Fletcher-1-rus (1185917), страница 6
Текст из файла (страница 6)
На этом основании процесс превращения иепрерывиых определяющих уравнений в систему алгебраических уравнений называют обычно процессом дискретизации (см. гл. 3). При примеиеиии такого глобального метода, как спектральный, ВторойзаконНьютона ~ ( для движения Сохранение энергии Уравнение состояния уравнение неразрывности, уравнения Эйлера, уравнения Навье — ~ Стокса, ! уравнение энергии отрыв потока, секундный расход, теплонередача, силы, действующие на тело (напряжение трения, сопротивление, подъемная сила), коэффициенты полезного действия (для турбины, диффузора) Гл. !.
Введение в вычислительную гидроаэродинамику искомые переменные заменяются обычно амплитудами, относящимися к различным частотам, Алгебраические уравнения, к которым приводит процесс дискретизации, могут быть получены следующим образом. Характерное конечно-разностное представление уравнения (1.1) имеет вид Тлт1 Те и(Тл Тп ) а (Тл — 2Т" + Т" ) г+' г ' ' г ~+', (1.9) Ы 2Ьх Ьх где х = /Лх и 1=пМ. Если решение известно во всех узловых точках хг на временном слое п, то уравнение (1.9) можно использовать для составления алгоритма, служащего для определения Тг, т. е. на- и+! писать Т вЂ” Т~ — ( †) (Тг+ — Т вЂ” ) + ( †, ) (Т вЂ” — 9Т + Т + ).
(1.10) Повторное обращение к формуле (1.10) позволяет получить решение во всех внутренних узловых точках хо на временнбм слое и + 1. Увеличение и на единицу н подстановка значений Т"+ в правую часть выражения (1.!О) позволяет осуществить маршевое передвижение дискретного решения во времени. При применении локального метода, например конечно-разностного, число узловых точек, необходимое для построения достаточно точного решения, зависит, как правило, от размерности, геометрической сложности и величины градиентов изменения искомых переменных.
Для определения течения вокруг самолета в целом может потребоваться сетка, состоящая из 10 млн точек. В каждой из узловых точек необходимо запоминать каждую из искомых переменных, а также некоторые вспомогательные переменные. При рассмотрении турбулентного сжимаемого трехмерного течения указанный подход может привести к необходимости введения от 5 до 30 искомых переменных„ приходящихся на каждую узловую точку. Для обеспечения эффективного расчета все эти переменные должны храниться в основной памяти.
Если учесть, что для большинства задач гидроаэродинамики определяющие уравнения являются нелинейными, процесс построения численного решения обычно ведется посредством итераций. Иначе говоря, решение для каждого искомого переменного в каждой узловой точке последовательно подправляется посредством обращения к дискретизованным уравнениям. Процесс построения итераций оказывается нередко эквивалент- 4 1.5. Литература для дополнительного чтения 3! ным продвижению решения на некоторый малый шаг во времени (см.
гл. 6). Число итераций или шагов во времени может варьироваться от нескольких сот до нескольких тысяч. Сам процесс дискретизации вносит в расчет ошибку, котопую в принципе можно уменьшить за счет измельчения сетки, если только дискретные уравнения такого типа, как уравнение (1.9), являются надежным представлением исходных определяющих уравнений (см. 9 4.2). Если численный алгоритм, реализующий итерацию или продвижение во времени, является к тому же устойчивым (см. 9 4.3), то численное решение может быть сделано сколь угодно близким к истинному решению определяющих уравнений за счет измельчения сетки, при условии что это допускается ресурсами вычислительной машины.
Хотя, как правило, решение ищется в форме набора дискретных узловых значений, все же некоторые методы, как, например, конечно-элементные и спектральные методы, вводят в явной форме непрерывное представление численного решения. В тех случаях, когда исходная физическая задача в силу своего характера обеспечивает плавность, указанные методы не. редко дают большую точность по отношению к каждой неизвестной, входящей в дискретизоваиные уравнения.
