Fletcher-1-rus (1185917), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Возникает важный вопрос— может ли преобразование координат такого рода, какой будет описан в гл. !2, изменить тип дифференциального уравнения в частных производных? Таким образом, вместо (х, у) вводятся новые независимые переменные ($, т!), причем предполагается, что преобразова- ния $ = $(х, у) и т! = т1(х, у) известны. Производные преобра- зуются по формулам типа (см. $ 12.1) — =$ — +ч —, ди ди ди дх "да "дт! (2.16) где 0„= д~/дх и т. д. После некоторых манипуляций уравне- ние (2.8) приводится к виду дзи А' — + В' — + С' — + Н' = О, (2.17) д$з да дп дпз 5 2.1. Основные положения 41 Необходимо найти такое преобразование В = $(х, у, г), т) = = т1(х, у, г), ь = ь(х, р, г), в результате которого исчезли бы все смешанные производные по ($, н1, ~).
Такой подход не годится в случае более чем трех независимых переменных, но тогда удобно заменить (2.20) на уравнение вида 1,в! (2.21) где М вЂ” число независимых переменных, а коэффициенты аы заменяют коэффициенты от А до г" в (2.20). Упомянутое ранее преобразование, выполняемое с целью избавления от смешанных производных, эквивалентно нахождению собственных значений Х матрицы А, имеющей элементы аро Следуя Честеру 1СЬез1ег, 1971), можно дать следующую классификацию; 1) Если какое-либо из собственных значений Х равно нулю, уравнение (2.21) является параболическим.
2) Если все собственные значения отличны от нуля и имеют одинаковый знак, уравнение (2.21) является эллиптическим. 3) Если все собственные значения отличны от нуля и все, кроме одного, имеют одинаковый знак, уравнение (2.21) является гиперболическим. После этого дискриминант В' — 4АС преобразуется к форме Вв 4АС 1в((В )н 4А С ) (2. 19) где якобиан преобразования 7 = $„т1н — унт)„. Формула (2.19) приводит к важному результату, гласящему, что классификация ДУЧП остается одной и той же, будет ли она определена в декартовых координатах по уравнению (2.8) или же в координатах ($, н) по уравнению (2.17) с формулами (2.!8).
Таким образом, введение преобразования координат не изменяет типа ДУЧП. Распространение принципа исследования характеристик на уравнения более чем с двумя независимыми переменными оказывается менее полезным. В случае т измерений следует рассматривать (т — 1)-мерные поверхности. Тем не менее исследование коэффициентов при старших производных в принципе может дать полезную информацию. Например, в случае трех измерений уравнение (2.8) будет заменено на уравнение (2.20) 42 Гл. 2. дифференциальные уравнения в частных производных Для случая трех независимых переменных Хелвиг [Не!!то!и, 1964) предлагает эквивалентную классификацию, основанную на значениях коэффициентов при производных в преобразованных уравнениях. Прн числе независимых переменных, превышающем два, часто можно получить полезную информацию относительно свойств дифференциального уравнения в частных производных,.
рассматривая двумерные поверхности, т. е. путем выбора некоторых определенных координатных значений. Так, например, характер уравнения (2.20) можно установить в плоскости х = сопз(, временно замораживая все члены с производными по х и рассматривая полученное таким образом уравнение как уравнение для функции двух независимых переменных. 2.1.4.
Системы уравнений (2.25) Как показывает исследование, проведенное в гл. 11, определяющие уравнения для гидроаэродинамических задач часто составляют систему, а не приводятся к одному уравнению. Система из двух ДУЧП первого порядка с двумя независимыми переменными может быть представлена в виде ди ди до до Аы — + Вп — + Адг — + „— = Еы (2.22) дх ду дх ду ди ди до до Аг, — + „— + Аг, — + „— = Е,. (2.23) дх ду ' дх ду Учитывая, что и и о являются функциями х и у, можно записать следующие соотношения: с(а = !х ах ) йх + ( а ) Ф (2. 24) о ( —,) ах+ ( —,) йу.
При решении задачи, показанной на рис. 2.3, предполагается, что решение уже было определено в области АСРЮВ. Как и прежде, в точке Р ищутся два направления с(у/с(х, вдоль которых появляются только полные дифференциалы с(и и с(о. Для системы уравнений (2.22) и (2.23) это эквивалентно нахождению таких множителей Е, и Е„что 1, К (2.22) + Ег ь((2.23) =~-т, с(а + тг сЬ = 1.,Е, + 1.,Ег. (2.26) Раскрытие членов, входящих в соотношение (2.26), позволяет получить соотношения 1.,Ап + ЕгАг, — — т, с!х, Ь,Вп + ЕгВг1 = т, с(у, (2.27) Е~А1г+ ЕгАгг = т, сгх, У.,В~а+ 1гВ„= тг с(у.
5 23. Основные положения Уравнение (2.30) имеет два решения и характер решений зависит от дискриминанта 1У18 = (АиВзт — АмВм+ АзтВи — АмВж)е— — 4(АиАтз — АжА,з)(ВиВтз — Вт,Вм), (2.31) от которого зависит также и классификация системы уравнений (2.22), (2.23). Различные возможности указываются в табл. 2.1.
