Fletcher-1-rus (1185917), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В случае гиперболического ДУЧП первого порядка (2.5) через каждую точку проходит единственная характеристика Ж/с(х= А/В (рис. 2.5). Если А и  — постоянные, то характеристики представляют собой ! прямые линии. Если же А и В являются функциями от и, х и 1, то характеристики искривляются. В случае линейного уравнения конвекции, рассматриваемого в 2 9.1, отношение В/А как раз соответствует скорости. В случае х! х Р х ЕР ого УстанОвившегосЯ Рис. 2.5. Характеристики для гипер- невязкого сверхзвукового те- болического дуЧП первого порядка, чения характеристическая по- уравнение (2.5).
верхность образует конус вокруг местного направления потока, как это показано на рис. 1!.14. Имея дело с гиперболическими ДУЧП, можно воспользоваться характеристическими направлениями для построения расчетной сетки, на которой выполнялись бы условия совместности типа соотношения (2.15). Именно это положено в основу метода характеристик, излагаемого в п. 2.5.1. В силу причин, которые будут обсуждаться в п. 14.2.1, упомянутый метод представляет сейчас в основном исторический интерес.
52 Гл. 2. дифференциальные уравнения в частных производных тогда из (2.48) получим уравнение дав — =О, д$ дт) (2.52у которое имеет общее решение и($, 51)=1(я)+д(Ч), (2.53) где Г' и д — произвольные дважды дифференцируемые функции. Если для уравнения (2.48) решается чистая задача с начальными значениями, то надлежит установить начальные условия и(х, 0)=Я(х), — (х, 0)=Т(х). (2.54) Можно показать [Атез, 1969], что при 1= 0 к )(*) -05[5(,) .5 17(,)5,1.5 с, о Т 5(*)=05[5( ) — 17()5 1 (-а, о (2.55) где С и 11 — постоянные интегрирования. Тогда из представле- ния (2.53) следует, что общее решение уравнения (2.48) с на- чальными условиями, соответствующими (2.54), имеет вид к+Т (,))=05[5( .( 7)-( 5( — 7).)- 1 Т()5~.
(205) «-а В частности, если точка Р имеет координаты (хи 1;), то реше- ние в этой точке представляется в виде к(ЕТ( ,, 70 — 0 5[5(*, (.7)-(-5( 5 — 7)5. 1 Т( )5 ), (2 57) к,.-(, т. е. решение в точке Р однозначно определяется начальными условиями, заданными на линии АВ (рис. 2.4). Для гиперболических уравнений не существует диссипативного (или сглаживающего) механизма. Отсюда следует, что если начальные (или граничные) данные содержат разрывы, то эти разрывы вдоль характеристик будут передаваться во внутреннюю область без размывания, если только уравнения линейны. Это согласуется с результатом, отмеченным в п.
2.1.3 и гласящим, что разрывы нормальных производных могут возникать только при пересечении характеристик. $ 2.2. Гииерболические ДУЧП Здесь следует подчеркнуть, что если рассматриваются уравнения, определяющие сверхзвуковое невязкое течение и являющиеся гиперболическими, то для согласования с тезисом об изэнтропичности течения разрывы должны быть слабыми При сверхзвуковом невязком изэнтропическом течении определяющие уравнения (2.32) и (2.33) порождают характеристические направления, заданные соотношением (2.50).
Если решение таково, что характеристики сливаются вместе, то результатом будет неединственное решение 1%Ь1(Ьаш, 1974]; на практике при этом возникает ударная волна. Однако при переходе через ударную волну имеет место изменение энтропии, а это противоречит допущению об изэитропичности течения, на котором основано использование уравнений (2.32) и (2.33). Поэтому ударная волна образует границу (внутреннюю или внешнюю) той области, в которой справедливы уравнения (2.32) и (2.33). 2.2.3.
Надлежащие граничные 1'и начальные) условия В п. 2.2.2 было отмечено, что в случае волнового уравнения (2.48) начальные условия (2.54) оказываются пригодными и в зависимости от протяженности участка АВ будут единственным образом определять решение в области АРВ (рис. 2.4). Имеется также возможность введения граничных условий (см п. 2.1.2), которые могут быть заданы, например, на линиях СВ и ЕР на схеме рис. 2.8.
Здесь мы заново рассмотрим уравнения (2.22) и (2.23) „ так как эти уравнения непосредственно применимы к описанию сверхзвукового невязкого течения (при соответствующем выборе коэффициентов А» и т. д.), зададимся вопросом, как надлежащим образом следует подобрать вспомогательные условия, чтобы иметь возможность получить единственное решение уравнений (2.22) и (2.23). Характеристические направления, соответствующие эквиваленту уравнения (2.50), будут в дальнейшем называться характеристиками сь и 6.
Вначале будут рассмотрены три случая, показанные на рис. 2.6. Случай, показанный на рис. 2.6(а), эквивалентен тому, что было показано на рис. 2.4. Это означает, что данные относительно значений и и е на кривой АВ, отличной от характеристики, будут единственным образом определять решение вплоть до точки Р. В случае, показанном на рис. 2.6(Ь), кривая АВ не является характеристикой, однако А0 является характеристикой р. В этом случае значения и или о должны быть заданьг на одной из кривых, а на другой — соответственно о или и Следовательно, в точке А известны и и, и в. Аналогичная 54 Гл.
