Fletcher-1-rus (1185917), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Таким путем вместо (2.37) получим иу =Т, и„+ оу =О, — /7у + З. =О, Зу +Т, =О, З„Яе — Ту/Ке+ Р„= и5 — оТ, — !т,/йе — Яу/Ке + Ру = итс — о5. Задача, приведшая к системе (2.38), была выбрана так, чтобы избежать возникновения особенностей у матриц А и В в урав- нении (2.35). Характер вышеприведенной системы уравнений определяется путем замены д/дх на Л„и д/ду на Л„и прирав- нивания нулю определителя получаемой алгебраической си- стемы, т. е. так, как это сделано в (2.36). Результат получается таким: (2.38) (2.
39) (1/Ке) Л'„(Л'„+ Л'„)' = О. Если положить Лу — — 1, то выясняется, что величина Л, мнимая. Если же положить Л„= 1, то мнимые корни появляются для Л„. На этом основании делается вывод, что система (2.37) эллиптическая. Изучение общей проблемы классификации дифференциальных уравнений в частных производных можно продолжить, следуя руководствам [СтагаЬеб!ап, 1964; Не!!тч!д, 1964; Сопгап(, Н!!Ьег1, 1962; СЬез1ег, 1971]. Л„= Л, = 1 и разрешая уравнение относительно Л„, установим, что уравнение (2.35) является эллиптическим в направлении у, если при этом появляются мнимые корни.
Ясно, что каждое направление можно исследовать по очереди. Ниже предлагается простой пример системы уравнений, формируемой из уравнений Навье — Стокса для установившегося течения несжимаемой жидкости в двух измерениях. В безразмерных обозначениях эта система имеет вид и,+оу — — О, 1 ии„+ оиу+ рх — — (и,„+ иу„) = О, иох + осу+ ру и (охх + оуу) = О (2'37с) 47 $2.1. Оснонные положения 2.1.5.
Классификация с помощью анализа Фурье Классификация дифференциальных уравнений в частных производных с помощью характеристик (см. п. 2.1.3 и 2.1.4) связана с интерпретацией корней характеристического полинома, например, по (2.36). Эти корни определяют характеристические направления (или поверхности, если речь идет более чем о двух независимых переменных). Однако тот же самый характеристический полинам можно получить, если дифференциальное уравнение в частных производных подвергнуть анализу Фурье.
В этом случае сами корни имеют другую физическую интерпретацию, хотя классификация дифференциального уравнения в частных производных по отношению к характеру этих корней остается той же самой. Подход при помощи анализа Фурье полезен для систем таких уравнений, в которых фигурируют производные выше первой, так как при этом подходе отпадает необходимость в построении промежуточной системы большего числа уравнений первого порядка. Подход, основанный на анализе Фурье, дает, кроме того, указание на ожидаемую форму решения, например, будет ли оно колебательным, с экспоненциальным ростом и т. п. Это свойство используется в гл. 16 в процессе определения того, могут ли устойчивые численные решения укороченных форм уравнений Навье — Стокса быть получены с помощью единственного марша по пространству.
Предположим, что решение однородного скалярного уравнения второго порядка (2.40) отыскивается в форме С Ю и (х, У) = —, ~ ~ й,, ехР (1 (а,)1 х1 ехР (1 (ан)я У]. (2.41) 1 ь-- Амплитуды различных мод определяются при этом с помощью граничных условий. Однако характер решения будет зависеть от коэффициентов (а ); и (а„)м которые могут оказаться комплексными. Если коэффициенты А, В и С не являются функциями и, то соотношение между а„и а„остается одним и тем же для всех мод, так что в выражении (2.41) нужно рассмотреть только одну моду. Подстановка в (2.40) при этом дает — Аа' — Ва,а — Са' =О, или А(а„1а )'+ В(а„1'а ) + С= О. (2.42) 48 Гл.
2. Дифференциальные уравнения в частных производных Здесь фигурирует характеристический полипом относительно о„/о„, эквивалентный тому, который появлялся в (2.29). Свойства дифференциального уравнения в частных производных (2.40) зависят от свойств корней, а следовательно, и от А, В и С, как это было в (2.2). Подход с помощью анализа Фурье позволяет из главной части определяющего уравнения получить тот же самый характеристический полипом, который получался при анализе характеристик.
Однако если предположить, что величина о„вещественная, то форма решения в направлении у оказывается волнообразной. После этого решение, соответствующее характеристическому полиному (2.42), полученному из полного уравнения, позволяет судить о форме решения в направлении х. Изучение формы (2.41) свидетельствует об аналогии с определением преобразования Фурье [Е(дЫЫ!1, 1958], имеющим вид й(п„, о„)= ~ ~ и(х, у)схр( — Ео,х)ехр( — 1оау) йх йу, (2.43) нли в общепринятом обозначении й = Ви. При анализе свойств дифференциальных уравнений в частных производных следует воспользоваться следующими результатами: (о Й=Р—, М й=Р—.