Эти методы кратко обсуждаются в гл. 5. й 1.б. Литература для дополнительного чтения Предлагаемое пособие ставит своей целью дать введение в вычислительные методы, подходящие для решения задач гидро- аэродинамики. Более подробную информацию можно найти в других книгах, обзорах, журнальных статьях и трудах конференций. Рихтмайер и Мортон [К!сЫшуег, Мог!оп, 1967] строят общие основные теории для анализа вычислительных методов, применяемых в гидроаэродинамике, и обсуждают конкретные конечно-разностные методы, используемые для исследования невязкого сжимаемого потока.
Роуч [ноас)те, 1976] исследует вязкое отрывное течение для условий сжимаемой или несжимаемой жидкости, но сосредоточивается при этом на конечно-разностных методах. В более позднее время Пейре и Тейлор [Реуге(, Тау!ог, 1983] рассмотрели вычислительные методы в применении к различным разделам гидроаэродинамики, делая наибольший крен в сторону конечно-разностных и спектральных методов. Холт [Но(1, 1984] предлагает описание чрезвычайно мощных методов анализа течения в пограничном слое, а также невязкого сжимаемого течения. Бук [ВооК 1981] рассматривает конечно-разностные методы в применении как к инженерной, так 32 Гл. 1. Введение в вычислительную гидроавродииамику и к геофизической гидроаэродинамике в условиях, когда диффузионные механизмы отсутствуют или играют очень малую роль.
Томассе [ТЬогпаззе1, 198!], Бейкер [Ва1сег, 1983] и Гловинский [01овг1пзЫ, 1984] анализируют вычислительные методы, основанные иа методе конечных элементов, а Флетчер [Г1е1- сЬег, 1984] излагает технику применения конечно-элементных и спектральных методов. В статье [На[1!пег, %111!агин, 1980] обсуждаются вычислительные методы, применяемые в геофизической гидроаэродинамике. В обзорных статьях [СЬартап, 1975, 1979, 1981; Огееп, 1982; Кгацзе, 1985; Кц1!ег, 1985] обсуждается, на что в настоящее время способна инженерная ВГАД и каковы ее перспективы в будущем. Эти статьи имеют явный уклон в направлении приложений к авиации и космическим исследованиям. Обзор более общего характера дан Теркелем [Тиг!се!, 1982]. В обзоре Каллена [Си!1еп, !983] рассматривается современное состояние метеорологической ВГАД.
Обзорные статьи по конкретным разделам вычислительной гидроаэродинамики появляются в серии Апина! Гсеу!етчз о1 Р!пЫ Рупаш1сз, в серии лекций Института им. Кармана, а также в серии монографий, выходящей в издательстве «Пайнридж Прессы В настоящей книге не затрагиваются более утонченные вычислительные методы, применяемые для расчетов на векторных и параллельных компьютерах. Однако исчерпывающий обзор исследований в этой области дают Ортега и Фойгт [Ог1ейа, Чо181, 1985]. Журнальные статьи по соответствующей тематике появляются в журналах: А1АА Зоигпа!, 1оигпа1 о1 Согпрц]аВопа! РЬуз!сэ, 1п1егпаВопа1 йоигпа! о1 Ь!шпег1са! Меййодз !п Р!пЫз, Сошри1ег Меййодз !п АррНед МесЬап1сз апд Епн1пеег1пй', Согпрп1егз апс! Р!пЫз, Хшпег1са! Неа1 Тгапз1ег, Зоигпа! о1 Арр!1ед МесЬап1сз, йоигпа! о1 Р!цЫз Епй!пеег!пд. Наиболее важными трудами конференций являются следующие: 1п1егпаНопа1 Соп1егепсе Беыез оп Ышпег!са! Ме1Ьог!з !п Г!пЫз Пупаш!сз, А1АА СРР Соп1егепсе БеНез, бАММ Соп1егепсе Белез, Р1п!1е Е!етеп1з !п Г!ож РгоЫешз Соп1егепсе БеПез Хшпег!са! Ме1Ьос!з 1п Еагп1- паг апг! ТцгЬп1еп1 Г1оти, Соп1егепсе Бевез, а также многие другие специализированные конференции.
