравнений Общая черта всех тех задач гидроаэродинамики, которые рассматриваются в данной книге, состоит в том, что жидкость может считаться непрерывной средой.
Вследствие такого условия описание поведения жидкости может быть осуществлено посредством представления скорости и термодинамических параметров как непрерывных функций времени и пространства Применение принципов сохранения массы, импульса и энергии позволяет получить систему дифференциальных уравнений в частных производных (см.
гл. 11) для скорости и термодинамических переменных как функций времени и координат. Если сформулировать граничные и 'начальные условия, соответствующие данному виду течения и типу дифференциального уравнения в частных производных, то математическое описание задачи будет завершено. Многие гидроаэродинамические задачи связаны с развитием взаимодействия между коивекцией и диффузией. Простой пример такого рода схематически представлен на рис. 1.7, где показано распределение температуры жидкости в трубе в различные моменты времени.
Предполагается, что жидкость движется слева направо с постоянной скоростью и и температура в поперечном сечении трубы постоянна. ав Гл. 1. Введение в вычислительную гидроавродинамику Температура как функция х и ! определяется уравнением дТ дТ даТ вЂ” + и — „— а —,=0 при хс(~х<хл и !) О. (1.1) Е сли провести соответствующее обезразмеривание переменных, то граничные и начальные условия примут вид Т(хс, !) =Т(хл, !) = О, соэ пх, — 0.5 ( х (0.5, О, х( — 0.5, х) 0.5.
(1.2) Уравнение (1.1) и условия (1.2) — (1.3) обеспечивают математическое описание задачи. Член адеТ!дхт представляет собой !.О Т 1.0 Т 1.0 -!.0 0 1.0 х 2.0 хи Рис. 1.7. Одномерное распределение температуры. диффузионный член, а величина сс — коэффициент тепловой диффузии. Этот член несет ответственность за распределение области ненулевой температуры вправо и влево; если коэффициент а мал, то и полоса распространения мала. Методика вычислений в применении к уравнениям, содержащим подобные члены, рассматривается в гл.
7 и 8. Член идТ~дх — конвективный член, несущий ответственность за то, что распределение температуры целиком сносится вправо с известной скоростью и. Принципы обращения с этим чле- $1.3. Структура уравнений ном, а также с полным уравнением переноса (1.1), рассматриваются в гл. 9. Если размерность задачи превышает единицу„ то оказывается, что и конвективные, и диффузионные члены связаны с каждым из исследуемых направлений (см.
$ 9.5) Если учесть, что величина и известна, уравнение (1.1) является линейным по Т. Однако если решение строится для поли скоростей, то необходимо рассмотреть уравнения с нелинейными конвективными членами. Прототип для нелинейности подобного рода задается уравнением Бюргерса (см. 9 10.1) ди ди д'и — + и — — а — =О. дт дк дке (!.4) (1.6а) Наличие нелинейного члена иди/дх способствует тому, что при очень малых а развиваются очень большие градиенты из- менения и. Наличие таких градиентов приводит к необходи- мости измельчения сетки, и в результате наличие нелинейности нередко влечет за собой необходимость введения дополнитель- ного уровня итерации в вычислительный алгоритм.
Некоторые проблемы гидродинамики и теории теплопереда- чи определяются решением уравнения Лапласа (1.5) Это имеет место для течения невязкой несжимаемой жидкости в отсутствие завихренности, и тогда величина ф представляет собой потенциал скорости (см. $11.3). Уравнение Лапласа со- ответствует наиболее характерному виду уравнения, опреде- ляющего равновесие системы или решение стационарных за- дач (см.
гл. 6). Кроме того, уравнение Лапласа обладает тем специальным свойством, что у него есть простые точные реше- ния, которые можно складывать между собой (осуществлять суперпозицию), так как само уравнение линейно. Наличие этих свойств используется при применении методов, описываемых в з 14.1. Многие гидроаэродинамические задачи связаны с опреде- лением более чем одного искомого переменного, что приводит к необходимости рассмотрения систем уравнений. Так, напри- мер, одномерное неустановившееся течение невязкой сжимае- мой жидкости подчиняется уравнениям (см. з 10.2) — + — =О, др д (ри) д1 дх д) + д (ри +1')=О, д (ри) д — „+ — д„1и(Р+ Е)1 = О дЕ д (!.бс) 28 Гл. 1. Введение в вычислительную гннроаародннамнку где Р— давление, а Š— полная энергия, приходящаяся на единицу объема и определяемая выражением Е = — + 0.5рив, у — 1 (1.7) ди ди д / ди х — + и — — — 1ха — ) =Я, дг дх дх ~ дх) (1.8) где коэффициент а является теперь функцией искомой переменной и, а 5 представляет собой член типа источника, содержащий добавочные вклады за счет турбулентности.
Однако для полной ясности необходимо отметить (см. п. 1!.4.2 и 11.5.2), что турбулентные течения являются по меньшей мере двумерными, а зачастую и трехмерными и что для описания таких течений необходимо иметь систему уравнений. $1.4. Обзор общих принципов вычислительной гидроаэродинамики Весь процесс выявления практической информации, касающейся задач, связанных с течением жидкости или газа, схематически может быть представлен на рис.
1.8. Определяющие уравнения (см. гл. 11) для течений, представляющих практический интерес, оказываются обычно столь сложными, что получить их точное решение невозможно и необходимо строить численное решение. При использовании вычислительных методов исходные дифференциальные уравнения в частных производных заменяются системой алгебраических уравнений, в результате чего для получения решения можно воспользоваться вычислительной машиной. В данной книге будут изложены вычислительные методы, служащие для построения и решения систем алгебраических уравнений. При применении локальных методов типа методов конечных разностей, конечных элементов и конечных объемов алгебраические уравнения связывают между собой значения искомых в котором у — отношение удельных теплоемкостей. Несмотря на нелинейность уравнений (1.6), их структура подобна структуре уравнения (1.4) без диффузионных членов.
В широком представлении стратегия численного решения, разработанная для скалярных уравнений, будет применимой и к системам уравнений. Для тех гидроаэродинамических задач, где в рассмотрение необходимо включить осредненные свойства турбулентности, структура концептуального уравнения может быть представлена в виде э 1.4. Общие принципы вычислительной гидроаэродинамики 29 переменных в группе соседних узловых точек.
При этом подразумевается, что сетка, состоящая из дискретных точек, раслределеиа по всей вычислительной области во времени и в ЛЛЯ КАЖЛОГО ЭЛЕМЕНТА ЖИЛКОСТИ Сохранение массы Решить уравнения с граничными усло- виями Распределение скорости: и (х, у, х, Г), о (х, у, х, Г), ш(х,р,х,г) Распределение давления: р(х, у, х, Г) Распределение плотности: р (х, у, а, Г) Распределение температуры: Т (х, у, х, Г) Определить характеристики течения: Р ис. !.8. Обзор общих принципов вычислительной гидроаэродинамики. пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