Д с 'Б Ю о с о ) и с 1 а 01 о > С Ф 8 1 Наьальные условна Рис. 2.3. Схематичесное представление вычислительной области для задачи о распространении. На характеристиках производные ди/дх, ди/ду, до/дх и до/ду определяются неоднозначно. По существу при пересечении характеристик могут возникать разрывы нормальных производных, тогда как тангенциальные производные при этом непрерывны.
После исключения т, и т, и перегруппировки членов получаем с (Аи ду — Ви а(х) (Аз, ду — Вт, с(х) 1 ~ 1., 1 (Ам Ыу — В1тс(х) (Аззс(у — Взтдх) 3 ~ Цт 1 2а = О. (2.28) Учитывая, что система однородна по отношению к х.ь необходимо выполнение условия с)е1 (А аау — В п1х] = О, (2.29) чтобы получить нетривиальное решение.
В вышеприведенном примере условие (2.29) принимает форму Гор ьз (АиАтз — АмА„) ( — „1 — (АиВтз — АмВы + ВиАзз— ор — ВмАы) — "+ (ВиВзз — Вз1В1т) = О. 44 Гл. 2. Дифференциальные уравнения в частных производных Таблица 23. Классификация уравнений (2.22), (2.23) Корни уравнения (кзо( Классификации системы (з.тзх (втз) О(З Положительный Нулевой Отрицательный 2 вещественных 1 вещественный 2 комплексных Гиперболическая Параболическая Эллиптическая В качестве использования вышеприведенной классификации можно привести следующий пример. Определяющие уравнения для двумерного потенциального течения сжимаемой жидкости (уравнения (11.103) ) могут быть переформулированы за счет введения составляющих скорости, что дает а также ди до — — + — --= О.
ду дк Уравнения (2.32) и (2.33) имеют такую же структуру, как (2.22) и (2.23). Конкретизация выражения в правой части (2.31) дает 018 = 4(М' — 1), где М'= (и'+ и')/аз, (2.33у [А (ду) — В]Ь(ь'=О, й=!, ..., и. (2.34) Свойства системы [Не!1(ч19, 1964] зависят от решения уравнения (2.29) следующим образом: 1. Если получено и вещественных корней, то система является гилерболическойц и свидетельствует о том, что система (2.32) и (2.33) является гиперболической, если М ) 1.
Этот результат совпадает с тем, который мы получили при рассмотрении уравнения для потенциала течения сжимаемой жидкости (2.4). Именно этого и следовало ожидать, так как, несмотря на то что уравнения по форме различаются, они определяют одну и ту же физическую ситуацию. Построение, применявшееся для вывода уравнений (2.28) н (2.29), может быть обобщено применительно к системе из и уравнений первого порядка [%)т!1)(ат, 1974]. Уравнение (2.28) заменяется уравнением $ 23.
Основные положения 2. Если имеется ч вещественных корней, причем 1 ( ч < ( и — 1, а комплексные корни отсутствуют, то система является параболической. 3. Если не получено ни одного вещественного корня, то система является эллиптической. А дч + В дч + С дч дя дч дг (2.35) где символом 9 обозначается вектор, составленный из и искомых переменных. Уравнение (2.35) приводит к получению характеристического полинома порядка и [СЬез(ег, 1971]: йе1 [А Л„+ ВЛн + СЛ,[ = О, (2.36) где Л„Лв и Л, определяют нормальное направление к поверхности в точке (х, у, г).
Уравнение (2.36) обобщает уравнение (2.29) и дает условие, что данная поверхность является характеристической. Ясно, что если характеристическая поверхность является вещественной, то уравнение (2.36) должно иметь вещественные корни. Если получено п вещественных корней, то система является гиперболической.
Можно задать вопрос, какой характер имеет данное дифференциальное уравнение в частных производных по отношению к определенным направлениям. Например, полагая Для больших систем некоторые корни могут быть комплексными, а некоторые — вещественными; в таком случае система является смешанной. Наиболее важно устанавливать различие между эллиптическими и неэллиптическими системами дифференциальных уравнений в частных производных, так как эллиптичность не допускает времениподобного поведения решения.
Поэтому система уравнений будет считаться эллиптической, если только появляются комплексные корни. Данная выше классификация распространяется и на системы уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными, так как путем введения вспомогательных переменных можно получить систему ббльшего числа уравнений первого порядка.
Существует, однако, риск, что обе матрицы А и В окажутся особыми, так что во избежание поведения с вырождением понадобится рассмотреть некоторые комбинации данных уравнений [%И1пат, 1974[. Применительно к системам, где число независимых переменных превышает два, уравнение (2.29) может быть частично обобщена следующим образом. Систему уравнений первого порядка с тремя независимыми переменными можно представить в виде 46 Гл. 2. Дифференниаиьные уравнения в частных производных где и, = ди/дх и т. д., Ке — число Рейнольдса, а и, о, р — искомые переменные. Уравнения (2.37) приводятся к форме системы уравнений первого порядка за счет введения вспомогательных переменных /7 = о„5 = о„и Т = и„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