2. Дифференциальные уравнения в частных производных В-характеристики ст-характеристики ч / / / / В аданы и и Случай (а) стики а.характери Случай (Ы арактеристики ~а(-харзкт ы Р А Случай !С) а.ис. 2.6. Конкретизация вспомогательных данных для уравнений (2.22) н (2.23) в случае их гицерболичности. 5 2.2. Гиперболические ДУЧП ситуация имеет место в случае, показанном на рис. 2.6(с), за исключением того, что здесь и АВ, и АВ являются характеристическими кривыми.
Уравнения (2.22) и (2.23) могут интерпретироваться как соответствующие неустановившемуся течению, если только у заменить на й Если рассмотреть (рис. 2.7) вычислительную область х ) О и 1 ) О, то видно, что решение в точке Р, близкой к границе х = О, частично определяется граничными условиями Заданы оияи т Заданы ни т В Рис. 2.7. Граничные условия хля уравнений (2.22) и (2.23) в нестаннопарнон интерпретации. на линии АС, а частично — начальными условиями на АВ; при этом предполагается, что определяющие ДУЧП являются гиперболическими.
Надлежащими вспомогательными условиями для этого случая будут задание и и о на линии АВ и задание о или и на линии АС. Эти два примера, показанные на рис. 2.6 и 2.7, иллюстрируют общее правило для гиперболических ДУЧП, состоящее в том, что число вспомогательных условий равно числу характеристик, направленных внутрь рассматриваемой области [ЖЫ()таш, 1974]. Выбор направления вдоль характеристики должен быть сделан в соответствии с определенными правилами.
Для задач с зависимостью от времени положительным направлением будет направление роста времени. Для многомерных гиперболических задач об установившемся течении, сформулированных в примитивных переменных, одна из характеристик («ассоциированная» с уравнением неразрывности) совпадает с локальной линией тока. Таким образом, посредством граничной точки эта характеристика определяет свое положительное направление и указывает положительное направление для других характеристик, проходящих через ту же точку.
об Гл. 2. дифференциальные уравнения в частных цроиаводных в 2.3. Параболические дифференциальные уравнения в частных производных Параболические ДУЧП встречаются при рассмотрении тех задач, где включены некоторые диссипативные механизмы, такие, как вязкостиое напряжение или теплопроводность. Классическим примером параболического ДУЧП является уравнение диффузии или уравнение теплопроводности ди даи дт дха ' (2.58) Уравнение (2.58) будет использовано для демонстрации раз.личных вычислительных методов в гл. 7. При начальном условии и = з1п пх и граничных условиях .и(0, 1) = и(1, 1) = 0 уравнение (2.58) допускает точное ре- шение 2.3.1. Интерпретация с помощью характеристик Если интерпретировать уравнение (2.58) как уравнение (2.8), с заменой у = 1, то выявляется, что А = 1, В = С = О, так что уравнение (2.58) оказывается параболическим. Как показывает решение уравнения (2.14), здесь имеется единственное характеристическое направление, определяемое соотношением Ж/с(х = О.
Характерная вычислительная область для урав- и(х, 1) = ейп пхехр( — пат). (2.59) Экспоненциальиое затухание, демонстрируемое формулой (2.59), являет собой контраст в сравнении с осциллирующим решением (2.5) волнового уравнения (2.48). Уравнение переноса (см. 9 9.4 и 9.5) представляет собой линейное параболическое ДУЧП, а уравнение Бюргерса, рассмотренное в $ 10.1, является нелинейным параболическим ДУЧП. Однако преобразование Коула — Хопфа (см.
[Е(е1с(тег, 1983]) позволяет превратить уравнение Бюргерса в уравнение диффузии (2.58). Уравнения Навье — Стокса для неустановившегося течения являются параболическими. Эти уравнения используются как при решении нестационарных задач, так и в тех случаях, когда псевдонестационарная формулировка (см. з 6.4) вводится для решения стационарной задачи.
Если иметь в виду строго установившееся течение, то пограничные слои (гл. 15) и сдвиговые слои, как правило, определяются посредством параболических ДУЧП, причем направление потока играет времениподобную роль. Многие из упрощенных вариантов уравнений Навье — Стокса (гл. !6) определяются посредством параболических ДУЧП. й 2.3. Параболические ДУЧП нения (2.58) представлена на рис. 2.8. В противоположность. ситуации, возникавшей для гиперболических уравнений, при переходе через линию 1 = г; производные функции и всегда остаются непрерывными. Характеристики не играют здесь такой значительной роли, как это было для гиперболических урав- и(0,1)=д(т) х-О и(х,О)=по(х) х=1 Рис. 2.8, Вычислительная область для параболического ДУЧП. пений. Для параболических ДУЧП не существует эквивалента методу характеристик.
Ясно, что если построить вычислительную сетку, следуя локальным характеристическим направлениям, то никогда не удастся осуществить продвижение решения во времени. 2.3.2. Интерпретация на физической основе Для параболических задач характерны такие решения, которые реализуют маршевое продвижение во времени, но создают рассеяние в пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