ди . ди дл ' " ду ' (2.44) Таким образом, характеристический полипом можно получить, подвергая преобразованию Фурье все члены определяющего уравнения. В качестве примера укажем, что уравнение (2.40) преобразуется к форме [А (1ох)з + В (Евана) + С (аоа)') й = О, (2.45) откуда непосредственно следует (2.42). Характеристический полипом, вывод которого проведен с помощью преобразования Фурье, часто называют символом дифференциального уравнения в частных производных. Способ построения характеристического полинома, основанный на преобразовании Фурье, остается пригодным, если А, В нли С являются функциями независимых переменных. Если же А, В или С представляют собой функции искомых переменных, то перед введением преобразования Фурье эти коэффициенты необходимо заморозить на их локальных значениях.
$2.К Основные положения 49 Применение подхода на основе анализа Фурье к системам уравнений можно проиллюстрировать с помощью рассмотрения уравнений (2.37). Если заморозить коэффициенты и и о в уравнениях (2.37Ь) и (2.37с) и провести преобразование Фурье для и, и и р, получим следующую однородную систему алгебраических уравнений: йт ~'(ио„+ сон) + — (о„+ от) йт„ Ео„ р (по„+ рор) + — (о„+ о„) 1о Х д О, (2.46) из которой получается характеристический полипом де1[ ) = = О, т. е.
(о'„'+ о~) 11(ио„+ оо„) + (1/(те) (о~ + ое)) = О. (2.47) 4 К. Флетчер, т. 1 Однако в левой части (2.47) содержится комплекс ((ио, + + оор), связанный с первыми производными и и о. С другой стороны, свойства системы (2.37) определяются ее главной частью, из которой явным образом исключены все производные, кроме высших. В данном случае (2.47) совпадает с (2.39) и приводит к выводу о том, что система (2.37) является эллиптической. При сравнении (2.46) с (2.38) становится ясно, что подход с помощью анализа Фурье позволяет обойти проблему построения эквивалентной системы уравнений первого порядка, связанную с возможностью того, что эта система будет особой. Корни характеристического полинома, полученного с помощью анализа Фурье, интерпретируются здесь таким же образом, как при методе характеристик, примененном для определения типа дифференциального уравнения в частных производных.
Альтернативная классификация, основанная на величине наибольшего корня характеристического полинома, описывается Гельфандом и Шиловым 11967). Подход, основанный на применении анализа Фурье, используется в $16.1 для определения свойств решения, строящегося с помощью единственного маршевого прохода вниз по потоку. В этой ситуации эквивалент уравнения (2.47) основан на сохранении всех членов определяющего уравнения, а не только его главной части.
50 Гл. 2. дифференциальные уравнения в частных производных й 2.2. Гиперболические дифференциальные уравнения в частных производных Простейшим примером гиперболического ДУЧП является волновое уравнение дзи дзи — — — = О. дн дхз (2.48) Характерной чертой линейных гиперболических ДУЧП является отсутствие затухания. Уравнение конвекции, рассматриваемое в $ 9.1, является линейным гиперболическим ДУЧП. Уравнения, определяющие неустановившееся невязкое течение, являются гиперболическими, но нелинейными, так же как и уравнения, определяющие установившееся сверхзвуковое невязкое течение.
2.2.1. Интерпретация с помощью характеристик Гиперболические ДУЧП порождают вещественные характеристики. В случае волнового уравнения (2.48) характеристические направления определяются соотношениями с(х1Ж = -~1 к; л;+т; л Рис. 2ии Характеристики волнового уравнения.
Характеристики, проходящие через точку Р в плоскости (х, 1), показаны на рис. 2.4. Для системы уравнений (2.32), (2.33) имеются две характеристики, определяемые соотношением — — ~ (", — 1) 1~( — ) — 1~ . (2.50) При начальных условиях и(х, 0) = и!п пх, ди1д1(х, 0) = 0 и граничных условиях и(0, 1)= и(1, 1)= 0 уравнение (2.48) имеет точное решение и(х, 1) = з!п пхсоз п1. (2.491.
$2.2. Гиперболические ДУЧП 51 Наклон = л/В 2.2.2. Интерпретация на физической основе Как было отмечено выше, гиперболические ДУЧП связаны с такими задачами о распространении, когда диссипация отсутствует. Появление вещественных характеристик, таких, как на рис. 2.4, свидетельствует о том, что возмущение решения и в точке Р может повлиять на поведение решения только в области СРВ, И наоборот, решение в точке Р подвержено только влиянию возмущений, идущих из области АРВ.
Кроме того, если начальные условия заданы при 1= 0, т. е. на линии АВ на рис. 2.4, то этих условий достаточно, чтобы единственным образом определить решение в точке Р. Для случая уравнения (2.48) это можно продемонстрировать следующим образом. Введем новые независимые переменные по формулам $=х+1, а)=х — 1; (2.51) Ясно, что форма характеристик зависит от локального решения, причем в общем случае они будут искривленными [Соцгап1, Гг!ес(г!сЪ, 1948) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