Глава 2 Дифференциальные уравнения в частных производных $ 2.1. Основные положения Для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными можно предложить некоторую простую классификацию [ОагаЬейап, !964). Так, например, в случае дифференциального уравнения в частных производных (ДУЧП) вида деи деи д и ди ди А —, +  — + С вЂ” +  — + Š— + Ри+ 6 = О, (2.1) дле дл ди дие дл ди где коэффициенты от А до 6 — постоянные, можно различить три разновидности такого уравнения: Эллиптическое Вт — 4АС < О, Параболическое Вт — 4АС = О, Гиперболическое Вт — 4АС ) О. (2.2) 3 К.
Флетчер, т. ! В данной главе будут разработаны процедуры, служащие для классификации дифференциальных уравнений в частных производных, т. е. отнесения их к эллиптическому, параболическому или гиперболическому типу. Каждый из этих типов уравнений будет изучен как с математической, так и с физической точки зрения с целью демонстрации их важнейших характерных особенностей и тех разновидностей течения, при которых встречается тот или иной тип уравнения. Определяющие уравнения гидроаэродинамики (см. гл. 11)' представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных, содержащих первые и вторые производные по пространственным координатам и лишь первые производные по времени.
Производные по времени входят в уравнения линейно, но пространственные производные часто появляются в нелинейной форме. Кроме того, если не считать специального случая потенциального течения, обычно приходится иметь дело не с одним уравнением, а с системой определяющих уравнений. 34 Гл. 2. Дифференциальные уравнения в частных прооиаволных Очевидно, что классификация связана только с высшими производными по каждому из независимых переменных. В случае двумерного установившегося потенциального течения сжимаемой жидкости, обтекающей тонкое тело, определяющее уравнение, аналогичное уравнению (11.109), имеет вид дуа (2.
3) Применение критериев (2.2) свидетельствует о том, что уравнение (2.3) эллиптическое в случае дозвукового течения (М ( 1) и гиперболическое — в случае сверхзвукового течения (М ) 1). Если коэффициенты от А до 6, входящие в уравнение (2.1), являются функциями к, у, и, ди/дх или ди/ду, критерии (2.2) могут использоваться, как и прежде, если при этом значениям А, В и С давать локальную интерпретацию. Это означает, что классификация определяющих уравнений может изменяться по мере попадания в различные участки вычислительной области. Определяющее уравнение для установившегося потенциального течения сжимаемой жидкости, т.
е. уравнение (11.103), при применении двумерных естественных координат можно записать в форме даФ деФ (1 — Ма) — + — = О, даа дна (2.4) где оси з и и параллельны и перпендикулярны к местному направлению линии тока, а параметр М вЂ” местное число Маха. Применение критериев (2.2) на локальной основе показывает, что уравнение (2.4) является эллиптическим, параболическим или гиперболическим, если М ( 1, М = 1 или М ) 1 соответственно. Характерная картина распределения местных чисел Маха М в случае обтекания крылоного профиля или лопасти турбины показана на рис. !1.15. Характерная особенность, связанная с возможностью изменения типа определяющего уравнения в различных участках вычислительной области, представляет собой один из главных усложняющих факторов при численном исследовании трансзвукового течения (см.
$ !4.3). При анализе упрощенных разновидностей течения (см. п. 11.2.6) тип уравнения может измениться. Определяющие уравнения для двумерного установившегося течения несжимаемой вязкой жидкости, т, е. уравнения (11.82) — (11.84), при отсутствии членов ди/д! и до/д! являются эллиптическими.
Однако введение приближения пограничного слоя приводит к параболической системе ДУЧП, т. е. к уравнениям (11.60) и (11.61). й ЗЛ. Основные положения Применительно к тем уравнениям, которые можно представить в форме (2.1), классификация ДУЧП может быть проведена путем проверки с использованием критериев (2.2). Когда же это невозможно, например в случае системы ДУЧП, для надлежащей классификации приходится обычно проверять поведение характеристик (см. п. 2.1.3). Грубо говоря, различные категории ДУЧП могут ассоциироваться с различными типами гидроаэродинамических задач. В общем случае задачи, содержащие зависимость от времени, сводятся к решению либо параболических, либо гиперболических ДУЧП.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
