Fletcher-1-rus (1185917), страница 13
Текст из файла (страница 13)
5ь 68 Гл. 2. Дифференциальные уравнения в частных производных 2.3. Безразмерные уравнения, определяющие установившееся течение не- вязкой несжимаемой ткндкости, имеют вид ди до — + — =О, дх ду ди ди др и — +о — + — =О, дх ду дх до до др и — +о — + — О. дх ду ду Гиперболические ДУЧ П ($2.2) 2.4. Покажите с помощью исследования, что ДУЧП второго порядка дти/дхд( = О является гиперболическим. Рассмотрите эквивалентную систему ди — — о=О, д( до — = О. дх Обоснуйте вывод, что зта система гиперболическая и оси х и ( являются характеристиками.
2.5. Рассмотрите модифицированное волновое уравнение дзи дзи — à — () — + и = О. дт дхз (2.94) Покажите с помощью исследования, что это уравнение является гиперболическим. Рассмотрите соответствующую систему уравнений ди — — ю=О, д( до дю — — — =О, дт дх (2.95) дю до — — () — + и = О. дт дх Покажите, что эта система является гиперболической, и определите характе- ристические направления. Какова связь между уравнением (2.94) и системой (295)'. Объясняет ли форма этой связи наличие добавочной характеристики у системы (2.95)' 2.6. Определяющие уравнения для одномерного неустановившегося из- энтроппческого течения невязкой сжимаемой жидкости имеют вид др идр рди — + — + — =О, дс дх дх ди ди ! др — +и — + — — =О, дт дх р дх где р = йрт и а' = ур/р.
Здесь а — скорость звука. Покажите, что эта си- стема гиперболическая и характеристики задаются соотношениями дх(й( = = и+.а Установите тип этой системы дифференциальных уравнений в частных про- изводных. $2.7. Задачи 69 Параболические ДУЧ П (9 2.3) ди до — + — О, дх ду ди ди 1 дзи и — + о — — — — =О. дх ду ре дуз Покажите, что эта система параболическая и укажите подходящий вариант начальных и граничных условий для и и о. Эллиптические ДУЧ П (9 2А) 2.10. Рассмотрите уравнения ди до — + — =О, дх ду ди до — — — =О.
ду дх (2.96) Покажите, что эта система являетсн эллиптической (а) непосредственно, (Ь) путем введения переменной ф, где и = дф/дх и о = дф/ду. 2.11. Покажите, что выражения и = х/(хз+ уз), о = у/(хз+ уз) пред- ставляют собой решение системы (2.96). 2.12. Покажите, что уравнения ди ди г дзи дзи д и — +о — — а1К вЂ” + — ) О, дх ду ~ дхз дуз ) до до Г дзо дзо ~ и — +о — — а1К вЂ” + — ) 0 дх ду к дхз дуз ) образуют эллиптическую систему и что этим уравнениям удовлетворяют выражения и = — 2 [а1+ азу + й (ехр [й (х — х,)] + екр [ — й (х — х,)]] соз (йу)]/(ое р), 2 [аз + азх — й [ехр [й (х — ха)] + ехр [ — й (х — «е)]] з(п (йу)]/(((е р) где Р = [ае + а~х + азу + азху + (ехР [й (х — хю)] + ехР [ — й (х — хе)]] соз (УУ)] и ае, аь аь аз, й и хе — произвольные постоянные. Традиционные методы (5 2.6) 2.13.
Рассмотрите решение уравнения д'ф/дх'+ д'ф/дуз = 0 на единичном квадрате с граничными условиями Т(О,У)=0, Т(!,у)=0, Т(х,О)=Те(х), Т(х,1)=0. 2.7. (а) Проведите преобразование уравнения дф/д/ — адзф/дхз = 0 к эквивалентной системе путем введения вспомогательной переменной р=дф/дх. Покажите, что эта система параболическая.
(Ь) Проанализируйте таким же образом уравнение дф/д/ — а(д'ф/дх' + + дтф/дут) = 0 и покажите, что оно является параболическим. 2.8. Рассмотрите уравнение переноса ди/д/ + 2сди/дх — г/дти/дхз = 0 с начальными условиями и(х, 0) = ехр (сй/д) и граничными условиями .и(0, /) = ехр( — сП/а) и и(1, 1) = (а/с)ди/дх(1, 1). Покажите, что это уравнение параболическое и определите его решение. 2.9.
Уравнения, определяющие установившееся течение. в пограничном слое несжимаемой жидкости на плоской пластине, могут быть записаны в виде 70 Гл. 2. Дифференциальные уравнения в частных производных Примените метод разделения переменных для получения Т (х, р) = ~ Аа з(п (йях) з(т [(гя (р — !)[, а ! где (2То[яп) [( — 1)" — 1! 5)з (яи) 2.14. Уравнение дф/д! — адтф/дхт = 0 необходимо решить в области 0 < х < 1, 1> 0 с гРаничными УсловиЯми ф(0, Г) = О, ф(1, !) = фа и начальным условием ф(х, 0) = О. Покажите с помощью метода разделения переменных, что решение имеет форму 2ф ( — 1]а ехр ( — лхпаа!) ып (йпх) ф=ф, х+ — Х йп ь=! 2Лб. Покажите, что выражение у'4цг представляет собой функцию Грина для задачи теплопроводностн, рассмотренной в задаче 2.14, путем демонстрации того, что при фиксированном (г зто выражение удовлетворяет уравнению (2.75).
Глава 3 Предварительные сведения о приемах вычислений Приближенное решение и ро у, г, г! и т. д. Исходные ДУЧ П и граничные условия Система алгебраических уравнений Дискрети- зация Алгоритм Решения Рис. ЗЛ. Процесс построения вычислительного решения. показанных на рис.
3.1. На первом этапе дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие непрерывный процесс, а также вспомогательные (граничные и начальные) условия преобразуются в дискретную систему. алгебраических уравнений. Этот первый этап называется дискретизацией (см. 5 3.1). Процесс дискретизации легко идентифицируется, если используется конечно-разностный метод (см.
$ 3.5), однако он несколько менее очевиден при применении методов конечных элементов, конечных объемов, а также спектральных методов (см. гл. 5). В процессе замены отдельных членов исходных уравнений, представляющих собой частные производные, алгебраическими выражениями, связывающими узловые значения на конечной сетке, вносится некоторая ошибка. Методика такого выбора алгебраических выражений, который приводил бы к малым В данной главе будет сделан обзор некоторых из основных вычислительных приемов, используемых при решении задач гидроаэродинамики.
При решении конкретной задачи будут известны исходные уравнения (гл. 11) и соответствующие граничные условия (гл. 11 и 2). Для получения приближенного решения исходных уравнений с заданными граничными условиями используются вычислительные приемы. Например, при исследовании трехмерного нестационарного течения несжимаемой жидкости следовало бы построить решение для скорости и давления, т. е. рассчитать и(х, у, г, г), Р(х, у, г, 1), ш( х, у, г, 1) и р(х, у, г, 1) Процесс построения вычислительного решения состоит из двух этапов, схематически 72 Гл.
3. Предварительные сведения о приемах вычислений ошибкам, рассматривается в З 3.2. Достигаемая при этом точность представления дифференциальных членов анализируется в 5 3.3 и 3.4. Не менее важной, чем ошибка в представлении дифференциальных членов исходного уравнения, является ошибка самого решения. В 9 3.5 дается простая конечно-разносгная программа, позволяющая непосредственно оценить ошибку решения. При обсуждении нестационарных задач процесс дискретизации часто отождествляется с преобразованием исходной системы дифференциальных уравнений в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных уравнений по времени. Это можно было бы считать оправданным с учетом того, что приемы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, [Оеаг, 1971)) настолько хорошо извест.
ны, что дальнейшее обсуждение уже не требуется. Однако при применении конкретного метода систему обыкновенных дифференциальных уравнений следует превратить в соответствующую ей систему алгебраических уравнений и получить таким способом вычислительное решение. Второй этап процесса решения (см. рис, 3.1) требует, чтобы алгоритм решения уравнения обеспечил построение решения системы алгебраических уравнений.
На этом этапе также может вноситься некоторая ошибка, однако она обычно пренебрежимо мала в сравнении с ошибкой, вносимой на этапе дискретизации, если только метод не является неустойчивым (см. $ 4.3). Методы, применяемые при решении систем алгебраических уравнений, обсуждаются в гл. 6. Как правило, системы уравнений возникают при решении задач об установившемся течении. Что касается задач о неустановившемся течении, то применение явных методов (см., например, п.
7.!.1) может свести этап решения уравнений к алгоритму, состоящему не более чем из одной строки. $3.1. Дискретизация Чтобы преобразовать исходное уравнение в частных производных (или систему таких уравнений) в систему алгебраических уравнений (или обыкновенных дифференциальных уравнений), можно выбрать один из нескольких вариантов. Наиболее общепринятыми являются метод конечных разностей, метод конечных элементов и спектральный метод. Способ осуществления дискретизации зависит также от того, рассматриваются ли производные по времени (в применении к задачам с зависимостью от времени), или же уравнения, содержащие только пространственные производные й 33.
Дискретизация 73 На практике дискретизация производных по времени осуществляется почти исключительно с использованием конечноразностного метода. При дискретизации пространственных производных используется, как правило, метод конечных разностей, конечных элементов, конечных объемов или спектральный метод. 3.1.1. Преобразование производных в дискретные алгебраические выражения которое определяет нестационарный процесс теплопроводности в одном измерении. Символ Т соответствует температуре, символ а — коэффициенту теплопроводности.
Черта сверху символизирует точное решение. Характерные граничные и начальные условия, соответствующие уравнению (3.1), имеют вид Т(0, 1)=Ь, Т(1, 1)=д, Т(х, 0)=Т,(х), 0(х(1. (3.2) (3.3) Наиболее прямой путь дискретизации состоит в замене производных эквивалентными им конечно-разностными выражениями. Так, например, с помощью представлений (3.21) и (3.25) уравнение (3.1) можно заменить уравнением Т" '1 — Т" а (Т"; 1 — 2Т".
+ Та ~) аг ькз (3.4) Размеры шагов Л1, Лх, а также смысл нижнего индекса 1 и верхнего индекса и указываются на рис. 3.2. В уравнении (3.4) символ Т~" соответствует значению Т в узле (1, и). Как это явствует из самого процесса дискретизации, прекращающего уравнение (3.1) в уравнение (3.4), задача о нахождении точяого (непрерывного) решения Т(х, 1) оказалась замененной на задачу о нахождении совокупности дискретных значений Тп т. е. приближенного решения в каждом из узлов (1, п) (см. Рис. 3.2).
Ясно, что при этом возникают две связанные между собой ошибки — ошибка аппроксимации и ошибка решения. Ошибка аппроксимации, вносимая за счет дискретизации Уравнения (3.!), будет рассматриваться в 3 З.З и 3.4. Ошибка, соответствующая разнице между приближенным решением и точным решением (ошибка решения), будет изучена в 3 4.1. Для иллюстрации процесса дискретизации рассмотрим уравнение дТ д'Т вЂ” =а —, дГ дкз ' (3.1) Гл. 3. Предварительные сведения о приемах вычислений Истинное значение приближенного решения в промежуточной точке между узлами сетки отнюдь не очевидно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
